余明芳 王欽敏

（福建教育學院數(shù)學教研室，福建 福州 350025）

合情開展數(shù)學探究式教學的兩個主要途徑

余明芳 王欽敏

（福建教育學院數(shù)學教研室，福建 福州 350025）

調(diào)研訪談表明，當前大部分中小學生，對數(shù)學探究的策略與方法尚缺乏了解，教師因課堂教學用時緊張，也很難給學生騰出足夠的思考時間，面對這樣的學情與教情，合情開展數(shù)學探究式教學的兩個主要途徑是：在日常教學中進行探究示范，讓學生掌握數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)的策略與方法；在學生自主探究過程中適時指導，并使其可延伸為課后自覺主動的探索。

探究與發(fā)現(xiàn)；探究示范教學；自主探究；適時指導

探究與發(fā)現(xiàn)能力是人類創(chuàng)新智慧的核心要素，有策略地逐步培養(yǎng)學生數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)的能力，是中小學數(shù)學教學的一個重要任務。對此，荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾曾極力強調(diào)，數(shù)學教育應是引導學生重復人類數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程，是一種有指導的再創(chuàng)造，所有的數(shù)學教學活動都應讓學生根據(jù)自己的建構(gòu)與自由發(fā)揮，發(fā)現(xiàn)并提出各種數(shù)學問題。［1］然而，在我們的調(diào)研訪談中，很多教師認為，數(shù)學中的許多知識，在歷史上都有一個漫長的被發(fā)現(xiàn)的過程，雖然可以由教師在短時間內(nèi)講完，卻很難由學生通過自主探究予以重新發(fā)現(xiàn)，即使能夠，也要占用大量教學時間，開展探究式教學培養(yǎng)學生的數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)能力，不僅在實施方面有很大困難，而且缺乏效益，不適合各類測試需求。［2］詳細剖析這一說法，不難看出，我們對“探究式教學”這個概念仍存在很深的誤解。事實上，讓學生進行自主探究只是開展探究式教學的方式之一，筆者認為，需要更多地沿著以下兩個途徑，方可切合中小學數(shù)學教學實情，更有意義更有效益地開展探究式教學。

一、在日常教學中進行探究示范，讓學生掌握數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)的策略與方法

通常，探究式教學被認為是指學生在學習概念和原理時，教師只是給他們一些事例和問題，讓學生自己通過閱讀、觀察、實驗、思考、討論、聽講等途徑去獨立探究，自行發(fā)現(xiàn)并掌握相應的原理和結(jié)論的一種教學方法。筆者認為，這一定義是更多地關注了“探究式地學”的一面，而大大忽略了“探究式地教”的一面，以之為出發(fā)點實施探究式教學，教學過程就難免會以學生個人探究為主，讓許多長年受教于“聽講”教學模式下的學生無法適應。教學試驗表明，開展以學生個人探究為主的教學，大都須在學生已掌握了許多進行數(shù)學探究的策略與方法的前提下進行，因而，需要教師在日常教學中進行大量的探究示范。

教師“探究式地教”即在課堂進行探究示范教學，是探究式教學這一概念的重要內(nèi)涵，也是培養(yǎng)學生數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)能力的必要方式與“重頭戲”。通過探究示范教學，教師將個人進行數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思維活動融入課堂，以實驗、歸納、類比、運算與演繹等方式真實呈現(xiàn)數(shù)學創(chuàng)造的整個過程，可以讓學生理解并掌握數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)的策略與方法，逐步形成個人進行自主探究的思維習慣與能力。［3］與通常的解題教學相比，探究示范教學可以讓學生更有機會運用直覺思維通過歸納與類比等推理對問題結(jié)論進行猜想，因而可以更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學發(fā)現(xiàn)能力。

在數(shù)學教學中，要將一個新知識牢固地栽植到學生已有的認知系統(tǒng)中，大都需要教師通過“探究式地教”以引導學生發(fā)現(xiàn)新舊知識間的各種聯(lián)系。只有學生比較完整地認識了知識間的聯(lián)系，才能整體把握知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，并從知識系統(tǒng)的整體角度理解各個知識的地位與作用。由于教材大多是按知識的縱向關系單向編排的，許多知識間的聯(lián)系只有在復習教學中才適合被揭示，因而，復習教學時開展專題探究，對促進學生關于數(shù)學知識的“關系性理解”與“結(jié)構(gòu)性理解”具有重要作用。［4］例如，在高三數(shù)學“點到直線的距離公式”復習教學中，關于公式的結(jié)論與應用是屬于記憶和解題程序操作的“工具性理解”層面，已非高三復習教學要點，教師備課時應考慮到此公式證法繁多，而學生在之前學習中卻只略知一二，如果對公式的推導展開探究示范教學,可以培養(yǎng)學生的探究與發(fā)現(xiàn)能力,也可以培養(yǎng)學生的分析與解決問題的能力，同時，還可以讓學生認識到許多知識間的內(nèi)在聯(lián)系，因此，將“點到直線的距離公式推導”擬為教師探究示范或?qū)W生自主探究的專題都是一個比較合理的思路。

