夏琳琳，叢靖宇，馬文杰，趙 耀，劉惠敏

（1.東北電力大學(xué) 自動(dòng)化工程學(xué)院，吉林 132012；2.東北電力大學(xué) 理學(xué)院，吉林 132012；3.青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，青島 266109）

基于浸入與不變?cè)淼乃男碜藨B(tài)系統(tǒng)反步滑?？刂?/p>

夏琳琳1，叢靖宇1，馬文杰2，趙 耀1，劉惠敏3

（1.東北電力大學(xué) 自動(dòng)化工程學(xué)院，吉林 132012；2.東北電力大學(xué) 理學(xué)院，吉林 132012；3.青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，青島 266109）

針對(duì)較大幅度外部不確定擾動(dòng)下的四旋翼姿態(tài)穩(wěn)定問題，設(shè)計(jì)了一種基于浸入與不變?cè)恚↖&I）的自適應(yīng)反步滑模控制器（ABSMC）。首先建立了未知大擾動(dòng)下四旋翼姿態(tài)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，然后以橫滾角子系統(tǒng)搭建為例，設(shè)計(jì)并應(yīng)用了反步法和基于趨進(jìn)率的滑?？刂撇呗?。在擾動(dòng)估計(jì)誤差流型設(shè)計(jì)中，融合了I&I原理，即自適應(yīng)率的選取實(shí)現(xiàn)了誤差流型的不變和吸引，確保估計(jì)誤差收斂到0。最后，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析和數(shù)字仿真。結(jié)果表明，在較大未知擾動(dòng)情況下，融合I&I原理方法后，經(jīng)10 s所測(cè)跟蹤誤差平方的累加和僅為傳統(tǒng)ABSMC方法的11.2%，控制精度大幅提高。

四旋翼；姿態(tài)系統(tǒng)；浸入與不變?cè)恚环床椒?；滑模控?/p>

四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型具有非線性、強(qiáng)耦合、高階數(shù)等特點(diǎn)[1]。得益于自身可垂直起降、可懸停等靈活機(jī)動(dòng)的特性，廣泛應(yīng)用于近地環(huán)境下的航拍、刑偵、風(fēng)力發(fā)電設(shè)備檢修、環(huán)境監(jiān)控及交通管理等領(lǐng)域。在多旋翼無人機(jī)家族中，四旋翼系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)最為簡(jiǎn)單、緊湊，對(duì)稱的旋翼可同時(shí)完成逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，這種旋翼布局可以抵消螺旋槳引起的陀螺效應(yīng)，產(chǎn)生更大的升力。注意到，在 MEMS（微機(jī)電）、新型傳感器及新型材料等相關(guān)技術(shù)的推動(dòng)下，搭載MIMUs（微慣性測(cè)量元件）、小型成像設(shè)備（照相機(jī)、攝像機(jī)）、磁羅盤、GPS接收機(jī)等導(dǎo)航設(shè)備的四旋翼系統(tǒng)還可實(shí)現(xiàn)近地面環(huán)境下的導(dǎo)航、定位與通信。

本文對(duì)四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)控制系統(tǒng)開展專門研究。為確保飛行控制系統(tǒng)在風(fēng)力擾動(dòng)、陀螺效應(yīng)、重力及旋翼慣量矩等諸多物理效應(yīng)[2-3]影響下的控制效果，在傳統(tǒng)自適應(yīng)反步滑?？刂疲ˋBSMC）算法基礎(chǔ)上，提出融合浸入與不變（I&I）原理的ABSMC算法，涉及滑模面的選擇以提升系統(tǒng)魯棒性，反步法的設(shè)計(jì)以抑制系統(tǒng)抖動(dòng)，Lyapunov函數(shù)的選擇以確保系統(tǒng)狀態(tài)收斂等內(nèi)容。同時(shí)，在對(duì)自適應(yīng)滑模器控制率和自適應(yīng)率的選擇上，引入了基于I&I原理的誤差流型設(shè)計(jì)理念，確保了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提升了控制精度與擾動(dòng)估計(jì)誤差收斂效果。這部分研究?jī)?nèi)容將在第2～4節(jié)進(jìn)行詳盡闡述。作為必備基礎(chǔ)內(nèi)容，本文開篇給出四旋翼系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型及控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

1 四旋翼系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型及控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

