萬美玲，張樹義*，叢培根

（渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院,遼寧 錦州 121013）

Banach空間中φ-強(qiáng)增生型變分包含解的迭代逼近

萬美玲，張樹義*，叢培根

（渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院,遼寧 錦州 121013）

在實(shí)自反Banach空間框架下,研究一類φ-強(qiáng)增生型變分包含問題,利用新的分析技巧,證明了這類φ-強(qiáng)增生型變分包含問題解的帶混合誤差的迭代序列的強(qiáng)收斂性定理,最終從多方面推廣和改進(jìn)了有關(guān)研究中的相應(yīng)結(jié)果。

φ-強(qiáng)增生映象；變分包含；Ishikawa迭代序列；混合誤差

自從20世紀(jì)60年代變分不等式理論被提出以來，變分不等式及其相關(guān)問題理論逐步發(fā)展成當(dāng)今非線性分析理論的重要組成部分，其廣泛應(yīng)用于微分方程、運(yùn)籌學(xué)與控制論、非線性規(guī)劃、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、優(yōu)化理論、工程科學(xué)和經(jīng)濟(jì)模型等各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域。由于非線性變分包含是變分不等式的一種重要推廣形式，因此研究非線性變分包含問題解的存在與唯一性、收斂性的理論具有重要的理論意義。Chang[1]在一致光滑Banach空間中，研究了如下變分包含問題：設(shè)X是實(shí)Banach空間，D(T)表示映象T的定義域。T,A:H→H和g:H→H是3個(gè)映象，而ψ:H→R∪{+∞}為一真凸下半連續(xù)泛函。對(duì)給定的f∈H，求u∈H，使得

其中 ψ表示ψ的次微分。Ding[2]給出了η-次可微的概念，谷峰[3]利用η-次可微的概念對(duì)上述變分包含問題進(jìn)行了推廣，在這之后張樹義等[4-6]將上述變分包含問題做了進(jìn)一步推廣。

設(shè)T,A:X→X，N（·,·）:X×X→X,η:X*×X*→X*和 g:X→X*是 5個(gè)映象，ψ（·,·）:X*×X→R∪{+∞}是使得對(duì)每一固定y∈X,ψ（·,y）是具有η-次微分的真凸下半連續(xù)泛函。文獻(xiàn)[4-6]考慮下列Banach空間中的變分包含問題：對(duì)給定的f∈X，求u∈X，使得

上式中：ηψ(·,u)表示ψ(·,u)的η-次微分。易見，當(dāng)ψ(x1,y)=ψ(x1),y∈X,x1∈X*時(shí)，問題(1)化為文獻(xiàn)[3]研究的變分包含問題，再取η(x1,y1)=x1-y1,x1,y1∈X*和N(x,y)=x-y,x,y∈X，問題(1)化為文獻(xiàn)[1]研究的變分包含問題。另一方面，文獻(xiàn)[7-22]使用新的分析方法，討論了幾類非線性算子不動(dòng)點(diǎn)與方程解的迭代收斂性問題。受上述工作的啟發(fā)，本文的目的是在實(shí)自反Banach空間的框架下，研究φ-強(qiáng)增生型變分包含問題(1)解的具有混合誤差的Ishikawa迭代序列收斂性問題，本文結(jié)果推廣和改進(jìn)文獻(xiàn)[1，3]和其它一些已知的結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是實(shí)Banach空間，X*為X的對(duì)偶空間，〈·,·〉表示X與X*之間的廣義對(duì)偶對(duì)。正規(guī)對(duì)偶映象J:X→2X*定義為J(x)={f∈X*:〈x,f〉=||x||2=||f||2}。

定義 1[2]：設(shè)X是一實(shí) Banach空間，ψ:X*→R∪{+∞}為一真凸泛函，η:X*×X*→X*是一個(gè)映象，若對(duì)x0∈X，存在f∈X*，使得ψ(y)-ψ(x0)≥〈f,η(y,x0)〉,y∈X,則稱ψ在x0處是η-次可微的，并稱f為ψ在x0處的η-次梯度。在x0處的一切η-次梯度的集合用ηψ(x0)表示。