在教學導入時，教師可提出問題：坐標平面xOy中，當直線l：Ax+By+C=0不與坐標軸平行時，如何求出點 P（x0，y0）到直線l的距離？首輪復習中，學生雖已不太記得教材相關內(nèi)容，但大都能通過分析擬出第一個計劃：在右圖中作點P到直線l的垂線段PQ，寫出直線 PQ的方程并將它與直線l的方程聯(lián)立，求得點Q坐標，再以兩點間距離公式求得 P Q 。如果學生運算時頻頻出錯，就需要教師進行示范教學板演運算過程，然后在得到結(jié)論后指出：“這是一個常規(guī)思路，但其中的方程組求解與兩點間距離公式讓運算變得比較復雜。有什么方法可以讓我們繞過復雜的計算？”如果學生良久無語，就需要教師進一步啟發(fā)：“在坐標平面上，若兩點連線與坐標軸平行，兩點間距離公式可簡化，那么，能否像物理中對物體進行受力分析一樣，將線段PQ拆解為水平與豎直兩個方向上的線段呢？”如果學生仍束手無策，就還需要教師對以下過程進行探究示范教學：過點P作兩坐標軸的平行線，分別交直線l于點M、N，求出它們的坐標以及 PM、P N 的表達式，然后在Rt△MPN中以面積法求得 P Q 。

以上兩種方法是分別將問題置于直線方程、直角三角形的知識系統(tǒng)進行思考，從問題與系統(tǒng)知識的聯(lián)系中找到解題思路，其遵循了數(shù)學探究策略的系統(tǒng)原則，其中第二個方法為避開繁雜計算采用了化斜為直的思路，則反映了數(shù)學探究策略的多變原則。向?qū)W生指出這兩個常用探究策略原則后，教師可繼續(xù)讓學生搜尋與問題有關聯(lián)的知識，看還可以將問題置于哪些知識系統(tǒng)中進行思考。

學生可能由圖中的線段MP與PQ分別是直角三角形的斜邊與直角邊，聯(lián)想到三角函數(shù)公式，將問題置于三角函數(shù)的知識系統(tǒng)進行思考：設直線l的傾斜角為 α，由 tan2∠MPQ=tan2α 求出 cos∠MPQ，然后由PM 的表達式求出 PQ ；也可能將問題置于向量的知識系統(tǒng)進行思考：設點Q（x,y）是直線l上任一點，故所求的點P到直線l的距離，即為向量 P→Q在直線l的一個法向量→n=（A，B）上的投影，可應用公式求出 PQ 。

二、在學生自主探究過程中適時指導，并使其可延伸為課后自覺主動的探索

“教是為了不教”，教師在日常教學中進行大量的探究示范，是為了讓學生掌握數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)的策略與方法，讓學生自主探究與發(fā)現(xiàn)的能力。在數(shù)學課堂上，教師的探究示范與學生的自主探究往往是相互交織、相互促進的一個統(tǒng)一過程，教師探究示范與學生自主探究的用時占比應視學情而定：在探究示范教學中，需要教師騰出讓學生對問題進行審視和思考的時間，并在學生可自行探究時給學生自主探究的機會；在學生自主探究中，也需要教師對少部分有思維障礙的學生進行個別指導，或在大部分學生茫然相向一籌莫展時給予啟發(fā)、點撥，甚至進行細致的探究示范教學。

這也就意味著，如果一個學生尚無自主探究的經(jīng)歷,他最需要的是在教師的探究示范教學中先了解一些數(shù)學探究的策略與方法，然后在有教師指導下的探究中，或在有同學合作的探究中獲得一些活動經(jīng)驗，伴隨著獨立思考習慣和探索進取精神的日漸養(yǎng)成，自主探究與發(fā)現(xiàn)的能力才得以逐步提高。當學生的自主探究無法進一步深入時，需要教師適時點撥，給學生一些提示，如上述的復習教學中，學生已難以繼續(xù)聯(lián)想，難以找到與問題相聯(lián)系的知識，教師可給出如下提示：“設點 Q（x，y）為直線 l上的任一點，其與點 P距離的最小值就是點P到直線l的距離”，這個提示點開了新思路，能引導一些學生從與前面獲得的公式分母 A2+B2聯(lián)想到柯西不等式，由（A2+B2）［（x-x0）2+（y-y0）2］≥［A（x-x0）+B（y-y0）］2證得結(jié)論。

