鄭小兵，孫 翱，雷 剛，王寶和，劉文超

（1.大連91550部隊(duì)，大連 116023；2.西安高新技術(shù)研究所，西安 710025）

小子樣試驗(yàn)條件下的序貫概率圓精度檢驗(yàn)方法

鄭小兵1，孫 翱1，雷 剛2，王寶和1，劉文超1

（1.大連91550部隊(duì)，大連 116023；2.西安高新技術(shù)研究所，西安 710025）

小子樣試驗(yàn)條件下的精度評(píng)定問(wèn)題是遠(yuǎn)程飛行器靶場(chǎng)試驗(yàn)的關(guān)鍵問(wèn)題之一，屬于未知參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。通過(guò)分析裝備飛行試驗(yàn)雙方風(fēng)險(xiǎn)管控和試驗(yàn)成本，提出了基于序貫的命中精度概率圓鑒定方法。通過(guò)落點(diǎn)概率密度分布函數(shù)推導(dǎo)出概率圓計(jì)算公式，設(shè)計(jì)了假設(shè)條件下的概率圓計(jì)算流程和仿真算例，總結(jié)出概率圓半徑、試驗(yàn)子樣和雙方風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系，討論了檢出比λ的使用原則，基于保證使用方風(fēng)險(xiǎn)不變的原則提出傳統(tǒng)概率圓檢驗(yàn)方法的修正策略。利用仿真試驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了基于序貫的概率圓方法能夠保證檢驗(yàn)精度，并且提高了試驗(yàn)效益。飛行試驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了該方法的可行性。

小子樣試驗(yàn)；精度評(píng)定；概率圓；序貫

命中精度是衡量遠(yuǎn)程飛行器作戰(zhàn)使用能力的重要戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)，其分析與評(píng)估是管理機(jī)關(guān)、論證部門、試驗(yàn)靶場(chǎng)、使用部隊(duì)和研制單位各方都極為關(guān)注的焦點(diǎn)問(wèn)題之一。但是由于政治、經(jīng)濟(jì)和地理等客觀因素，在裝備定型試驗(yàn)過(guò)程中安排的實(shí)際飛行子樣數(shù)較少，并且不是最大射程狀態(tài)下的飛行彈道，使得傳統(tǒng)的經(jīng)典試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法無(wú)法進(jìn)行評(píng)定。通常采用驗(yàn)前信息通過(guò)相容性檢驗(yàn)后補(bǔ)充試驗(yàn)樣本信息，采用彈道折合方法將飛行試驗(yàn)各誤差折合到最大射程狀態(tài)[1-3]。關(guān)于仿真子樣可信度問(wèn)題和彈道折合帶來(lái)的誤差影響問(wèn)題這里不再做專題討論，假定參與評(píng)定的試驗(yàn)樣本均為全程彈道的實(shí)飛子樣。

飛行器的精度指標(biāo)一般包括射擊準(zhǔn)確度和射擊密集度兩個(gè)要求，不僅要求飛行器有一定的密集度，而且對(duì)落點(diǎn)散布中心離開目標(biāo)的的距離也有要求。新型飛行器使用圓概率偏差（CEP）來(lái)綜合反映準(zhǔn)確度和密集度的四個(gè)指標(biāo)（μx,μy,σx,σy），精簡(jiǎn)了精度評(píng)估方法。小子樣精度評(píng)估方法一般采用概率圓方法，該方法是在研制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)原則下確定被試產(chǎn)品落點(diǎn)散布的圓半徑，能夠有效解決傳統(tǒng)精度評(píng)定方法中需要預(yù)先確定射擊準(zhǔn)確度問(wèn)題[4-6]。本文在充分研究概率圓評(píng)定方法設(shè)計(jì)原則和使用策略的基礎(chǔ)上，基于使用方接收風(fēng)險(xiǎn)不變假定條件討論了概率圓方法的提前截止條件，對(duì)于節(jié)省試驗(yàn)成本消耗具有很大的實(shí)際使用價(jià)值。

