(安徽省太和一中,安徽 太和 236600)

用高等數(shù)學(xué)方法分析一道高考試題的圖像

許龍

(安徽省太和一中,安徽 太和 236600)

本文針對(duì)一道單導(dǎo)體棒切割模型的電磁感應(yīng)高考題，用高等數(shù)學(xué)的方法分析各物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系，并討論圖像的幾種可能。

高考物理；電磁感應(yīng)；高等數(shù)學(xué)

電磁感應(yīng)問題歷來是高考物理的重點(diǎn)，尤其是導(dǎo)體棒切割磁感線的模型，此時(shí)它既是電路中的電源，又是安培力的受力體，金屬桿速度的變化會(huì)影響回路的電流大小，改變安培力大小，安培力又會(huì)影響加速度，加速度的變化又制約著桿的速度變化……這是一個(gè)相互關(guān)聯(lián)、相互影響的過程。這類題目綜合了牛頓第二定律、電磁感應(yīng)、電路的連接和電壓電功率的計(jì)算，對(duì)考生的要求較高，筆者結(jié)合一道高考題，分析單導(dǎo)體棒切割磁感線過程中的物理圖像。

1 真題回放

圖1

2016年四川高考題：如圖1所示，電阻不計(jì)，間距為l的光滑平行金屬導(dǎo)軌水平放置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，導(dǎo)軌左端接一定值電阻R。質(zhì)量為m、電阻為r的金屬棒MN置于導(dǎo)軌上，受到垂直于金屬棒的水平外力F的作用由靜止開始運(yùn)動(dòng)，外力F與金屬棒速度v的關(guān)系是F=F0+kv(F0、k是常量)，金屬棒與導(dǎo)軌始終垂直且接觸良好。金屬棒中感應(yīng)電流為i，受到的安培力大小為FA，電阻R兩端的電壓為UR，感應(yīng)電流的功率為P，它們隨時(shí)間t的變化圖像可能正確的是( )。

2 試題解析

3 問題討論

以上公式中的物理量均是關(guān)于自然常數(shù)e的指數(shù)函數(shù)，需對(duì)指數(shù)b的性質(zhì)進(jìn)行討論。

3.1 當(dāng)blt;0時(shí)

因?yàn)楹瘮?shù)性質(zhì)由指數(shù)決定，電流表達(dá)式中前面系數(shù)為常量，不會(huì)決定圖像性質(zhì)，所以為方便計(jì)算可取b=-1，表達(dá)式前面系數(shù)取-2，利用軟件Mathematica，由編程語句：Plot[-2(e-t-1),{t,0,8},AxesOrigin→{0,0},AxesLabel→{“t”,“i”}]，得到其電流隨時(shí)間變化圖像(如圖2)。

圖2

圖3

由于路端電壓UR=iR，所以電壓-時(shí)間圖像與電流-時(shí)間圖像變化規(guī)律一致，同樣安培力F安=BiL，安培力-時(shí)間圖像亦與電流-時(shí)間圖像變化規(guī)律一致。

對(duì)于電功率的表達(dá)式稍微復(fù)雜，由Mathematica編程語句：Plot[6(e-t-1),{t,0,8},AxesOrigin→{0,0},AxesLabel→{“t”,“P”}]，可得其如圖3所示的電功率-時(shí)間圖像。

3.2 當(dāng)bgt;0時(shí)

可取b=1，電流表達(dá)式中前面系數(shù)取2，利用Mathematica編程語句：Plot[2(e-t-1),{t,0,2},AxesOrigin→{0,0},AxesLabel→{“t”,“i”}]，得到如圖4所示的電流隨時(shí)間變化的圖像。

圖4

圖5

同樣的對(duì)于路端電壓和安培力僅是在電流前面乘以一定系數(shù)，其變化規(guī)律與電流變化一致，而對(duì)于電功率則是與電流的平方成正比，在最初的一段時(shí)間是非常平緩的，隨著時(shí)間的推移圖像會(huì)變得更陡(如圖5)。

3.3 當(dāng)b=0時(shí)

由此可知對(duì)于速度、電流、路端電壓、安培力均為關(guān)于時(shí)間的正比函數(shù)，而電功率圖像則為關(guān)于時(shí)間的二次函數(shù)，由于圖像較為簡(jiǎn)單，筆者在此不再作圖模擬。

4 結(jié)語

雖然高中生對(duì)高等數(shù)學(xué)知之甚少，不需要對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行定量計(jì)算。但高中教師在研究高考試題時(shí)，不但要知其然，還要知其所以然，只有不斷提高自身的專業(yè)素養(yǎng)，才能在今后的教學(xué)中對(duì)許多知識(shí)點(diǎn)信手拈來，應(yīng)用自如。

[1] 林啟順.重視數(shù)學(xué)滲透 提高物理核心素養(yǎng)[J].物理之友，2017,(4).

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[3] 王鵬,蔣龍貴.電磁感應(yīng)中變加速直線運(yùn)動(dòng)位移的計(jì)算方法[J].物理之友，2017,(6).

[4] 王寶生.數(shù)學(xué)知識(shí)在高考物理中運(yùn)用賞析[J].物理之友，2016,(8).