飛行控制方面，在外部傳感器已提供了卓越的導(dǎo)航信息、機(jī)載電池已提供了穩(wěn)定的動(dòng)力能源的情況下，我們還需要對(duì)飛行狀態(tài)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。其中，由于6個(gè)自由度中的姿態(tài)與位置具有直接耦合關(guān)系，是否實(shí)現(xiàn)精確的姿態(tài)控制直接影響后續(xù)速度與位置控制的效果。

1.1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

考慮到未知大幅度外部擾動(dòng)的影響，結(jié)合文獻(xiàn)[4]，建立非線性四旋翼姿態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，表示為

1.2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

如前所述，四旋翼系統(tǒng)中，姿態(tài)與位置存在直接的耦合關(guān)系，即橫滾角/俯仰角的變化直接引起機(jī)體向前后/左右移動(dòng)，因此，位置系統(tǒng)并不僅僅由位置控制量實(shí)施控制，還要由實(shí)時(shí)的姿態(tài)角進(jìn)行調(diào)節(jié)。所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。該系統(tǒng)為雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)，通過信號(hào)發(fā)生器給出期望的位置軌跡和期望的偏航角，在位置控制器中根據(jù)位置系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程以及期望的位置計(jì)算出兩個(gè)期望的虛擬姿態(tài)角后連同給定的期望偏航角送至姿態(tài)控制器，這樣外環(huán)是實(shí)施PD控制率的位置系統(tǒng)，其輸出是四旋翼的總體升力控制量，內(nèi)環(huán)是本文研討的姿態(tài)系統(tǒng)輸出的三個(gè)姿態(tài)角的控制力矩。

圖1 四旋翼控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of quadrotor control system

如文獻(xiàn)[5-6]所述，在雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)的控制系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)的動(dòng)態(tài)性能對(duì)外環(huán)的穩(wěn)定性影響很大。針對(duì)這一問題，工程上一般使用內(nèi)環(huán)收斂速度大于外環(huán)的控制策略。在上述四旋翼控制系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)的姿態(tài)跟蹤誤差會(huì)影響外環(huán)位置系統(tǒng)的穩(wěn)定性，進(jìn)而對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成影響。我們考慮通過合理地選取內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制率和自適應(yīng)率，來確保整機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體方法是：控制率的設(shè)計(jì)結(jié)合了反步法，解決了系統(tǒng)抖動(dòng)、控制不連續(xù)等問題；自適應(yīng)率的設(shè)計(jì)中引入了額外的補(bǔ)償項(xiàng)，保證了估計(jì)誤差的收斂性，也提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。第3節(jié)將給出詳盡的設(shè)計(jì)方法。

2 自適應(yīng)反步滑?？刂破?ABSMC)設(shè)計(jì)

由于姿態(tài)系統(tǒng)是整個(gè)飛行控制的關(guān)鍵，國(guó)內(nèi)外相關(guān)實(shí)驗(yàn)室、高校和科研機(jī)構(gòu)已投入了大量研究工作，文獻(xiàn)[7-9]著眼于 PID、滑模、自適應(yīng)等諸多控制方法的研究，致力于獲得更優(yōu)的非線性控制效果，以提升系統(tǒng)的控制性能。

滑?？刂品椒ǖ膬?yōu)點(diǎn)是當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面時(shí)，其運(yùn)行狀態(tài)只取決于滑模面，而與系統(tǒng)的原參數(shù)無關(guān)（抑制了參數(shù)不確定性[10]）。由于該性能是通過控制量的高頻抖動(dòng)換取的，此方法在實(shí)際工程中受到限制。注意到，反步法是一種基于Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造性方法，其首先將系統(tǒng)分解為低階的子系統(tǒng)，然后分別設(shè)計(jì)各子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)和虛擬控制量，再一步步反推，從而確保整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。結(jié)合兩者的優(yōu)勢(shì)，以下以橫滾角子系統(tǒng)為例，給出傳統(tǒng)ABSMC的實(shí)現(xiàn)原理。

改寫式(1)中滾轉(zhuǎn)角子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，表示為

定義位置誤差：

其中，x1d表示橫滾角的期望值。

定義估計(jì)誤差：

由滑模設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)滑模面為

其中，系數(shù)λ1＞0，則：

引入自適應(yīng)算法，取Lyapunov函數(shù)，表示為

誠(chéng)然，該設(shè)計(jì)方法可以保證系統(tǒng)全局是漸進(jìn)穩(wěn)定的。然而，系統(tǒng)對(duì)未知擾動(dòng)估計(jì)誤差的動(dòng)態(tài)變化過程是無法調(diào)節(jié)的，這一現(xiàn)象雖然不會(huì)影響系統(tǒng)最終的穩(wěn)定性，但有時(shí)會(huì)對(duì)系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)造成嚴(yán)重的影響。