1 精度評(píng)定的概率圓方法

假定對(duì)平面目標(biāo)射擊，落點(diǎn)坐標(biāo)系的原點(diǎn)定義為理論目標(biāo)在地球參考橢球面上的投影點(diǎn)；縱軸為發(fā)射點(diǎn)至目標(biāo)點(diǎn)的大地線在目標(biāo)點(diǎn)的切線，指向射程增加的方向；橫軸垂直于縱軸指向射向的右方。彈頭實(shí)際落點(diǎn)在落點(diǎn)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)以(X,Z)表示，且(X,Z)服從正態(tài)分布，縱橫向統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，即(X,Z)～N圓概率偏差表達(dá)式為：

式中：P=50%時(shí)，R就是圓概率偏差（CEP）；Xμ、Zμ為縱橫向的射擊準(zhǔn)確度；σX、Zσ為縱橫向的射擊密集度。

飛行器命中精度鑒定中，往往采用下列簡(jiǎn)單假設(shè)：

其中：CEP0為給定的要求值；λ為檢出比，由研制方和使用方共同協(xié)商事先確定。

不妨假定對(duì)應(yīng)于原假設(shè)的射擊準(zhǔn)確度和射擊密集度分別為

而對(duì)應(yīng)于備擇假設(shè)的射擊準(zhǔn)確度和射擊密集度分別為

假定共進(jìn)行了n次試射，令m為落入以R為半徑的圓內(nèi)的飛行器數(shù)，取m為統(tǒng)計(jì)量，則

考慮如下鑒定方案：當(dāng)m≥m*時(shí)，接受原假設(shè)，即認(rèn)為此飛行器的落點(diǎn)精度符合要求；否則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為此飛行器的落點(diǎn)精度不合格。m*為檢驗(yàn)門限。

研制方風(fēng)險(xiǎn)α（即棄真概率）和使用方風(fēng)險(xiǎn)β（即采偽概率）分別為：

綜合式(5)和式(6)可以看出，當(dāng)射擊準(zhǔn)確度、射擊密集度和檢出比確定后，試驗(yàn)的研制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)與概率圓半徑R和檢驗(yàn)門限m*息息相關(guān)。

在飛行器試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)中，一般要求雙方風(fēng)險(xiǎn)α、β盡量接近，研制方風(fēng)險(xiǎn)α可稍大于使用方風(fēng)險(xiǎn)β，且通常不大于 30%。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，由于m*是整數(shù)，只調(diào)整m*時(shí)，α和β變化劇烈，很難找到適當(dāng)?shù)膍*使得c=α/β≈1。因此可調(diào)整圓半徑R的大小，使得雙方風(fēng)險(xiǎn)基本相當(dāng)。

在試驗(yàn)子樣確定的情況下，通過(guò)調(diào)整概率圓R的大小得到使用方和研制方滿意的風(fēng)險(xiǎn)，進(jìn)而進(jìn)行圓概率偏差CEP評(píng)定的方法，即為精度評(píng)定中的概率圓方法[7-9]。

2 概率圓方法的應(yīng)用分析

2.1 概率圓檢驗(yàn)軟件設(shè)計(jì)

在裝備研制總要求論證時(shí)，提出指標(biāo)合同要求的的規(guī)定值和最低可接受值，即明確了μ0、σ0、CEP0和λ，同時(shí)試驗(yàn)總體方案中會(huì)明確n和m*，依據(jù)這些輸入條件即可計(jì)算得到每一個(gè)試驗(yàn)子樣下的概率圓半徑，計(jì)算流程如圖1所示。

