李浩然

摘 要：在新課改之后，要求高中生不僅要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)解決問題，還要利用課余時(shí)間學(xué)習(xí)自身興趣的知識(shí)點(diǎn)，使得每個(gè)人都能得到全面發(fā)展和鍛煉。高中線性變換雖然作為選修章節(jié)，但是其所蘊(yùn)含的內(nèi)容是銜接高中與大學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)，掌握線性變換的基礎(chǔ)知識(shí)也就是提前了解和學(xué)習(xí)了大學(xué)所要接觸的高等數(shù)學(xué)知識(shí)模塊，即矩陣問題。因此，筆者立足于高中選修的重要知識(shí)點(diǎn)——線性變換，先闡述其概念及性質(zhì)，然后來探究如何巧妙解決高中數(shù)學(xué)中線性變換的難題，從而為初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)做提前的準(zhǔn)備。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 線性變換 解題技巧

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2017）11-0-01

一、高中數(shù)學(xué)線性變換的概述

1.線性變換的概念

線性變換一般是指，在構(gòu)建的xOy坐標(biāo)系內(nèi)，存在至少一個(gè)點(diǎn)或多個(gè)點(diǎn)的集合A與另一個(gè)相對(duì)應(yīng)的至少一個(gè)或多個(gè)點(diǎn)的集合B兩者之間按照一定規(guī)則可以相互變換，且不同的點(diǎn)與所轉(zhuǎn)變后的點(diǎn)不相同，即在平面直角坐標(biāo)系中，把形如 進(jìn)行幾何變換，這就叫做線性變換。

2.線性變換的基本性質(zhì)

線性變換具有三個(gè)基本性質(zhì)，第一個(gè)性質(zhì)是任何向量乘于零都為零，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：T（0）=0；第二個(gè)性質(zhì)是任何向量乘于任何一個(gè)負(fù)向量等于兩個(gè)向量相乘的負(fù)數(shù)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：T（-a）=-T（a）；第三個(gè)性質(zhì)是線性變換滿足乘法交換律、結(jié)合律，即 ，其中A是一般矩陣， 是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意的兩個(gè)向量， 是任意實(shí)數(shù)。

二、高中數(shù)學(xué)線性變換的解題技巧

1.數(shù)形結(jié)合

例1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A={（x，y）|x + y≤1，且x≥0，y≥0}，求平面區(qū)域B={（x + y，x - y）|（x，y）∈A}的面積。

解析：本題考察的是線性變換結(jié)合不等式的應(yīng)用難點(diǎn)，解決該問題首先要分析題干信息，根據(jù)題目給出的信息列出平面區(qū)域A的不等式條件。由于本題平面區(qū)域B存在與平面區(qū)域A相重合的未知數(shù)，因此要假設(shè)兩個(gè)新的未知數(shù)替代B的條件，再將新的未知數(shù)條件代入A中就能很快確定B的向量表示，最后快速建立平面直角坐標(biāo)系畫出平面區(qū)域B的圖形就能的出其面積的大小。

設(shè)：未知數(shù) u=x+y，v=x-y

那么 x= ，y=

因?yàn)锳中滿足 x+y≤1，x≥0，y≥0

所以u(píng)≤1，u+v≥0，u-v≥0.

如圖所示，可將未知數(shù)u 、v所含條件建立平面直角坐標(biāo)系，其面積為：

S=1/2*2*1=1

2.線性變換的不變性

例2：已知在一個(gè)二階矩陣M對(duì)應(yīng)變換的作用下，點(diǎn)A（4，4）變成了點(diǎn)A（6，8），點(diǎn)B（4，0）變成了點(diǎn)B（1，4），求該二階矩陣M。

解析：本題重點(diǎn)考察二階矩陣進(jìn)行線性變換的過程及反推技巧，解決這類題目可以利用線性變換的性質(zhì)，即線性變換滿足乘法的交換律及結(jié)合率，再結(jié)合二階矩陣運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行代入求值?？v觀題目可以發(fā)現(xiàn)本題是將二階矩陣作為線性變換的條件，因此需要首先假設(shè)一個(gè)二階矩陣，再根據(jù)題干信息代入求值即可。

解析：本題考察的是對(duì)二階矩陣運(yùn)算及線性變換中線段的轉(zhuǎn)換知識(shí)點(diǎn)部分，很多同學(xué)在看到該類型題目時(shí)總會(huì)不知所措，但只要認(rèn)真挖掘題干信息，就能發(fā)現(xiàn)求解該種題目其實(shí)很簡(jiǎn)單。首先根據(jù)題干信息求出M、N結(jié)合后的矩陣，再假設(shè)經(jīng)過線性變換后的直線表達(dá)式的未知數(shù)，代入MN中就能有效解答該題目。

三、結(jié)束語(yǔ)

高中線性變換問題作為一種數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)換方法是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的選修項(xiàng)目，雖然其靈活和多變的特性導(dǎo)致了其難度程度較高，但其作為銜接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)是高中生應(yīng)該學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。本文淺顯地分析了解決線性變換類型題的技巧，旨在分享筆者在學(xué)習(xí)過程中積累的經(jīng)驗(yàn)與解題的思路，讓更多的同學(xué)能夠在應(yīng)對(duì)線性變換問題時(shí)有更多的解決途徑。學(xué)習(xí)高中線性變換知識(shí)能夠更好地為今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)提供幫助，因此，作為高中生不僅應(yīng)該熟練掌握課本上的知識(shí)，還應(yīng)提前學(xué)習(xí)一些與課內(nèi)相關(guān)的課外重點(diǎn)知識(shí)，為進(jìn)入大學(xué)做準(zhǔn)備。

參考文獻(xiàn)

[1]高中數(shù)學(xué)選修4-2

[2]巧建平面直角坐標(biāo)系求解向量問題.《福建中學(xué)數(shù)學(xué)》.黃國(guó)斌.2015.endprint