(安徽省太和一中,安徽 太和 236600)
用高等數(shù)學(xué)方法分析一道高考試題的圖像
許龍
(安徽省太和一中,安徽 太和 236600)
本文針對(duì)一道單導(dǎo)體棒切割模型的電磁感應(yīng)高考題,用高等數(shù)學(xué)的方法分析各物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系,并討論圖像的幾種可能。
高考物理;電磁感應(yīng);高等數(shù)學(xué)
電磁感應(yīng)問題歷來是高考物理的重點(diǎn),尤其是導(dǎo)體棒切割磁感線的模型,此時(shí)它既是電路中的電源,又是安培力的受力體,金屬桿速度的變化會(huì)影響回路的電流大小,改變安培力大小,安培力又會(huì)影響加速度,加速度的變化又制約著桿的速度變化……這是一個(gè)相互關(guān)聯(lián)、相互影響的過程。這類題目綜合了牛頓第二定律、電磁感應(yīng)、電路的連接和電壓電功率的計(jì)算,對(duì)考生的要求較高,筆者結(jié)合一道高考題,分析單導(dǎo)體棒切割磁感線過程中的物理圖像。
圖1
2016年四川高考題:如圖1所示,電阻不計(jì),間距為l的光滑平行金屬導(dǎo)軌水平放置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,導(dǎo)軌左端接一定值電阻R。質(zhì)量為m、電阻為r的金屬棒MN置于導(dǎo)軌上,受到垂直于金屬棒的水平外力F的作用由靜止開始運(yùn)動(dòng),外力F與金屬棒速度v的關(guān)系是F=F0+kv(F0、k是常量),金屬棒與導(dǎo)軌始終垂直且接觸良好。金屬棒中感應(yīng)電流為i,受到的安培力大小為FA,電阻R兩端的電壓為UR,感應(yīng)電流的功率為P,它們隨時(shí)間t的變化圖像可能正確的是( )。
以上公式中的物理量均是關(guān)于自然常數(shù)e的指數(shù)函數(shù),需對(duì)指數(shù)b的性質(zhì)進(jìn)行討論。
3.1 當(dāng)blt;0時(shí)
因?yàn)楹瘮?shù)性質(zhì)由指數(shù)決定,電流表達(dá)式中前面系數(shù)為常量,不會(huì)決定圖像性質(zhì),所以為方便計(jì)算可取b=-1,表達(dá)式前面系數(shù)取-2,利用軟件Mathematica,由編程語句:Plot[-2(e-t-1),{t,0,8},AxesOrigin→{0,0},AxesLabel→{“t”,“i”}],得到其電流隨時(shí)間變化圖像(如圖2)。
圖2
圖3
由于路端電壓UR=iR,所以電壓-時(shí)間圖像與電流-時(shí)間圖像變化規(guī)律一致,同樣安培力F安=BiL,安培力-時(shí)間圖像亦與電流-時(shí)間圖像變化規(guī)律一致。
對(duì)于電功率的表達(dá)式稍微復(fù)雜,由Mathematica編程語句:Plot[6(e-t-1),{t,0,8},AxesOrigin→{0,0},AxesLabel→{“t”,“P”}],可得其如圖3所示的電功率-時(shí)間圖像。
3.2 當(dāng)bgt;0時(shí)
可取b=1,電流表達(dá)式中前面系數(shù)取2,利用Mathematica編程語句:Plot[2(e-t-1),{t,0,2},AxesOrigin→{0,0},AxesLabel→{“t”,“i”}],得到如圖4所示的電流隨時(shí)間變化的圖像。
圖4
圖5
同樣的對(duì)于路端電壓和安培力僅是在電流前面乘以一定系數(shù),其變化規(guī)律與電流變化一致,而對(duì)于電功率則是與電流的平方成正比,在最初的一段時(shí)間是非常平緩的,隨著時(shí)間的推移圖像會(huì)變得更陡(如圖5)。
3.3 當(dāng)b=0時(shí)
由此可知對(duì)于速度、電流、路端電壓、安培力均為關(guān)于時(shí)間的正比函數(shù),而電功率圖像則為關(guān)于時(shí)間的二次函數(shù),由于圖像較為簡(jiǎn)單,筆者在此不再作圖模擬。
雖然高中生對(duì)高等數(shù)學(xué)知之甚少,不需要對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行定量計(jì)算。但高中教師在研究高考試題時(shí),不但要知其然,還要知其所以然,只有不斷提高自身的專業(yè)素養(yǎng),才能在今后的教學(xué)中對(duì)許多知識(shí)點(diǎn)信手拈來,應(yīng)用自如。
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