圖1 概率圓計(jì)算框圖Fig.1 Architecture of probability circle computing

如果試驗(yàn)方案制定過(guò)程中希望利用概率圓方法來(lái)確定試驗(yàn)子樣和檢出門限?？梢灶A(yù)設(shè)一個(gè)最低試驗(yàn)子樣來(lái)計(jì)算概率圓半徑，如果滿足要求，則采用該試驗(yàn)方案。如果不滿足要求，在通過(guò)調(diào)整試驗(yàn)子樣數(shù)來(lái)找到達(dá)到雙方風(fēng)險(xiǎn)要求的試驗(yàn)方案[10-11]。

2.2 概率圓檢驗(yàn)的算例分析

假設(shè)μ0=100，σ0=500，λ=1.5，則計(jì)算得到CEP0=600 m，總共進(jìn)行 8次試射。試驗(yàn)方案如表 1所示。

表1 概率圓檢驗(yàn)實(shí)例Tab.1 Example for probability circle method

從這個(gè)案例可以發(fā)現(xiàn)，在射擊準(zhǔn)確度μ0、射擊密集度σ0、檢出比λ和試驗(yàn)樣本n確定的情況下，概率圓方法應(yīng)用呈現(xiàn)如下特點(diǎn)：

1）檢驗(yàn)門限m*與雙方風(fēng)險(xiǎn)α、β大致成反比關(guān)系，說(shuō)明試驗(yàn)子樣越充分，試驗(yàn)做出“棄真”或“采偽”的概率越小。大型武器試驗(yàn)希望通過(guò)較少子樣得出評(píng)定結(jié)論已達(dá)到較高的費(fèi)效比，試驗(yàn)設(shè)計(jì)中就需要在試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)與試驗(yàn)消耗進(jìn)行折衷考慮。對(duì)于飛行器精度評(píng)定工作而言，雙方風(fēng)險(xiǎn)控制在0.1～0.3比較適宜。

2）檢驗(yàn)門限m*與概率圓半徑R成正比關(guān)系，說(shuō)明概率圓半徑定義越大，則要求落入概率圓半徑的子樣數(shù)越多。通過(guò)表 1可以觀察到，m*越接近n/2，R越接近CEP，這與CEP的定義是一致的。而且概率圓半徑R的變化也是有規(guī)律的，與正態(tài)分布的均值和方差息息相關(guān)。

3）考慮公式(6)，確定檢驗(yàn)門限m*后，概率圓半徑R增大，α減小，β增大；概率圓半徑R減小，α增大，β減小。我們通過(guò)調(diào)整R來(lái)改變P0、P1，進(jìn)而改變?chǔ)?、β使之達(dá)到雙方可接受的風(fēng)險(xiǎn)，這就是概率圓方法的核心思想；

4）m*=n時(shí)的雙方風(fēng)險(xiǎn)大于m*=n-1時(shí)的雙方風(fēng)險(xiǎn)，這與試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)時(shí)子樣數(shù)的決策是吻合的。對(duì)本案例而言，制定8發(fā)7中的試驗(yàn)方案是最優(yōu)的。伴隨著試驗(yàn)子樣數(shù)據(jù)的增多，概率圓方法對(duì)于決策在試驗(yàn)方案中最佳的檢驗(yàn)門限也有著積極的參考作用。

2.3 檢出比λ的討論

在概率圓方法的應(yīng)用過(guò)程中，一般而言，試驗(yàn)樣本n、射擊準(zhǔn)確度μ0和射擊密集度σ0已在武器裝備總體方案中進(jìn)行明確，而檢出比λ的確定則會(huì)成為參試各方需要重點(diǎn)討論的問(wèn)題。

假設(shè)μ0=100，σ0=500，CEP0=600m。當(dāng)試驗(yàn)子樣n=6，檢驗(yàn)門限為4的時(shí)候，調(diào)整檢出比λ可得試驗(yàn)方案如表2所示。