定義2：設(shè)T:X→X是一映象，稱映象T為增生的，如果x,y∈X，存在

j(x-y)∈J(x-y)，使得〈Tx-Ty,j(x-y)〉≥0。

熟知T是增生的，當(dāng)且僅當(dāng)x,y∈X及r＞0 有

定義 3：設(shè) T:X→X是一映象，φ:[0,+∞)→[0,+∞)是嚴(yán)格增加函數(shù)且φ(0)=0，稱映象T為φ-強(qiáng)增生的，如果對(duì)任給的x,y∈X，存在j(x-y)∈J(x-y)，使得

〈Tx-Ty,j(x-y)〉≥φ(||x-y||)||x-y||。

引理 1[4-6]：設(shè)X是實(shí)自反Banach空間，則下面的結(jié)論等價(jià)，

(i)x*∈X是變分包含問題(1)的解；

(ii)x*∈X是映象S:X→2X的不動(dòng)點(diǎn)，其中S(x)=f-(N(Tx,Ax)+ηψ(g(x),x))+x。

(iii)x*∈X是方程f∈N(Tx,Ax)+ηψ(g(x),x)的解。

引理 2[23]：設(shè)X是實(shí) Banach空間，T:X→X是連續(xù)的φ-強(qiáng)增生算子，則對(duì)任給的f∈X，方程Tx=f在X中有唯一解。

引理 3[24]：設(shè){an},{bn}和{cn}是 3個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)列，且滿足條件an+1≤(1-tn)an+bn+cn，n≥n0,其中n0是某一非負(fù)整數(shù)∞，則

2 主要結(jié)果

定理1：設(shè)X是實(shí)自反 Banach空間，T,A:X→X，N（·,·）:X×X→X,η:X*×X*→X*和g:X→X* 是 5個(gè)映象，而φ（·,·）:X*×X→R∪{+∞}是使得對(duì)每一固定y∈X,ψ（·,y）是具有η-次微分的真凸下半連續(xù)泛函。設(shè){αn}，{βn}是[0，1]中的實(shí)數(shù)列，{un},{vn},{un′},{u″n}都是X中的序列，且滿足以下條件

(i)N(T(·),A(·))+ηψ(g(·),·):X→X是連續(xù)的φ-強(qiáng)增生算子；

對(duì)任給的x0∈X，具有混合誤差項(xiàng)的Ishikawa迭代序列{xn}定義如下

若{xn}有界且 ||Sxn+1-Syn||→0(n→∞)，則{xn}強(qiáng)收斂于該變分包含問題(1)的唯一解x*。

證明：因 ||u′n||=o(αn)，存在λn≥0，λn→0(n→∞)，使得 ||u′n||=αnλn。因?yàn)橛诚?/p>

N(T(·),A(·))+ηψ(g(·),·):X→X是連續(xù)φ- 強(qiáng)增生的，由引理2知，對(duì)f∈X,方程

N(T(x),A(x))+ηψ(g(x),x)=f在X中有唯一解x*。由于X是自反的，故由引理1知，x*是變分包含問題(1)的唯一解，因而也是映象S在X中的唯一不動(dòng)點(diǎn)，即Sx*=x*。因N(T(·),A(·))+ηψ(g(·),·)是φ-強(qiáng)增生的，于是對(duì)任意x,y∈X，存在j(x-y)∈J(x-y)，使得

因此I-S-A(x,y)I是增生算子。由式(2)有

由式(3)有

因 1-(1-A(xn+1,x*))αn→1(n→∞),故存在n1,n≥n1,有，由式(5)n≥n1有

令 ||xn-x*||=αn,ταn=tn,bn=2αn||Sxn+1-Syn||+2αnλn和cn=2||u″n||則由式(7)和引理 3 有:an→0(n→∞),即xn→x*(n→∞)。如果r=0，則存在子列，使得

(1)若 ||xnj0+k+1-x*|≤ε，則 ||xnj0+2-x*||≤ε+2||

(2)若||xnj0+2-x*||＞ε，則由φ的嚴(yán)格增加性有

由式(6)有

即xn→x*(n→∞)。

定理1證畢。

注 1：如果N(T(·)，A(·))+nψ(g(·),·):X→X是Lipschitz 的，且βn→0,||vn||→0(n→∞)，則滿足||Sxn+1-Syn||→0(n→∞)。

