王丙森
人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》(A版)選修2-1第二章“圓錐曲線與方程”第2.2節(jié)“橢圓”給出了橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)(常數(shù)大于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.通過(guò)研究教材筆者發(fā)現(xiàn),在教材中還隱藏著一些橢圓的其他定義方法,值得我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和發(fā)掘.
定義1:如圖1,教材中通過(guò)探究固定兩點(diǎn),用繩畫橢圓的方法給出橢圓第一定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)(常數(shù)大于│F1F2│)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.定點(diǎn)F1,F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn),焦點(diǎn)的距離│F1F2│叫做橢圓的焦距.
定義2:如圖2,教材P47例6和教材P50“信息技術(shù)應(yīng)用”部分“用幾何畫板探究點(diǎn)的軌跡”給出了橢圓第二定義:若點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到直線l:x=■的距離的比是常數(shù)■(a>c>0),則點(diǎn)M的軌跡是橢圓.定點(diǎn)F(c,0)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),直線l:x=■稱為相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線.
定義3:如圖3,在教材P42“探究與發(fā)現(xiàn)”部分閱讀材料“為什么截口是橢圓”中,給出了橢圓的截面定義:用一個(gè)不與圓錐底面平行的平面去截一個(gè)圓錐,若截口是封閉的曲線則為橢圓,這也解釋了為什么圓、橢圓、雙曲線、拋物線叫圓錐曲線,書中用數(shù)學(xué)家旦德林的方法給予了證明,使橢圓的第一定義與橢圓的截面定義完美結(jié)合.
定義4:如圖4,由教材P41例2能得到橢圓的壓縮定義:橢圓可以由圓上的點(diǎn)“均勻壓縮”得到,這體現(xiàn)了圓與橢圓的關(guān)系.
定義5:如圖5,通過(guò)教材P41例3可得出橢圓的斜率定義:設(shè)點(diǎn)A(-a,0),B(a,0),直線AM、BM相交于點(diǎn)M,且它們斜率之積是-■,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是■+■=1(x≠±a).
定義6:如圖6,教材P49習(xí)題2的2B組可由直線相交得到橢圓:作一個(gè)矩形長(zhǎng)為2a,寬為2b,如圖建系,若在線段OF上任取點(diǎn)R,在CF上取點(diǎn)R',滿足■=■,則直線ER和GR'的交點(diǎn)L的軌跡為橢圓的一部分,其方程為■+■=1(x≥0,y≥0).
定義7:教材P49習(xí)題2的2A組:若點(diǎn)M(x,y)在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中總滿足■+■=10,則點(diǎn)M的軌跡是什么曲線?為什么?寫出它的方程.
方程可以看成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和為定值的點(diǎn)的軌跡,且距離之和大于兩個(gè)定點(diǎn)間距離,所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓,方程為■+■=1.
通過(guò)此習(xí)題推廣到一般,可得到橢圓第一定義的等價(jià)式:
│MF1│+│MF2│=2a(M(x,y),定點(diǎn)F1(0,C), F2(0,-C), 2a>│F1F2│),
?圳■+■=2a
?圳■+■=1(b2=a2-c2).
由此可以得到橢圓的文字語(yǔ)言、幾何語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言,使代數(shù)與幾何圖形完美地結(jié)合,體現(xiàn)了解析幾何的基本思想:利用條件建立曲線的方程,通過(guò)方程研究曲線的性質(zhì),同一種曲線可以有不同的產(chǎn)生和形式.
定義8:如圖7,教材P49習(xí)題2的2A組:圓O的半徑為定長(zhǎng)r,A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn),P是圓上任意一點(diǎn),線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q 的軌跡是什么?為什么?點(diǎn)Q的軌跡是橢圓,根據(jù)條件可得│QO│+│QA│=r(r>OA),所以由橢圓的定義:點(diǎn)Q的軌跡是橢圓.
由上述對(duì)教材中橢圓定義的探究和發(fā)掘,可知教材的重要性,并得到以下啟示:
1.教師教學(xué)要立足于教材
高中數(shù)學(xué)知識(shí)有很強(qiáng)的系統(tǒng)性,從教材目錄開(kāi)始,到每一章的全部?jī)?nèi)容,再到每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的引入、定義的產(chǎn)生、公式的形成,教材中都有完整的展示.教師要準(zhǔn)確地把握教材,體會(huì)教材的編寫意圖,掌握教材的整體框架,讓學(xué)生在教材中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯性,掌握數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,清楚數(shù)學(xué)的本質(zhì).
2.教師要超越教材
在人教版《數(shù)學(xué)》教材中,每一節(jié)都設(shè)置有“觀察”“探究”“思考”“課后閱讀”“例題”“習(xí)題”,教師要學(xué)會(huì)優(yōu)化教材結(jié)構(gòu),對(duì)教材進(jìn)行創(chuàng)造性的整合和加工,將教材變成學(xué)生易于接受的數(shù)學(xué)知識(shí).對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)變式,培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性.
3.教師要把握考點(diǎn)
高考考點(diǎn)在書中,課本是試題之源,試題在書外,教師要在掌握教材方法的基礎(chǔ)上向外拓展,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,使其順利解答各種題目.教師要深入挖掘教材和高考的關(guān)系,讓學(xué)生從書山題海中解脫出來(lái),使學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維水平得到真正的提高.
總之,教材是知識(shí)的載體,教師的教學(xué)內(nèi)容來(lái)源于教材,同時(shí)又要高于教材.教材是高考命題之本,教師要學(xué)會(huì)對(duì)教材進(jìn)行挖掘和整合,學(xué)會(huì)全面審視教材,理解和掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì),通過(guò)教材激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,為學(xué)生提供豐富的數(shù)學(xué)思想和方法,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué),用好數(shù)學(xué)的意識(shí).endprint