表2 檢出比調(diào)整影響分析Tab.2 Th e effect of λ change

從這個(gè)案例可以發(fā)現(xiàn)，在試驗(yàn)條件不變的情況下，通過(guò)調(diào)整檢出比能夠同時(shí)降低雙方風(fēng)險(xiǎn)，且對(duì)應(yīng)的概率圓半徑隨著檢出比的增大而增大。

觀察公式(5)和公式(6)可以分析出，增大檢出比λ，研制方風(fēng)險(xiǎn)α不變，使用方風(fēng)險(xiǎn)β變小，此時(shí)雙方風(fēng)險(xiǎn)不一致；通過(guò)放大概率圓半徑R，減小研制方風(fēng)險(xiǎn)α，增大使用方風(fēng)險(xiǎn)β，直到雙方風(fēng)險(xiǎn)α、β接近，最后達(dá)到降低雙方風(fēng)險(xiǎn)的目的。

往往有一些試驗(yàn)設(shè)計(jì)者通過(guò)改變檢出比來(lái)調(diào)整試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)，這種做法是不可取的。檢出比本質(zhì)上是體現(xiàn)了武器裝備某項(xiàng)指標(biāo)最低可接受值與設(shè)計(jì)值之間的關(guān)系，是一個(gè)確定值。我們來(lái)觀察公式(5)和公式(6)，可以看出，如果不設(shè)定檢出比，即檢出比為1，則P0=P1，α+β=1，那么不可能達(dá)到大體相當(dāng)且相對(duì)較低的雙方風(fēng)險(xiǎn)。這也就是說(shuō)如果研制方的設(shè)計(jì)值與使用方的最低可接受值較為接近的話，不能得到一個(gè)雙方滿意的試驗(yàn)方案。規(guī)定值是研制方為達(dá)到最低可接受值且保證較小的試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)下達(dá)的設(shè)計(jì)指標(biāo)。設(shè)計(jì)值越高，設(shè)計(jì)及生產(chǎn)的成本越高，試驗(yàn)中被拒收的風(fēng)險(xiǎn)越小。因此在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中不能通過(guò)調(diào)整檢出比來(lái)達(dá)到控制風(fēng)險(xiǎn)的目的，檢出比是由設(shè)計(jì)來(lái)保證的。

3 基于概率圓的序貫檢驗(yàn)方法

觀察表1可以看出，概率圓評(píng)定方法看似可以序貫進(jìn)行，對(duì)應(yīng)每一階段的試驗(yàn)子樣都有對(duì)應(yīng)的概率圓和雙方風(fēng)險(xiǎn)，但是是否可以利用表1組織試驗(yàn)評(píng)定值得商榷，下面我們先梳理一下概率圓評(píng)定方法的使用流程：

1）依據(jù)武器系統(tǒng)研制方案確定裝備的射擊準(zhǔn)確度μ0、射擊密集度σ0，計(jì)算得到CEP0；

2）依據(jù)武器系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案確定檢出比λ；

3）使用方和研制方協(xié)商確定雙方能夠接受的試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)α、β；

4）依據(jù)上述要素確定試驗(yàn)方案，即確定試驗(yàn)子樣數(shù)n和檢驗(yàn)門限m*；

5）組織實(shí)施試驗(yàn)，最后給出命中精度的評(píng)定結(jié)果。

由上述分析可以看出，在試驗(yàn)方案制定過(guò)程中已經(jīng)確定雙方風(fēng)險(xiǎn)，并且依據(jù)雙方風(fēng)險(xiǎn)確定檢驗(yàn)門限m*，那么表1的方法在試驗(yàn)樣本小于m*時(shí)不能給出令雙方滿意的試驗(yàn)結(jié)論。

仍作表1中的條件假設(shè)，同時(shí)假定雙方能夠接受的試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)不大于0.17，即檢驗(yàn)門限m*=7。分析表1可以看出在試驗(yàn)子樣數(shù)小于7時(shí)給出的概率圓半徑試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)均大于雙方可接受的試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)，依據(jù)概率圓半徑不能給出試驗(yàn)接收結(jié)論。但是如果某次試驗(yàn)精度大于1390 m，那么依據(jù)概率圓半徑可以給出試驗(yàn)拒收結(jié)論。

