文︳潘小明

數(shù)學(xué)解題反思：層次性及其案例（下）

文︳潘小明

3.解題反思的技術(shù)性層次

數(shù)學(xué)解題的反思不能停留于常識(shí)性、知識(shí)性的反思，特別是不能停留于只追求或者只滿足于當(dāng)下問題答案的獲得。從解題技術(shù)層面來說，解題過程中的演算是否嚴(yán)密，解法是否簡潔，結(jié)論是否科學(xué)合理，方法或結(jié)論能否推廣等，都是值得思考的問題。數(shù)學(xué)解題反思作為一種“反向思考”“重新思考”“回顧總結(jié)”的思維方式，尤其要注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)如下解題技術(shù)的關(guān)注：

一是對(duì)查錯(cuò)、糾錯(cuò)技術(shù)處理的關(guān)注。在此關(guān)注中，學(xué)生通過查找并糾正解題過程和結(jié)果的錯(cuò)誤實(shí)現(xiàn)解題過程和結(jié)果的完善。

二是對(duì)解法優(yōu)化技術(shù)處理的關(guān)注。在此關(guān)注中，學(xué)生反思除了當(dāng)下的解法，還有沒有其他的解法，并且比較不同解法的優(yōu)劣。

三是對(duì)問題變式技術(shù)處理的關(guān)注。在此關(guān)注中，學(xué)生通過引申、推廣或改編所求解的問題實(shí)現(xiàn)舉一反三的解題目的。

整理得4x2+4=0，該方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，所以原分式方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解。

學(xué)生家長看到了學(xué)生的解答結(jié)果，說：“你說沒有解，可我將x=0代入原方程兩邊，等式是成立的呀！你能不能再研究一下，看看方程究竟有沒有解？”

因找到了，學(xué)生作了進(jìn)一步的反思，利用合分比定理對(duì)分式方程進(jìn)行變形，什么情況下可以保持同解？什么情況下又會(huì)不同解呢？

學(xué)生在解答課外題目的過程中，經(jīng)由家長提醒和個(gè)人的自主反思，發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤。在老師的幫助下，學(xué)生獲得關(guān)于分式方程利用合分比定理求解時(shí)兩類方程解的一般性關(guān)系，認(rèn)識(shí)到用合分比定理解分式方程時(shí)雖然可能簡便些，但也容易產(chǎn)生增根或失根的問題，需要自覺地注意。

在上述解題過程中，學(xué)生面對(duì)一道已知條件求值的問題，基于不同的分析角度，獲得了不同的解題方法，拓寬了解題的思維。學(xué)生在反思當(dāng)下解法，發(fā)散思考其他解法的同時(shí)，也逐步形成了不同解法進(jìn)行比較求優(yōu)的意識(shí)。

案例6 一位女學(xué)生對(duì)一道數(shù)學(xué)題的自我探究。

案例描述與分析 一位被同學(xué)稱為學(xué)霸的女學(xué)生做下面的題：

順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)，所得四邊形是什么圖形？你能證明嗎？

通過自己的探索，這位女學(xué)生明確地得到了答案：所得的四邊形是平行四邊形，并給出自己的證明。但她沒有就此結(jié)束自己的探索，而是進(jìn)一步思考：如果順次連接各邊中點(diǎn)，中點(diǎn)所在的四邊形不是任意的四邊形，而是特殊的四邊形。那么，由所連接中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形又是怎樣的圖形呢？我能不能先畫一畫圖，然后猜一猜，再證一證呢？

基于這樣的反思，她得到了如下幾個(gè)有待探究的變式題：

（1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是什么圖形？試證明自己的猜想；

（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是什么圖形？試證明自己的猜想；

（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是什么圖形？試證明自己的猜想；

（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是什么圖形？試證明自己的猜想；

（5）順次連接等腰梯形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是什么圖形？試證明自己的猜想。

由該案例可以看出，學(xué)生通過做題，然后進(jìn)行一題多變式的解題反思，不僅加深了對(duì)原有探索問題數(shù)學(xué)特征的認(rèn)識(shí)，而且在探索“自己的問題”過程中進(jìn)一步掌握了與四邊形有關(guān)的數(shù)學(xué)概念，強(qiáng)化了各類特殊四邊形的性質(zhì)與判定定理，以及與此相關(guān)的諸如三角形中位線定理等數(shù)學(xué)命題的理解與運(yùn)用，并基于數(shù)學(xué)變式更好地揭示了不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高了數(shù)學(xué)探究思維能力。

4.解題反思的思想性層次

學(xué)生的數(shù)學(xué)思想要以學(xué)生在解題中的數(shù)學(xué)反思為中介。較之于常識(shí)性、知識(shí)性和技術(shù)性層次的解題反思，思想性層次的解題反思反映了學(xué)生在解題過程中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的感悟，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)特定數(shù)學(xué)問題精髓的把握，暴露了學(xué)生在相對(duì)較深層次的數(shù)學(xué)解題思維。

