鄭義,楊霞*

（石河子大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆 石河子 832003）

一類具有雙線性發(fā)生率分?jǐn)?shù)階SIS傳染病模型的全局穩(wěn)定性

鄭義,楊霞*

（石河子大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆 石河子 832003）

本文研究了一類分?jǐn)?shù)階SIS傳染病模型的全局穩(wěn)定性問題，得到了模型的無病平衡點(diǎn)E0與有病平衡點(diǎn)E*，分別通過構(gòu)造相應(yīng)的Lyapunov函數(shù)對(duì)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性進(jìn)行討論，得到結(jié)論：當(dāng)R0＜1時(shí)模型，模型只存在無病平衡點(diǎn)E0，無病平衡點(diǎn)E0在區(qū)域D內(nèi)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時(shí)模型存在無病平衡點(diǎn)E0以及地方病平衡點(diǎn)E*，地方病平衡點(diǎn)E*在區(qū)域D內(nèi)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。最后通過數(shù)值模擬及對(duì)比驗(yàn)證所得結(jié)論，并給出控制疾病流行的一些可行性意見。

平衡點(diǎn)；全局穩(wěn)定性；分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)；Lyapunov函數(shù)；雙線性發(fā)生率

數(shù)學(xué)模型可以用于描述流行病的傳播，對(duì)疾病的預(yù)防以及控制起著重要的作用。在傳染病動(dòng)力學(xué)中，主要采用的是由Kermack與McKendrick在1927年所建立的SIS和SIR倉室模型[1]。隨著數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，經(jīng)典模型得到了不斷的變化與改進(jìn)[2-3]。近年研究人員發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分與分形幾何、記憶過程有密切的聯(lián)系。分?jǐn)?shù)階微積分被廣泛應(yīng)用到生物數(shù)學(xué)，物理學(xué)，工程科學(xué)等一些領(lǐng)域[4-6]。隨著分?jǐn)?shù)階微積分被引入傳染病動(dòng)力學(xué)中，依據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分所建立的模型具有整數(shù)階所不具備的性質(zhì)[7]。原三領(lǐng)等[8]討論了一類雙線性發(fā)生率的分?jǐn)?shù)階模SIR型，趙洪勇等[9]研究了一類具有免疫的分?jǐn)?shù)階HIV模型。然而，分?jǐn)?shù)階傳染病模型的全局穩(wěn)定性問題還沒有得到很好地解決，因此，本文通過Lyapunov構(gòu)造函數(shù)來證明平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，給出了一種判斷流行病模型平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性的一種方法。

本文探討具有雙線性發(fā)生率的分?jǐn)?shù)階SIS流行病模型，對(duì)模型進(jìn)行分析得到模型的平衡點(diǎn)與閾值，討論平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。通過理論分析，得到區(qū)分疾病是否在該地區(qū)的判斷依據(jù)閾值R0；再對(duì)閾值分析，在理論上給出控制疾病流行的一些相應(yīng)的方案；對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值模擬來驗(yàn)證理論分析的合理性；通過不同階的分?jǐn)?shù)階模型的對(duì)比來發(fā)現(xiàn)之間的差異，并對(duì)這些結(jié)果進(jìn)行分析。

1 模型引入

假設(shè)某一地區(qū)在時(shí)刻t的總?cè)丝跀?shù)為N(t)，包括易感者、已感者2類，這2類人口數(shù)分別記為S(t)、I(t)，設(shè)A為進(jìn)入該地區(qū)的總?cè)丝跀?shù)，進(jìn)入該地區(qū)的人口都將作為易感者。具有雙線性發(fā)生率的SIS傳染病模型如下：

式中：βSI為染病者的雙線性發(fā)生率，μ為自然死亡率，α為因病死亡率，δ為恢復(fù)率系數(shù)，假設(shè)參數(shù)A、β、μ、δ、α都是正數(shù)，并分別具有實(shí)際意義。

下面給出分?jǐn)?shù)階微積分的定義[11]。本文中采用的是Caputo型的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。