試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)中需要綜合考慮研制方風(fēng)險(xiǎn)和使用方風(fēng)險(xiǎn)，基本原則是兩者大體相當(dāng)且使用方風(fēng)險(xiǎn)略低于研制方風(fēng)險(xiǎn)。在試驗(yàn)組織實(shí)施階段發(fā)現(xiàn)，裝備試驗(yàn)表現(xiàn)出來(lái)的性能指標(biāo)優(yōu)于設(shè)計(jì)值，這時(shí)研制方愿意接收更大的試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)以更快得出試驗(yàn)結(jié)果。

基于以上分析，保證使用方風(fēng)險(xiǎn)滿足要求，通過(guò)調(diào)整研制方風(fēng)險(xiǎn)得到不同試驗(yàn)階段的概率圓判據(jù)如表3所示。

這樣就可以得到既控制試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)又節(jié)省試驗(yàn)消耗的基于概率圓的序貫檢驗(yàn)方法。當(dāng)試驗(yàn)中只要有一發(fā)落點(diǎn)落入半徑為R1的圓內(nèi)時(shí)，即可停止試驗(yàn)，做出接受原假設(shè)的決策。但是要考慮到精度指標(biāo)是一個(gè)概率性指標(biāo)，且一般隨機(jī)誤差占主要成分，通過(guò)較少試驗(yàn)子樣得出評(píng)定結(jié)論試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)較大。在試驗(yàn)組織實(shí)施階段，建議序貫判斷一般在試驗(yàn)子樣大于n/2之后。

表3 基于序貫的概率圓檢驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Result of sequential probability circle method

4 概率圓方法的運(yùn)用實(shí)例

4.1 概率圓方法的仿真驗(yàn)證

設(shè)計(jì)仿真試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證概率圓方法的實(shí)際應(yīng)用效果。仍沿用上述的假設(shè)條件：μ0=100，σ0=500，CEP0=600 m，λ=1.5，n=8。分別進(jìn)行命中精度為 CEP0/λ、CEP0、CEP0·λ三種試驗(yàn)輸入的仿真試驗(yàn)，試驗(yàn)次數(shù)設(shè)為10000次，檢驗(yàn)概率圓方法和序貫概率圓方法做出接收和拒收的概率。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)大于4時(shí)給出序貫判斷。

表4 仿真子樣信息Tab.4 Information of simulation samples

觀察仿真試驗(yàn)結(jié)果，可以得出如下結(jié)論：

1）當(dāng)裝備命中精度為CEP0時(shí)，研制方拒收風(fēng)險(xiǎn)為17.2%，當(dāng)裝備命中精度為CEP0·λ，使用方接收風(fēng)險(xiǎn)為16.7%。概率圓方法的仿真試驗(yàn)結(jié)果與表1中的理論計(jì)算結(jié)果基本吻合；

2）概率圓方法與基于序貫的概率圓方法試驗(yàn)結(jié)果大致相當(dāng)，說(shuō)明基于序貫的概率圓方法試驗(yàn)結(jié)果是可信的，且能夠很大程度上節(jié)省試驗(yàn)成本；

3）當(dāng)裝備命中精度實(shí)際性能高于合同規(guī)定值時(shí)，本試驗(yàn)中假定高1.5倍，概率圓方法做出誤判的可能性是很小的。一方面驗(yàn)證了概率圓方法的有效性，另一方面說(shuō)明了在此情況下利用序貫方法提前做出判斷是正確的。

