萬美玲，張樹義*，叢培根

（渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院,遼寧 錦州 121013）

Banach空間中φ-強(qiáng)增生型變分包含解的迭代逼近

萬美玲，張樹義*，叢培根

（渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院,遼寧 錦州 121013）

在實(shí)自反Banach空間框架下,研究一類φ-強(qiáng)增生型變分包含問題,利用新的分析技巧,證明了這類φ-強(qiáng)增生型變分包含問題解的帶混合誤差的迭代序列的強(qiáng)收斂性定理,最終從多方面推廣和改進(jìn)了有關(guān)研究中的相應(yīng)結(jié)果。

φ-強(qiáng)增生映象；變分包含；Ishikawa迭代序列；混合誤差

自從20世紀(jì)60年代變分不等式理論被提出以來，變分不等式及其相關(guān)問題理論逐步發(fā)展成當(dāng)今非線性分析理論的重要組成部分，其廣泛應(yīng)用于微分方程、運(yùn)籌學(xué)與控制論、非線性規(guī)劃、數(shù)理統(tǒng)計、優(yōu)化理論、工程科學(xué)和經(jīng)濟(jì)模型等各個科學(xué)領(lǐng)域。由于非線性變分包含是變分不等式的一種重要推廣形式，因此研究非線性變分包含問題解的存在與唯一性、收斂性的理論具有重要的理論意義。Chang[1]在一致光滑Banach空間中，研究了如下變分包含問題：設(shè)X是實(shí)Banach空間，D(T)表示映象T的定義域。T,A:H→H和g:H→H是3個映象，而ψ:H→R∪{+∞}為一真凸下半連續(xù)泛函。對給定的f∈H，求u∈H，使得

其中 ψ表示ψ的次微分。Ding[2]給出了η-次可微的概念，谷峰[3]利用η-次可微的概念對上述變分包含問題進(jìn)行了推廣，在這之后張樹義等[4-6]將上述變分包含問題做了進(jìn)一步推廣。

設(shè)T,A:X→X，N（·,·）:X×X→X,η:X*×X*→X*和 g:X→X*是 5個映象，ψ（·,·）:X*×X→R∪{+∞}是使得對每一固定y∈X,ψ（·,y）是具有η-次微分的真凸下半連續(xù)泛函。文獻(xiàn)[4-6]考慮下列Banach空間中的變分包含問題：對給定的f∈X，求u∈X，使得

上式中：ηψ(·,u)表示ψ(·,u)的η-次微分。易見，當(dāng)ψ(x1,y)=ψ(x1),y∈X,x1∈X*時，問題(1)化為文獻(xiàn)[3]研究的變分包含問題，再取η(x1,y1)=x1-y1,x1,y1∈X*和N(x,y)=x-y,x,y∈X，問題(1)化為文獻(xiàn)[1]研究的變分包含問題。另一方面，文獻(xiàn)[7-22]使用新的分析方法，討論了幾類非線性算子不動點(diǎn)與方程解的迭代收斂性問題。受上述工作的啟發(fā)，本文的目的是在實(shí)自反Banach空間的框架下，研究φ-強(qiáng)增生型變分包含問題(1)解的具有混合誤差的Ishikawa迭代序列收斂性問題，本文結(jié)果推廣和改進(jìn)文獻(xiàn)[1，3]和其它一些已知的結(jié)果。

1 預(yù)備知識

設(shè)X是實(shí)Banach空間，X*為X的對偶空間，〈·,·〉表示X與X*之間的廣義對偶對。正規(guī)對偶映象J:X→2X*定義為J(x)={f∈X*:〈x,f〉=||x||2=||f||2}。

定義 1[2]：設(shè)X是一實(shí) Banach空間，ψ:X*→R∪{+∞}為一真凸泛函，η:X*×X*→X*是一個映象，若對x0∈X，存在f∈X*，使得ψ(y)-ψ(x0)≥〈f,η(y,x0)〉,y∈X,則稱ψ在x0處是η-次可微的，并稱f為ψ在x0處的η-次梯度。在x0處的一切η-次梯度的集合用ηψ(x0)表示。

定義2：設(shè)T:X→X是一映象，稱映象T為增生的，如果x,y∈X，存在

j(x-y)∈J(x-y)，使得〈Tx-Ty,j(x-y)〉≥0。

熟知T是增生的，當(dāng)且僅當(dāng)x,y∈X及r＞0 有

定義 3：設(shè) T:X→X是一映象，φ:[0,+∞)→[0,+∞)是嚴(yán)格增加函數(shù)且φ(0)=0，稱映象T為φ-強(qiáng)增生的，如果對任給的x,y∈X，存在j(x-y)∈J(x-y)，使得

〈Tx-Ty,j(x-y)〉≥φ(||x-y||)||x-y||。

引理 1[4-6]：設(shè)X是實(shí)自反Banach空間，則下面的結(jié)論等價，

(i)x*∈X是變分包含問題(1)的解；

(ii)x*∈X是映象S:X→2X的不動點(diǎn)，其中S(x)=f-(N(Tx,Ax)+ηψ(g(x),x))+x。

(iii)x*∈X是方程f∈N(Tx,Ax)+ηψ(g(x),x)的解。

引理 2[23]：設(shè)X是實(shí) Banach空間，T:X→X是連續(xù)的φ-強(qiáng)增生算子，則對任給的f∈X，方程Tx=f在X中有唯一解。