定義1：函數(shù)f:R+→R的α＞0階分?jǐn)?shù)階Caputo型導(dǎo)數(shù)的定義為

通過Caputo型分?jǐn)?shù)階的定義，分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)的定義為

定義2：x0是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f(x,t0)=0。

本文研究模型如下

由模型（4）知

根據(jù)方程（5）易知，當(dāng)疾病不存在時(shí)總?cè)丝贜(t)數(shù)最終趨于，因此模型（5）的全部解將進(jìn)入或停留在區(qū)域D中，其中

區(qū)域D是模型（5）的正不變集，故定義基本再生數(shù)為

2 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

引理1(Lasalle不變?cè)?[9]：假設(shè)D是一個(gè)有界閉集,每個(gè)的解從D內(nèi)的一點(diǎn)出發(fā)最終仍在D內(nèi)，如果存在V(x):D→R連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)滿足下面條件：

引理 2[12]：若x(t)∈R是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)于任意的t≥t0都有

引理 3[12]：若x(t)∈R是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)于任意的t≥t0都有

引理4（一致漸近穩(wěn)定性定理）[13]：若x*是分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，Ω∈Rn是一個(gè)包含x*的區(qū)域。若L(t,x(t)):[0,∞]×Ω→R是連續(xù)可微函數(shù)滿足如下條件

定理1：當(dāng)R0＜1時(shí)模型（4）存在無病平衡點(diǎn)E0(S0,I0)，無病平衡點(diǎn)E0在區(qū)域D內(nèi)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，

證明：構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

根據(jù)引理2對(duì)V(S,I)求導(dǎo)得

將A=μS0代入上式

當(dāng)R0＜1 時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)S=S0,I=0時(shí)

定理2：當(dāng)R0＞1時(shí)模型（4）存在無病平衡點(diǎn)E0以及地方病平衡點(diǎn)E*(S*,I*)，地方病平衡點(diǎn)E*在區(qū)域D內(nèi)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，

證明:構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

根據(jù)引理2和引理3對(duì)V(S,I)求導(dǎo)得

將A=μ(S*+I*)-αI*，βS*=(δ+μ+α)代入上式得

當(dāng)R0＞1 時(shí)，。當(dāng)且僅當(dāng)S=S*,I-I*時(shí)

3 數(shù)值模擬與分析

（1）當(dāng)R0＜1時(shí)模型（4）存在無病平衡點(diǎn)，并且無病平衡點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

選取α=0.8，初始值（S0,I0）=(5,2)，A=1，β=0.2，μ=0.4,α=0.4,δ=0.2。通過計(jì)算可得R0=0.5＜1，無病平衡點(diǎn)E0(S0,I0)=(2,5,0)，模型（4）的易感者、感染者人數(shù)變化情況如圖1所示。

（2）當(dāng)R0＞1時(shí)模型（4）存在無病平衡點(diǎn)與地方病平衡點(diǎn)，并且地方病平衡點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

圖1 R0＜1時(shí)易感者、感染者人數(shù)變化圖

選取α=0.8，初始值（S0,I0）=(5,2)，A=2，β=0.2，μ=0.2,α=0.4,δ=0.2。通過計(jì)算可得R0=2.5＞1，無病平衡點(diǎn)E*(S*,I*)=(4,2)。模型（4）的易感者、感染者人數(shù)變化情況如圖2所示。

圖2 R0＞1時(shí)易感者、感染者人數(shù)變化圖

4 模型對(duì)比與分析

對(duì)于整數(shù)階動(dòng)力系統(tǒng)模型與分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型的差異性，分別對(duì)不同數(shù)值α的模型進(jìn)行對(duì)比。對(duì)于模型（4），分別取α=0.6,0.8,1，時(shí)，通過計(jì)算來進(jìn)行比較。

R0＜1 時(shí)，初始值 （S0,I0）=(5,2)，A=1，β=0.2，μ=0.4,α=0.4,δ=0.2。通過計(jì)算可得R0=0.5＜1，無病平衡點(diǎn)E0(S0,I0)=(2,5,0)，模型（4）的易感者、感染者人數(shù)變化情況如圖3、4所示。