基于浸入與不變?cè)淼淖赃m應(yīng)方法可以很好地解決這個(gè)問題。

3 基于浸入與不變?cè)恚↖&I）的自適應(yīng)反步滑模控制器設(shè)計(jì)

I&I原理是通過設(shè)計(jì)流型并保持其吸引與不變，來維持系統(tǒng)穩(wěn)定的。本文對(duì)誤差估計(jì)建立流型，通過對(duì)控制率和自適應(yīng)率的設(shè)計(jì)確保估計(jì)誤差收斂到0。

仍以橫滾角子系統(tǒng)為例，根據(jù)式(2)及式(7)中關(guān)于f的定義，有：

定義誤差流型：

假定上述流型能夠不變，則擴(kuò)展橫滾角子系統(tǒng)模型，對(duì)照公式(15)，有：

由公式(4)～(6)的反步法設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)，為了保證負(fù)定，需要再設(shè)計(jì)函數(shù)，根據(jù)式(16)及式(17)中關(guān)于的定義，有：

以下完成控制率設(shè)計(jì)，令：

對(duì)擾動(dòng)估計(jì)誤差求導(dǎo)，有：

4 穩(wěn)定性分析

由于滑模控制的切換增益η1需大于擾動(dòng)估計(jì)誤差絕對(duì)值的最大值才能保證負(fù)定，這里令有：

注意到，指數(shù)形式的趨近率可以改進(jìn)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，但隨著符號(hào)函數(shù)的引入而帶來的不連續(xù)性問題卻容易造成系統(tǒng)控制量的抖動(dòng)。為了進(jìn)一步抑制抖動(dòng)發(fā)生，可采用相應(yīng)的雙曲正切函數(shù)為較小的正數(shù)）代替符號(hào)函數(shù)這部分內(nèi)容將在后續(xù)數(shù)字仿真與分析中予以證明。

由于歐拉角各角度具有相同的特性，其余兩個(gè)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可參照完成，在此不再贅述。

5 數(shù)字仿真

5.1 仿真條件與初值

參照文獻(xiàn)[12]中關(guān)于 PD外環(huán)位置系統(tǒng)中虛擬控制量的選取，得到：

該姿態(tài)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的參數(shù)取值如表1所列。

表1 姿態(tài)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中參數(shù)取值Tab.1 Parameter values in the dynamic model of attitude system

5.2 仿真結(jié)果與分析

圖2給出了I&I方法下，姿態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的相平面，從中可以看出，通過對(duì)控制率和自適應(yīng)率的設(shè)計(jì)，確保了系統(tǒng)誤差及其變化率收斂到0，整個(gè)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

圖2 姿態(tài)系統(tǒng)誤差相平面Fig.2 Error phase plane for attitude system

為了比較滑模運(yùn)動(dòng)中趨近率的設(shè)計(jì)在采用及未采用連續(xù)切換函數(shù)時(shí)兩種情況對(duì)系統(tǒng)控制量的影響，圖3和圖4分別給出了在符號(hào)函數(shù)、雙曲正切函數(shù)作用下，系統(tǒng)控制量的變化曲線。

圖3 符號(hào)函數(shù)作用下的控制量變化曲線Fig.3 Changing curves of controlled variables by sign function

圖4 雙曲正切函數(shù)作用下的控制量變化曲線Fig.4 Changing curves of controlled variables by hyperbolic tangent function

圖5 傳統(tǒng)ABSMC方法的三軸擾動(dòng)力矩估計(jì)Fig.5 Tri-axial torque disturbance estimates by classic ABSMC

圖 5和圖 6分別給出了相同仿真條件下，傳統(tǒng)ABSMC和本文方法所獲得的三軸擾動(dòng)力矩估計(jì)效果，其中，紅色虛線代表實(shí)際真值，黑色實(shí)線代表估計(jì)值。圖7和圖8為對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)估計(jì)誤差。

