王嘉薇

(安徽財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

一類具有時滯的經(jīng)濟(jì)模型Hopf分岔*

王嘉薇

(安徽財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

利用特征值方法，討論了一類具有時滯的宏觀經(jīng)濟(jì)模型局部漸近穩(wěn)定和局部Hopf分岔的存在性，得到模型產(chǎn)生局部Hopf分岔的時滯臨界點(diǎn).研究表明，有效控制或者延遲Hopf分岔的產(chǎn)生，有利于市場的健康發(fā)展.最后利用仿真示例，驗證了所得結(jié)果的正確性.

時滯；經(jīng)濟(jì)模型；Hopf分岔

引言

在微分方程的定性理論中，穩(wěn)定性和分岔理論作為其中的一個重要分支，受到國內(nèi)外眾多研究學(xué)者的關(guān)注，尤其是在捕食系統(tǒng)模型、傳染病模型方面取得了諸多成果[1～3].近年來，有不少研究學(xué)者，利用微分方程穩(wěn)定性理論和分岔理論中的成果，對能源價格模型[4,5]、經(jīng)濟(jì)學(xué)模型[6]進(jìn)行了深入研究.文獻(xiàn)[7]根據(jù)具有疾病的捕食系統(tǒng)模型提出下列關(guān)于投資企業(yè)之間的一類經(jīng)濟(jì)模型：

(1)

其中，x(t)表示投資項目在時刻t的數(shù)量，y1(t)表示正常運(yùn)營的投資公司在時刻t的數(shù)量，y2(t)表示面臨倒閉的投資公司在時刻t的數(shù)量.r1,r2,b1,b2,d1,d2,a,和c均為模型(1)的系數(shù)，并且均為正常數(shù).其中，r1(r2)表示投資項目(正常運(yùn)營的投資公司)的自然增長率；b1(b2)表示投資項目與正常運(yùn)營的投資公司(面臨倒閉的投資公司)之間的作用系數(shù)；d1(d2)表示正常運(yùn)營的投資公司(面臨倒閉的投資公司)的自然衰退率；a表示投資項目受已有項目數(shù)的抑制系數(shù)；c表示正常運(yùn)營的投資公司因獲得投資項目而具有的發(fā)展率.文獻(xiàn)[8]在模型(1)的基礎(chǔ)上增加了宏觀調(diào)控，得到具有宏觀調(diào)控的時滯經(jīng)濟(jì)模型：

(2)

其中，τ為投資項目的成熟期時滯，K為國家對投資項目宏觀調(diào)控的作用系數(shù).文獻(xiàn)[7]研究了模型(2)的穩(wěn)定性.但是文獻(xiàn)[7]忽略了一點(diǎn)，即正常運(yùn)營的投資公司走向倒閉，需要經(jīng)過一個過渡期.基于此，本文在模型(2)的基礎(chǔ)進(jìn)一步引入正常運(yùn)營的投資公司向面臨倒閉的公司過渡期時滯，得到下列具有兩個時滯的宏觀經(jīng)濟(jì)模型：

(3)

其中，τ1為投資項目的成熟期時滯，τ2為正常運(yùn)營的投資公司向面臨倒閉的公司過渡期時滯.本文只討論當(dāng)τ1=τ2的情形.當(dāng)τ1=τ2時，模型(3)變?yōu)?/p>

(4)

本文主要以時滯τ為分岔參數(shù)，利用文獻(xiàn)[9]中的Hopf分岔定理討論模型(4)Hopf分岔的存在性.

1 Hopf分岔的存在性

(5)

其中，

λ3+A2λ2+A1λ+A0+(B2λ2+B1λ+B0)e-λτ+(C1λ+C0)e-2λτ=0.

(6)

其中，

A0=a1a6a7+a2a4a8-a1a5a8,

A1=a1a5+a1a8+a5a8-a2a4-a6a7,

A2=-(a1+a5+a8),

B0=a1a6b2+a2a4b3-a3a4b2-b1(a6a7+a5a8+a1a5),

B1=b1(a5+a8)+b3(a1+a5)-a6b2,

B2=-(b1+b3),C0=a6b1b2-a5b1b3,C1=b1b3,

在方程(6)左右兩邊同時乘以eλτ，方程(6)變?yōu)橄铝行问?/p>

B2λ2+B1λ+B0+(λ3+A2λ2+A1λ+A0)eλτ+(C1λ+C0)e-λτ=0.

(7)

當(dāng)τ=0時，得到

λ3+(A2+B2)λ2+(A1+B1+C1)λ+A0+B0+C0=0.

(8)

顯然，根據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)可知，當(dāng)A0+B0+C0>0,A2+B2>0，且(A2+B2)(A0+B0+C0)>A1+B1+C1時，方程(7)的根均具有負(fù)實部.此時模型(4)局部漸近穩(wěn)定.

當(dāng)τ>0時，令λ=iω(ω>0)為方程(7)的根，則有

(9)

其中，

P1(ω)=C1ω-A1ω+ω3,P2(ω)=C0+A0-A2ω2,

P3(ω)=B2ω2-B0,P4(ω)=C1ω+A1ω-ω3,

P5(ω)=C0-A0+A2ω2,P6(ω)=-B1ω.