R0＞1 時(shí)，初始值 （S0,I0）=(5,2)，A=2，β=0.2，μ=0.2,α=0.4,δ=0.2。通過計(jì)算可得R0=2.5＞1，無病平衡點(diǎn)E*(S*,I*)=(4,2)。模型（4）的易感者、感染者人數(shù)變化情況見圖5、6。

圖3 R0＜1時(shí)易感者人數(shù)變化

圖4 R0＜1時(shí)感染者人數(shù)變化

圖5 R0＞1時(shí)3種模型易感者人數(shù)變化

圖6 R0＞1時(shí)3種模型感染者人數(shù)變化

對(duì)上述數(shù)值模擬結(jié)果分析可知：

（1）不同分?jǐn)?shù)階傳染病模型不僅與相對(duì)應(yīng)的整數(shù)階模型具有相同的平衡點(diǎn)，而且平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性性質(zhì)也保持一致。

（2）不同階模型在數(shù)量的變化上互有區(qū)別，對(duì)于疾病的模型建立，我們可以選取適當(dāng)分?jǐn)?shù)階模型來描述疾病的流行過程。

5 結(jié)語

（1）本文研究了一類具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率分?jǐn)?shù)階SIS流行病模型的全局穩(wěn)定性，得出判斷疾病的閾值R0，當(dāng)R0＜1時(shí)模型，模型只存在無病平衡點(diǎn)E0，無病平衡點(diǎn)E0在區(qū)域D內(nèi)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，疾病最終會(huì)在該地區(qū)最終滅絕不會(huì)流行；當(dāng)R0＞1時(shí)模型存在無病平衡點(diǎn)E0以及地方病平衡點(diǎn)E*，地方病平衡點(diǎn)E*在區(qū)域D內(nèi)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，表明感染者人數(shù)最終會(huì)在該地區(qū)達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)量，即疾病會(huì)在該地區(qū)形成地方病。上述結(jié)果可為控制疾病的流行提供理論依據(jù)；在實(shí)際情況中，應(yīng)采取適當(dāng)?shù)拇胧┍M量減少R0的值，如減少接觸率（即減小β）、增大治愈率（即增大δ）等一系列措施來控制疾病流行。

（2）數(shù)值模擬分析結(jié)果表明：整數(shù)階模型與分?jǐn)?shù)階模型具有相同的穩(wěn)定性。這有助于分析模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，也有助于研究更復(fù)雜分?jǐn)?shù)階流行病模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

（3）通過不同階模型之間的對(duì)比發(fā)現(xiàn)：不同階模型在變化的過程中有所區(qū)別。這表明在模型建立中可以選取適當(dāng)階數(shù)的模型來描述疾病的流行過程。

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Global stability of a fractional-order SIS epidemic model with bilinear incidence rate

Zheng Yi,Yang Xia*
(Department of Mathematics,School of Science,Shihezi University,Xinjiang,Shihezi 832003,China)

In this paper,we discussed the global stability of a class of a fractional-order SIS epidemic model.By calculating,we obtained the disease-free EquilibriumE0and endemic equilibriumE*.By constructing the Lyapunov function,we obtain the global stability of the equilibrium points.WhenR0＜1,the disease-free equilibrium pointE0is globally asymptotically stable;whenR0＞1,the endemic equilibrium pointE*is globally asymptotically stable.Finally,some numerical simulations are given to confirm the conclusions.Some feasible suggestions are given to control the spread of disease.

equilibrium point;global stability;fractional dynamic system;Lyapunov function;bilinear incidence rate

Q332

A

10.13880/j.cnki.65-1174/n.2017.05.022

1007-7383(2017)05-0652-05

2016-12-12

鄭義（1991-）,男，碩士研究生，專業(yè)方向?yàn)樯飻?shù)學(xué)。

*通信作者：楊霞（1968-），女，教授，從事微分動(dòng)力系統(tǒng)方向研究，e-mail：xyshzu@163.com。