注2：本文定理1從下列方面改進(jìn)與推廣了文獻(xiàn)[3]中的結(jié)果。

(1) 用ψ(·,·):X*×X→R∪{+∞}取代 ψ(·):X*→R∪{+∞}，其中 ψ(·,·)是使得對(duì)每一固定y∈X,ψ(·,y)是具有η-次微分的真凸下半連續(xù)泛函。

(2)不要求nψ。g::X→X一致連續(xù)性，也不要求序列{nψ(g(xn),xn)}有界性。

(3)定理1的證明方法不同于文獻(xiàn)[3]所用的方法。

注3：定理1改進(jìn)與推廣了文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果。

[1]Chang S S.On the Mann and Ishikawa iterative approximation of solutions to variational inclusion with accretive type mappings[J].Comput Math Appl，1999，37(9):17-24.

[2]Ding X P.Generalized quasi-variational-like inclusions with nonconvex functions[J].Appl Math Comput，2001，122(3):267-282

[3]谷峰.一類新的φ-強(qiáng)增生型變分包含問題解的存在性與迭代逼近[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2008，37(4):469-477.Gu F.The existence and iterative approximations of solutions for a class of variational inclusion withstongly accretive type mappings[J].Advances in Math，2008，37(4):469-477.

[4]張樹義.Banach空間中k-次增生型變分包含解的存在與收斂性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2012，32(3):363-376.Zhang S Y.The existence and convergence of solutions for variational inclusions withsubaccretive type mappings in Banach spaces[J].J Sys Sci Math Scis，2012，32(3):363-376.

[5]Zhang S Y，Guo X Q，Wang J.Noor iterative approximation for solutions to variational inclusions with subaccretive type mappings in reflexive Banach spaces[J].An St Univ Ovidius Constanta，2012，20(1):505-517.

[6]張樹義，郭新琪，宋曉光.一類k-次增生型變分包含解的存在性與Noor迭代逼近[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013，43(7):170-175.Zhang S Y，Guo X Q，Song X G.The existence and Noor iterative approximation of solutions for a class of variational inclusions withsubaccretive type mappings[J].J Math in Practice and Theory，2013，43(7):170-175.

[7]Zhang S Y.Implicit iteration approximation for a finite family of asymptotically quasi-pseudocontractive type mappings[J].Bull Iranian Math Soc，2014，40(1):263-279.

[8]Zhang S Y.Song X G.Another note on a paper“Convergence theorem for the common solution for a finite family ofφ-strongly accretive operator equations”[J].Appl Math Comput，2015，258(1):367-371.

[9]Yang L P.Convergence theorems of implicit iteration process for asymptotically pseudocontractive mappings[J].Bull Iranian Math Soc，2012，38(3):699-713.

[10]Gurudwan N，Sharma B K.Convergence theorem for the common solution for a finite family ofφ-strongly accretive operator equations[J].Appl Math Comput，2011，217(15):6748-6754.

[11]Petrusel A，Sahu D，Sagar V.An extragradient iterative scheme for common fixed point problems and variational inequality problems with applications[J].An St Univ Ovidius Constanta，2015，23(1):247-266.

[12]Soori E.Strong convergence for variational inequalities and equilibrium problems and representations[J].Int J Industrial Math，2013，5(4):341-354.

[13]Nguyen B，Nguyen T H P，Nguyen T T T.Explicit iteration methods for a class of variational inequalities in Banach spaces[J].Russian Math，2015，59(10):16-22.

[14]張樹義，劉冬紅，李丹.k-次增生算子方程的迭代解[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，16(5):574-578.Zhang S Y，Liu D H，Li D.The iterative solution ofsubaccretive operator equation[J].J Beihua University(Natural Science)，2015，16(5):574-578.

[15]趙美娜，張樹義，趙亞莉.Banach空間中k-次增生算子方程解的迭代逼近[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，16(6):720-724.Zhao M N，Zhang S Y，Zhao Y L.Iterative approximations of solutions for operators equation withsubaccretive in Banach space[J].J Beihua University(Natural Science)，2015，16(6):720-724.