當學生的自主探究思路遇到障礙無法實現(xiàn)時，也需要教師適時啟發(fā)，給學生一些建議，如在上述應用柯西不等式時，若有學生不熟悉該公式內(nèi)容，教師可建議學生證明它，或?qū)ⅲˋ2+B2）［（x-x0）2+（y-y0）2］拆為A2（x-x0）2+B2（y-y0）2+A2（y-y0）2+B2（x-x0）2，再配方化為［A（x-x0）+B（y-y0）］2+［A（y-y0）+B（x-x0）］2，讓學生仍可與使用柯西不等式一樣從（A2+B2）［（x-x0）2+（yy0）2］≥［A（x-x0）+B（y-y0）］2證得結(jié)論。

中小學生在課外進行的數(shù)學學習，通常以預習、復習和完成習題作業(yè)為主，對數(shù)學自主探究與發(fā)現(xiàn)能力的培養(yǎng)具有一定作用，但如果教師能從課堂探究的問題中選擇若干引申問題留待學生課后進一步思考，就會對學生自主探究與發(fā)現(xiàn)能力的提高產(chǎn)生更大作用。為了能讓課堂探究延伸為課后學生自覺主動的探索，所選引申問題除了應圍繞教學主題，有助于新舊知識聯(lián)系的溝通與知識體系的構(gòu)建之外，還應對學生思維具有一定挑戰(zhàn)性，能激活好奇心激起認知沖突，使學生對問題具有較強的探究愿望。［4］例如，在點到直線的距離公式復習課中，對推導問題感興趣的學生就有可能在課后繼續(xù)思考，由問題中的距離聯(lián)想到直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，得到新的證法：將過點P（x0，y0）的某一直線參數(shù)標準方程代入直線 的方程，求出t的表達式，然后應用公式 -Acosθ-Bsinθ≤獲得結(jié)論。［5］

由以上分析可知，在實際教學中，教師應充分關注學情，不應形式化地執(zhí)意主體生成而忽視示范講授，甚至排斥點撥啟發(fā)。探究示范教學除了能讓學生掌握探究的策略與方法，也能使新知識自然融入學生已學知識體系，且能更完整地展現(xiàn)數(shù)學的魅力，而學生自主探究中教師的點撥與啟發(fā)有助于激發(fā)學生的靈感與頓悟，讓學生更深入地思考，二者均能促進學生關于數(shù)學知識的“關系性理解”進程，提高學生的數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)能力，讓學生學得主動而扎實，學得更有意義。［6］

三、結(jié)語

在中小學數(shù)學教學中，學生“學不入迷”“懂而不會”與“認識低下”是三個普遍存在的現(xiàn)象，筆者認為，“照本宣科”式教學、“熱冷飯”式復習與不斷重復的題型訓練使得教無創(chuàng)意、學無新意，是教學方面引發(fā)三個現(xiàn)象產(chǎn)生的主要原因，［7］而立足教材選擇探究式教學課題，立足學情開展教師探究示范與學生自主探究教學，［5］則是抑制和消除三個現(xiàn)象的主要對策，這是因為，探究式教學不僅可以培養(yǎng)中小學生數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)的能力，而且可以讓學生在潛心思考后產(chǎn)生的靈感與頓悟中感受數(shù)學美，［8］更全面地認識知識間的聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)化的知識體系，深刻領悟數(shù)學的思維策略智慧，提高解決數(shù)學綜合問題與開放性問題的能力［9］，提升關于數(shù)學思想與數(shù)學精神的認識領悟水平。

［1］弗賴登塔爾.作為教育任務的數(shù)學［M］.上海：上海教育出版社，1995.

［2］王欽敏.高中數(shù)學教師專業(yè)素養(yǎng)現(xiàn)狀的調(diào)查與分析［J］.福建教育學院學報，2012（5）.

［3］王欽敏，余明芳.高中數(shù)學骨干教師培訓課程設置的目標與途徑［J］.中小學教師培訓，2016（11）.

［4］余明芳，王欽敏.例談數(shù)學探究課題的選擇與教學設計［J］.數(shù)學通報，2015（11）.

［5］王欽敏.教材邊上好數(shù)學［M］.福州：福建人民出版社，2014.

［6］李子建，尹弘飚.課堂環(huán)境對香港學生自主學習的影響［J］.北京大學教育評論，2010（1）.

［7］王欽敏.如何對數(shù)學教材進行有益的拓展與改造［J］.數(shù)學通報，2013（1）.

［8］王欽敏.感受數(shù)學美的兩個重要途徑［J］.數(shù)學教育學報，2014（2）.

［9］張遠增，倪明，任升錄.對數(shù)學開放性問題的幾點認識［J］.數(shù)學教育學報，2000（4）.

G633.6

A

1673-9884（2017）11-0051-03

2017-10-12

2016年度福建省教育科學“十三五”規(guī)劃重點課題（FJJKCGZ16-177）

余明芳，女，福建教育學院中學高級教師。