可以看出，傳統(tǒng)ABSMC對(duì)擾動(dòng)的跟蹤誤差較大，本文方法由于在自適應(yīng)率中引入I&I原理，從而大幅提高了對(duì)外部未知擾動(dòng)的適應(yīng)能力，指數(shù)率及比例積分形式的補(bǔ)償項(xiàng)促使收斂速度不斷提升，更快地調(diào)整了擾動(dòng)估計(jì)與給定擾動(dòng)相一致。圖8表征了三軸擾動(dòng)估計(jì)誤差已完全收斂，進(jìn)一步直觀地驗(yàn)證了這一效果。

圖6 本文方法的三軸擾動(dòng)力矩估計(jì)Fig.6 Tri-axial torque disturbance estimates by method adopted

圖7 傳統(tǒng)ABSMC方法的三軸擾動(dòng)力矩估計(jì)誤差Fig.7 Tri-axial torque disturbance estimates error by classic ABSMC

圖8 本文方法的三軸擾動(dòng)力矩估計(jì)誤差Fig.8 Tri-axial torque disturbance estimates error by method adopted

圖9和圖10分別給出了相同仿真條件下，傳統(tǒng)ABSMC和本文方法所獲得的歐拉角角度跟蹤效果，其中，紅色虛線代表期望角度，黑色實(shí)線代表實(shí)際角度。選用有限時(shí)間偏差平方值積分（ISE）的比值B來衡量二者的跟蹤效果，在仿真時(shí)間10 s時(shí)有：

式(27)表明本文方法在10 s內(nèi)跟蹤誤差平方的累加和僅為傳統(tǒng)方法的11.2%，控制精度大幅提高。

圖9 傳統(tǒng)ABSMC方法的角度跟蹤效果Fig.9 Angle tracking by classic ABSMC

圖10 本文方法的角度跟蹤效果Fig.10 Angle tracking by method adopted

圖 9～10這組對(duì)比圖同樣證明了基于 I&I原理的ABSMC方法在角度跟蹤方面具有更優(yōu)的性能。傳統(tǒng)方法對(duì)于擾動(dòng)估計(jì)的不足導(dǎo)致了跟蹤的誤差較大，而本文方法可以對(duì)外部擾動(dòng)做出及時(shí)地估計(jì)，在提高魯棒性的同時(shí)，進(jìn)一步提升了控制精度。

6 結(jié) 論

本文對(duì)四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)系統(tǒng)開展專門研究，以橫滾角子系統(tǒng)為例，探討基于浸入與不變（I&I）原理的自適應(yīng)反步滑模控制（ABSMC）策略，在確保物理系統(tǒng)穩(wěn)定工作的前提下，解決了飛行控制系統(tǒng)對(duì)于較大幅度外部不確定擾動(dòng)下的精確誤差估計(jì)與穩(wěn)定跟蹤問題。相同條件下的仿真對(duì)比表明，基于I&I原理的ABSMC在獲得優(yōu)化的擾動(dòng)估計(jì)效果方面具備更卓越的性能，可實(shí)現(xiàn)三軸擾動(dòng)估計(jì)誤差的完全收斂以及姿態(tài)角的無差跟蹤。同時(shí)，該方法為滑模控制中控制率與自適應(yīng)率的設(shè)計(jì)提供了模型參考。

（References）：

[1]范云生, 曹亞博, 趙永生.四旋翼飛行器軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì)與驗(yàn)證[J].儀器儀表學(xué)報(bào), 2017, 38(03): 741-749.Fun Y S, Cao Y B, Zhao Y S.Design and validation of trajectory tracking controller for quadrotor[J].Chinese Journal of Scientific Instrument, 2017, 38(3): 741-749.

[2]張居乾, 任朝暉, 周來宏, 等.基于指數(shù)收斂的四旋翼無人機(jī)魯棒自適應(yīng)飛行控制[J].中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào),2016, 24(4): 548-553.Zhang J Q, Ren C H, Zhou L H.Robust and adaptive flight control of quadrotor based on exponential convergence[J].Journal of Chinese Inertial Technology, 2016, 24(4): 548-553.

[3]竇景欣, 孔祥希, 聞邦椿, 等.四旋翼無人機(jī)模糊自抗擾姿態(tài)控制及穩(wěn)定性分析[J].中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào),2015, 23(6): 824-830.Dou J X, Kong X X, Wen B C.Attitude fuzzy active disturbance rejection controller design of quadrotor UAV and its stability analysis[J].Journal of Chinese Inertial Technology, 2015, 23(6): 824-830.