因此，根據(jù)方程(9)，有

根據(jù)sin2(τω)+cos2(τω)=1，并且sin(τω)和cos(τω)的表達(dá)式已知，可以得到下列關(guān)于ω的代數(shù)方程

[P3(ω)×P4(ω)-P2(ω)×P6(ω)]2+[P1(ω)×P6(ω)+P3(ω)×P5(ω)]2
=[P1(ω)×P4(ω)+P2(ω)×P5(ω)]2

(10)

對方程(7)左右兩邊同時求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)，可以得到

(11)

2 仿真示例

為了驗證以上本文所得結(jié)果的正確性，我們給出一個仿真示例.選取文獻(xiàn)[7]中相同的參數(shù)值：r1=r2=0.1,a=0.1,b1=b2=0.5,c=0.5,d1=0.36,d2=0.1,β=0.3,K=0.5.考慮如下示例：

(12)

根據(jù)文獻(xiàn)[7]的計算結(jié)果可知，示例模型(12)存在唯一正平衡點(diǎn)E*(0.019 6,0.065 4,0.130 7).借助于Matlab軟件容易驗證當(dāng)τ=0時，示例模型(12)的正平衡點(diǎn)E*(0.019 6,0.065 4,0.130 7)是局部漸近穩(wěn)定的.當(dāng)τ>0時，計算得到ω0=0.296 2，τ0=1.596 0.因此，當(dāng)τ∈[0,τ0=1.596 0)時，E*(0.019 6,0.065 4,0.130 7)是局部漸近穩(wěn)定的，仿真效果如圖1所示.當(dāng)τ>τ0=1.596 0時，E*(0.350 3,0.346 7)失去穩(wěn)定性，并在τ0=1.596 0時產(chǎn)生Hopf分岔，以及分岔周期解.仿真效果如圖2所示.另外，如果K=0，對于模型(4)來說，如果國家不對投資項目進(jìn)行宏觀調(diào)控的情況下，可以計算得到τ00=12.728 9.相應(yīng)的仿真效果如圖3～4所示.因此，可以看出，宏觀調(diào)控政策對于維持市場穩(wěn)定持續(xù)發(fā)展，的確起到了一定的積極作用.

圖1 當(dāng)K=0.5,τ=1.05<τ0時，E*(0.019 6,0.065 4,0.130 7)局部漸近穩(wěn)定

圖2 當(dāng)K=0.5,τ=1.73>τ0時,E*(0.019 6,0.065 4,0.130 7)失去穩(wěn)定并產(chǎn)生Hopf分岔

圖3 當(dāng)K=0,τ=8.65<τ00時，E*(0.019 6,0.065 4,0.130 7)局部漸近穩(wěn)定

圖4 當(dāng)K=0,τ=21.85>τ00時，E*(0.019 6,0.065 4,0.130 7)失去穩(wěn)定并產(chǎn)生Hopf分岔

3 小結(jié)

本文在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引入了正常運(yùn)營的投資公司向面臨倒閉的公司過渡期時滯，研究了另外一種情形的具有時滯的宏觀經(jīng)濟(jì)模型.首先，以時滯為分岔參數(shù)，通過分析模型相應(yīng)特征方程根的分布情況，討論了Hopf分岔的存在性，給出模型局部漸近穩(wěn)定和產(chǎn)生Hopf分岔的充分條件.研究表明，國家出臺宏觀調(diào)控政策，的確有利于保持市場的持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展，所得結(jié)果和文獻(xiàn)[7]一致.同時，本文又在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，研究了另外一種時滯對模型穩(wěn)定性的影響,所得結(jié)果又是對文獻(xiàn)[7]的適當(dāng)補(bǔ)充.

[1]Song Y. L, Yuan S. L, Zhang J. M. Bifurcation analysis in the delayed Leslie-Gower predator-prey system [J]. Applied Mathematical Modelling, 2009,33 (11) 4049-4061.

[2]李冰，王輝，胡志興，等.具有第IV類功能反應(yīng)函數(shù)的捕食系統(tǒng) [J]. 河南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2016,46 (5): 618-625.

[3]魏鳳英，蔡裕華，趙延輝. 具非線性發(fā)病率隨機(jī)SIQS傳染病模型的漸近行為[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2016,31(1):109-117.

[4]薛婷婷，樊小琳，李堅,等.一類時滯能源價格模型解的振動性[J].四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2016,39(1):65-70.

[5]薛婷婷，樊小琳，李堅,等.一類時滯能源價格模型解的穩(wěn)定性[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2015,45(4):248-255.

[6]梁玉麟，趙建東.基于Logistic方程的供應(yīng)商-采購商合作關(guān)系的經(jīng)濟(jì)模型研究[J].魯東大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,31(3):200-204.

[7]Xiao Y N, Frank V D. The dynamics of an eco-epidemic model with biological control [J]. Ecol Modelling, 2003,168(1):203-214.

[8]談曉芬，李庶民. 含有時滯的宏觀經(jīng)濟(jì)模型的穩(wěn)定性分析[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報,2016,42(1):1-9.

[9]Hassard B. D, Kazarinoff N. D, Wan Y. H, Theory and Applications of Hopf Bifurcation [M]. Cambridge University Press, Cambridge, 1981.

HopfBifurcationofaTime-delayEconomicModel

WANG Jia-wei

(School of Finance, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu Anhui 233030, China)

Using eigenvalue method, the paper discusses the existence of partial asymptotic stability and partial Hopf-bifurcation in a class of macroeconomic models with time delay and obtains the delay critical point of bifurcation. Studies have shown that effective control or delay of Hopf-bifurcation is beneficial to the healthy development of the market. Finally, a simulation example is given to verify the correctness of the obtained results.

time delay; economic model; Hopf-bifurcation

1673-2103(2017)05-0060-05

2017-06-10

2016年度安徽省自然科學(xué)基金青年項目(1608085QF145)

王嘉薇(1996-)，女，安徽馬鞍山人，研究方向：貨幣金融學(xué).

O175.12

A