4.2 試驗(yàn)中的具體運(yùn)用

以近年完成鑒定的某型遠(yuǎn)程彈道式飛行器試驗(yàn)結(jié)果為方法驗(yàn)證子樣，其中大部分為實(shí)際飛行子樣，其余為依據(jù)地面試驗(yàn)信息的仿真補(bǔ)充子樣。為保密起見，試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了等比例降密處理，假定CEP0為1000，μ0=167、σ0=833，n=8。令λ=1.5，m*=7，得到的概率圓檢驗(yàn)方法如表5所示。

表5 基于序貫的概率圓試驗(yàn)設(shè)計(jì)Tab.5 The test design of probability circle method

試驗(yàn)共取得了7個(gè)有效試驗(yàn)子樣，試驗(yàn)結(jié)果如表6所示。

表6 基于序貫的概率圓檢驗(yàn)結(jié)果Tab.6 The result of probability circle method

依據(jù)本文中提出的基于序貫的概率圓方法，可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果做出如下判斷：

1）7次試驗(yàn)落點(diǎn)偏差均小于1848，說(shuō)明命中精度試驗(yàn)結(jié)果滿足指標(biāo)要求，即命中精度滿足CEP0=1000的指標(biāo)要求；

2）第3次試驗(yàn)落點(diǎn)偏差為1796，查表5可得需至少完成7次試驗(yàn)方可得出試驗(yàn)結(jié)論，即無(wú)法利用基于序貫的概率圓方法提前給出試驗(yàn)結(jié)論；

3）試驗(yàn)結(jié)果分布整體情況較為均勻，且出現(xiàn)不能提前做出試驗(yàn)判斷的打靶結(jié)果，初步分析認(rèn)為被試裝備精度指標(biāo)水平不會(huì)明顯優(yōu)于設(shè)計(jì)指標(biāo)。

5 結(jié) 論

本文在假定縱橫向的射擊密集度和射擊準(zhǔn)確度滿足正態(tài)分布條件下完成了概率圓檢驗(yàn)方法關(guān)系式推導(dǎo)，進(jìn)而結(jié)合裝備試驗(yàn)鑒定工作討論了檢驗(yàn)門限、研制方風(fēng)險(xiǎn)、使用方風(fēng)險(xiǎn)和檢出比等參數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，提出了在小子樣試驗(yàn)條件下檢驗(yàn)命中精度指標(biāo)的序貫概率圓方法，并進(jìn)行了序貫概率圓檢驗(yàn)方法實(shí)際應(yīng)用策略研究，最后利用仿真算例和實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該方法的可行性。該檢驗(yàn)方法基于的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)充分易得，理論推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)可靠，使用過(guò)程簡(jiǎn)捷高效，為靶場(chǎng)以及研制方進(jìn)行命中精度檢驗(yàn)提供了一套可行的工程應(yīng)用方法。

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Sequential probability circle method for accuracy evaluation in small sample case

ZHENG Xiao-bing1, SUN Ao1, LEI Gang2, WANG Bao-he1, LIU Wen-chao1
(1.Unit 91550 of PLA, Dalian 116023, China; 2.Xi’an High-Tech Research Institution, Xi’an 710025, China)

The accuracy evaluation in small sample case is very important for strategic missile test, and it is hypothesis test for unknown parameter.Sequential probability circle method for accuracy evaluation is proposed based on analysis of both producer risk and user risk in equipment flying test.Computation of probability circle is framed based on probability density function of impact point.Calculating process and simulation example are designed in the condition of supposition.The relationship of probability circle radius,test sample and both risks is founded.The principle of checkup proportion is discussed.The progressive method of conventional probability circle test is advanced based on invariability of user risk.Simulation experiment results show that the sequential probability circle method can keep checkup precision and improve test benefit.The flight test results approve the feasibility of this method.

small sample; accuracy evaluation; probability circle; sequential

U666.1

A

1005-6734(2017)05-0566-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.05.002

2017-05-18；

207-08-23

國(guó)家自然科學(xué)基金（41506220）；軍內(nèi)科研項(xiàng)目

鄭小兵（1978—），男，博士，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制。E-mail: zhengxb07@126.com