案例描述與分析 一位女學(xué)生通過解一元二次方程求出x的兩個(gè)根，然后分別代入式子，費(fèi)了好大精力求出了給定代數(shù)式的值。在這一過程中，她“自我感覺不怎么好”，于是繼續(xù)進(jìn)行思考。她在作業(yè)的后記中寫道：“題目是算出來了，可怎么這么繁呀！于是我想，這道題有沒有簡便的方法呢？能不能不求出x的具體值來解這道題？后來我覺得自己好像可以對(duì)已知的方程進(jìn)行一些變換，運(yùn)用整體代入化簡的方法來試試?！彼呄脒呍嚕罱K得到自認(rèn)為滿意的解法：

解題反思不僅是學(xué)生對(duì)解題經(jīng)驗(yàn)的分析，也是對(duì)解題過程的監(jiān)控和評(píng)價(jià)，還是在分析、監(jiān)控和評(píng)價(jià)基礎(chǔ)上對(duì)自我解題的過程與結(jié)果所進(jìn)行的一種批判性思考。在本案例中，女學(xué)生因?qū)σ环N相對(duì)較繁解法不滿而主動(dòng)尋求優(yōu)化的解法，并因此產(chǎn)生了對(duì)解題思想方法的初步反思。她在嘗試中找到了將已知的方程看成一個(gè)整體，然后進(jìn)行必要的變換、代入，本質(zhì)上是整體思想在解題中的具體運(yùn)用。這種思想由于把解題的注意力和著眼點(diǎn)放到了已知條件和待求值問題的整體性結(jié)構(gòu)上，有利于從整體上把握問題的求解，使問題解答的過程得以優(yōu)化。

案例8 已知等腰梯形ABCD的上底邊AD為3cm，下底邊BC為7cm，對(duì)角線AC與BD相互垂直，試求該等腰梯形的面積。

案例描述與分析 一位平時(shí)成績中等的學(xué)生拿到題目，首先想到的方法是利用梯形面積公式來解。由于上底邊與下底邊的和可輕易求得，所以將解題的關(guān)鍵放到了求該梯形的高上。對(duì)此，他先畫出了示意圖（如圖1）。由于圖上沒有現(xiàn)成的高，于是從A點(diǎn)作出底邊的高線。不過，他怎么也找不到求出這條高線長度的方法。他想：“怎么弄？梯形的高在哪？直接畫、直接算，弄不出來呀！要不要重新找個(gè)方法？老師以前說過，解與梯形有關(guān)的題目時(shí)可以考慮將梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形或其他一些特殊圖形。這道題要不要這樣弄呢？怎么弄？好像可以畫一條輔助線！嗯，找到了！”他通過點(diǎn)D作對(duì)角線AC的平行線，交下底BC的延長線于E（如圖2），將求原等腰梯形ABCD的面積轉(zhuǎn)化成求一個(gè)斜邊長10cm的等腰直角三角形DBE的面積，很快求得了答案。

圖1

圖2

學(xué)生最初是想求出等腰梯形的高，然后利用梯形面積公式求解，然而他發(fā)現(xiàn)直接算，算不出來?；谶@樣的困境，他進(jìn)一步反思，在此過程中，他想到了老師的話，激活了個(gè)人數(shù)學(xué)解題的經(jīng)驗(yàn)，通過比照以前的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生了相似性“想題”“做題”的行動(dòng)。在此過程中，他的反思思維將解題目標(biāo)定位于將難以直接求解的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為容易求解的數(shù)學(xué)問題，在本質(zhì)上體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。由此可見，學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法層面的反思不僅有利于其整合、優(yōu)化自己的解題思維，也有利于實(shí)現(xiàn)解題思路的突破或解題方法的創(chuàng)新?！颈疚南祷痦?xiàng)目：泰州學(xué)院教授博士基金項(xiàng)目“數(shù)學(xué)教師實(shí)踐性知識(shí)研究”（TZXYJB/201502）階段性成果之一】

（作者單位：江蘇省泰州學(xué)院數(shù)理學(xué)院）

[1]Van Manen，M.1977.Linking ways of knowing with ways of being practical[J].Curriculum Inquiry，（6）：205-228.

[2]Zeichner，K.M.amp;D.P.Liston 1987.Teaching students to reflec[J].Harvard Educational Review，（57）：23-483.

[3]申繼亮，劉加霞.論教師的教學(xué)反思[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2004（9）：46-47.

[4]約翰·杜威.我們?cè)鯓铀季S·經(jīng)驗(yàn)與教育[M].姜文閔譯.北京：人民教育出版社，1991.