[16]張樹義，宋曉光，萬美玲.非Lipschitz漸近偽壓縮映象不動(dòng)點(diǎn)的迭代逼近[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，15(5):581-587.Zhang S Y，Song X G，Wan M l.Iterative approximations of fixed point for non-Lipschitz asymptotically pseudocontractive mappings[J].J Beihua University(Natural Science)，2014，15(5):581-587.

[17]張樹義，趙美娜，李丹.漸近半壓縮映象具混合型誤差的迭代收斂性[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，16(3):165-169.Zhang S Y，Zhao M N，Li D.Convergence of iterative sequences with mixed errors for asymptotically demicontractive mappings[J].J Beihua University(Natural Science)，2015，16(3):165-169.

[18]張樹義，萬美玲，李丹.漸近偽壓縮型映象迭代序列的強(qiáng)收斂定理[J].江南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，13(6):726-730.Zhang S Y，Wan M L，Li D.Strong convergence theorem of iterative sequences for asymptotically pseudocontractive type mappings[J].J Jiangnan University(Natural Science)，2014,13(6):726-730.

[19]林媛，張樹義，叢培根.漸近非擴(kuò)張型映象具有誤差的迭代收斂性[J].石河子大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2017，35(4):513-517.Lin Y，Zhang S Y，Cong Peigen.Convergence of iterative sequences with errors for asymptotically nonexpansive type mappings.Journal of Shihezi University(Natural Science)，2017，35(4):513-517.

[20]張樹義，李丹，叢培根.增生算子零點(diǎn)的迭代逼近[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2017，18(2):1-7 Zhang S Y，Li D，Cong Peigen，Iterative approximation of zero points for accretive operators.J ournal of Beihua Universities(Natural Science)，2017，18(2):1-7

[21]趙美娜，張樹義，鄭曉迪.一類算子方程迭代序列的穩(wěn)定性[J].輕工學(xué)報(bào)，2016，31(6):100-108.Zhao M N，Zhang S Y，Zheng Xiaodi.Stability of sterative sequences for a class of operators equation.J.of Light Industry，2016，31(6):100-108.

[22]趙美娜，張樹義，趙亞莉.有限族廣義一致偽Lipschitz映象公共不動(dòng)點(diǎn)的迭代收斂性[J].煙臺(tái)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)與工程版)，2017，30(1):7-10.Zhao M N，Zhang S Y，Zhao Yali.Iterative convergence of common fixed points for a finite family of generalized uniformly quasi-Lipschitz mappings.J ournal of Yantai Universities(Natural Science)，2017，30(1):7-10.

[23]Liu Z Q，Kang S M.Convergence theorems forφstrongly accretive andφhemicontractive operators[J].J Math Anal Appl，2001，253(1):35-49.

[24]Liu L S.Ishikawa and Mann iterative process with errors for nonlinear strongly accretive mappings in Banach spaces[J].J Math Anal Appl，1995，194(1):114-125.

Iterative approximations of solutions for the variational inclusion withφ-stongly accretive type mappings in Banach spaces

Wan Meiling，Zhang Shuyi，Cong Peigen
(College of Mathematics and Physics， Bohai University， Jinzhou， Liaoning 121013， China)

The purpose of this paper is to study a class of variational inclusion problem withφ-stongly accretive type mappings in real reflexive Banach spaces and prove strong convergence theorem of Ishikawa iterative sequences with mixed errors of solutions for this class of variational inclusion problem withφ-stongly accretive type mappings by using a new analytical method.The results obtained in this paper extend and improve the corresponding results in some references from many aspects.

φ-stongly accretive mappings;variational inclusion;Ishikawa iterative sequences;mixed errors

O177.91

A

10.13880/j.cnki.65-1174/n.2017.05.021

1007-7383(2017)05-0648-04

2016-03-25

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11371070）

萬美玲（1991-）女，碩士研究生，專業(yè)方向?yàn)榉蔷€性泛函分析。

*通信作者：張樹義（1960-），男，教授，研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析，e-mail:jzzhangshuyi@126.com。