[4]Bertrand S, Guénard N, Hamel T, et al.A hierarchical controller for miniature VTOL UAVs: Design and stability analysis using singular perturbation theory[J].Control Engineering Practice, 2011, 19(10): 1099-1108.

[5]Jankovic M, Sepulchre R, Kokotovic P V.Constructive Lyapunov stabilization of nonlinear cascade systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 1996, 41(12): 1723-1735.

[6]Zhao B, Xian B, Zhang Y, et al.Immersion and invariance based adaptive attitude tracking control of a quadrotor UAV in the presence of parametric uncertainty[C]//2014 33rd Chinese Control Conference.Nanjing,China, 2014: 1932-1937.

[7]Yang K S, Cheng C C.Robust adaptive controller design for a quadrotor helicopter[J].Applied Mechanics &Materials, 2013, 284-287: 2296-2300.

[8]Gong X, Hou Z C, Zhao C J, et al.Adaptive backstepping sliding mode trajectory tracking control for a quad-rotor[J].International Journal of Automation and Computing, 2012, 9(5): 555-560.

[9]Pounds P E, Bersak D R, Dollar A M.Stability of small-scale UAV helicopters and quadrotors with added payload mass under PID control[J].Autonomous Robots,2012, 33(1): 129-142.

[10]曾令全, 王美琪, 張佳琦, 等.基于滑?？刂频拇笮妥兯亠L(fēng)機(jī)的最大風(fēng)能捕獲研究[J].東北電力大學(xué)學(xué)報(bào),2017, 37(2): 31-38.Zeng L Q, Wang M Q, Zhang J Q, et al.Maximum power point tracking of large scale variable speed wind turbine based on sliding mode control[J].Journal of Northeast Electric Power University, 2017, 37(2): 31-38.

[11]侯小燕, 薛文濤, 張晨.基于浸入與不變的氣動(dòng)彈性系統(tǒng)反演滑?？刂芠J].航天控制, 2016, 34(4): 3-9.Hou X Y, Xue W T, Zhang C.Backstepping sliding mode control of aeroelastic system based on immersion and invariance[J].Aerospace Control, 2016, 34(4): 3-9.

[12]劉金琨.先進(jìn)PID控制MATLAB仿真(第4版)[M].北京: 電子工業(yè)出版社, 2016.

Backstepping sliding mode control of quadrotor attitude system based on immersion and invariance

XIA Lin-lin1, CONG Jing-yu1, MA Wen-jie2, ZHAO Yao1, LIU Hui-min3
(1.School of Automation Engineering, Electric Power University, Jilin 132012, China;2.Science College, Northeast Electric Power University, Jilin 132012, China; 3.College of Mechnical and Electrical Engineering, Qingdao Agricultural University, Qingdao 266109, China)

When it comes to the issue of quadrotor’s attitude system stabilization under large uncertain external disturbances, an adaptive backstepping sliding mode controller (ABSMC) on basis of immersion and invariance(I&I) principle is designed.Firstly, the dynamic model of quadrotor’s attitude system with unknown large disturbances is established.In sequence, the roll subsystem is designated to be set as an illustration, and the corresponding sliding mode control strategies related to the backstepping form & reaching law are designed and introduced accordingly.Specifically, the I&I principle is invoked in the design process for disturbance estimates error manifold, that is, choosing suitable adaptive rate helps to gain error manifold’s invariant and attractive properties, guaranteeing the estimates error mentioned above converges to zero as expected.Finally, the stabilization analysis and numerical simulation are carried out.The results illustrate that, under adverse operation circumstances, the summation of tracking error square within 10 s by I&I principle descend to 11.2%of that derived by typical ABSMC, and the control precision is tested to be drastically enhanced.

quadrotor; attitude system, immersion and invariance; backstepping method; sliding mode control

U666.1

A

1005-6734(2017)05-0695-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.05.024

2017-07-07；

2017-09-15

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61503073）；吉林省科技廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目（20170101125JC）；吉林省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（20171005）；吉林市科技局杰出青年項(xiàng)目（20166005）

夏琳琳（1980—），女，博士，教授，從事導(dǎo)航系統(tǒng)研究。E-mail: prettylin521@aliyun.com

聯(lián) 系 人：劉惠敏（1983—），女，博士生，講師。E-mail: lhmgct@126.com