引理 3[24]：設(shè){an},{bn}和{cn}是 3個非負(fù)實(shí)數(shù)列，且滿足條件an+1≤(1-tn)an+bn+cn，n≥n0,其中n0是某一非負(fù)整數(shù)∞，則

2 主要結(jié)果

定理1：設(shè)X是實(shí)自反 Banach空間，T,A:X→X，N（·,·）:X×X→X,η:X*×X*→X*和g:X→X* 是 5個映象，而φ（·,·）:X*×X→R∪{+∞}是使得對每一固定y∈X,ψ（·,y）是具有η-次微分的真凸下半連續(xù)泛函。設(shè){αn}，{βn}是[0，1]中的實(shí)數(shù)列，{un},{vn},{un′},{u″n}都是X中的序列，且滿足以下條件

(i)N(T(·),A(·))+ηψ(g(·),·):X→X是連續(xù)的φ-強(qiáng)增生算子；

對任給的x0∈X，具有混合誤差項(xiàng)的Ishikawa迭代序列{xn}定義如下

若{xn}有界且 ||Sxn+1-Syn||→0(n→∞)，則{xn}強(qiáng)收斂于該變分包含問題(1)的唯一解x*。

證明：因 ||u′n||=o(αn)，存在λn≥0，λn→0(n→∞)，使得 ||u′n||=αnλn。因?yàn)橛诚?/p>

N(T(·),A(·))+ηψ(g(·),·):X→X是連續(xù)φ- 強(qiáng)增生的，由引理2知，對f∈X,方程

N(T(x),A(x))+ηψ(g(x),x)=f在X中有唯一解x*。由于X是自反的，故由引理1知，x*是變分包含問題(1)的唯一解，因而也是映象S在X中的唯一不動點(diǎn)，即Sx*=x*。因N(T(·),A(·))+ηψ(g(·),·)是φ-強(qiáng)增生的，于是對任意x,y∈X，存在j(x-y)∈J(x-y)，使得

因此I-S-A(x,y)I是增生算子。由式(2)有

由式(3)有

因 1-(1-A(xn+1,x*))αn→1(n→∞),故存在n1,n≥n1,有，由式(5)n≥n1有

令 ||xn-x*||=αn,ταn=tn,bn=2αn||Sxn+1-Syn||+2αnλn和cn=2||u″n||則由式(7)和引理 3 有:an→0(n→∞),即xn→x*(n→∞)。如果r=0，則存在子列，使得

(1)若 ||xnj0+k+1-x*|≤ε，則 ||xnj0+2-x*||≤ε+2||

(2)若||xnj0+2-x*||＞ε，則由φ的嚴(yán)格增加性有

由式(6)有

即xn→x*(n→∞)。

定理1證畢。

注 1：如果N(T(·)，A(·))+nψ(g(·),·):X→X是Lipschitz 的，且βn→0,||vn||→0(n→∞)，則滿足||Sxn+1-Syn||→0(n→∞)。

注2：本文定理1從下列方面改進(jìn)與推廣了文獻(xiàn)[3]中的結(jié)果。

(1) 用ψ(·,·):X*×X→R∪{+∞}取代 ψ(·):X*→R∪{+∞}，其中 ψ(·,·)是使得對每一固定y∈X,ψ(·,y)是具有η-次微分的真凸下半連續(xù)泛函。

(2)不要求nψ。g::X→X一致連續(xù)性，也不要求序列{nψ(g(xn),xn)}有界性。

(3)定理1的證明方法不同于文獻(xiàn)[3]所用的方法。

注3：定理1改進(jìn)與推廣了文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果。

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Iterative approximations of solutions for the variational inclusion withφ-stongly accretive type mappings in Banach spaces

Wan Meiling，Zhang Shuyi，Cong Peigen
(College of Mathematics and Physics， Bohai University， Jinzhou， Liaoning 121013， China)

The purpose of this paper is to study a class of variational inclusion problem withφ-stongly accretive type mappings in real reflexive Banach spaces and prove strong convergence theorem of Ishikawa iterative sequences with mixed errors of solutions for this class of variational inclusion problem withφ-stongly accretive type mappings by using a new analytical method.The results obtained in this paper extend and improve the corresponding results in some references from many aspects.

φ-stongly accretive mappings;variational inclusion;Ishikawa iterative sequences;mixed errors

O177.91

A

10.13880/j.cnki.65-1174/n.2017.05.021

1007-7383(2017)05-0648-04

2016-03-25

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11371070）

萬美玲（1991-）女，碩士研究生，專業(yè)方向?yàn)榉蔷€性泛函分析。

*通信作者：張樹義（1960-），男，教授，研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析，e-mail:jzzhangshuyi@126.com。