李慧雪

(浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院 浙江 杭州 310018)

馬爾可夫性在獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中的應(yīng)用

李慧雪

(浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院 浙江 杭州 310018)

在非壽險(xiǎn)精算之中，汽車保險(xiǎn)不但是非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司的重要業(yè)務(wù)之一，也是非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司盈利的主要方式，如何合理制定保費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，從而擴(kuò)大受益至關(guān)重要。獎(jiǎng)懲系統(tǒng)是馬爾可夫(Markov)過(guò)程的一種特殊形式，進(jìn)行馬爾可夫分析，能夠更好地幫我們?cè)u(píng)價(jià)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)好壞。本文簡(jiǎn)單介紹了Markov鏈的一些基本原理，并在基于汽車保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，建立了馬爾可夫獎(jiǎng)懲系統(tǒng)，推導(dǎo)了穩(wěn)態(tài)分布和Loimaranta效率表達(dá)式，并根據(jù)R語(yǔ)言數(shù)值模擬結(jié)果，對(duì)荷蘭許多保險(xiǎn)公司所采用的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的優(yōu)劣性進(jìn)行了評(píng)價(jià)。

Markov鏈；獎(jiǎng)懲系統(tǒng)；穩(wěn)態(tài)分布；Loimaranta效率；數(shù)值模擬

現(xiàn)如今我國(guó)的保險(xiǎn)市場(chǎng)全面放開，各保險(xiǎn)公司相互之間的競(jìng)爭(zhēng)愈發(fā)激烈，不斷增強(qiáng)對(duì)“獎(jiǎng)懲系統(tǒng)”作用的重視[2]。在“獎(jiǎng)懲系統(tǒng)”中，“無(wú)賠款優(yōu)待系統(tǒng)”是一種重要的形式，在下一年續(xù)保時(shí)，對(duì)那些無(wú)索賠的投保者給以相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)，而對(duì)有過(guò)索賠記錄的投保者，在保費(fèi)上給以相對(duì)應(yīng)的懲罰。作用是讓保險(xiǎn)公司收取的保費(fèi)，更接近于保險(xiǎn)指標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)，激勵(lì)發(fā)生事故頻率較低的那部分被保險(xiǎn)者能夠繼續(xù)在同一家公司進(jìn)行續(xù)保[5]。

一、基本概念

(1.1)

稱πj,j∈I為平穩(wěn)分布，若它滿足

πj= ∑i∈Iπipij,∑j∈Iπj= 1,πj≥0。 (1.2)

顯然有

(1.3)

其中初始概率為pj=PX0=j，絕對(duì)概率為pj(n)=PXn=j。

(1.4)

二、獎(jiǎng)懲系統(tǒng)模型

在非壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，汽車保險(xiǎn)作為其重要分支之一，在許多國(guó)家的總保費(fèi)收入中占到了最大比例。保險(xiǎn)的本質(zhì)是，“不幸運(yùn)的”保單持有者的損失由“幸運(yùn)的”保單持有者所承擔(dān)。若保險(xiǎn)者想要將這種補(bǔ)貼利益共同體強(qiáng)加給客戶，那么“好的”被保險(xiǎn)人會(huì)紛紛離去，剩下的只能是“差的”被保險(xiǎn)人。經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率系統(tǒng)中的獎(jiǎng)勵(lì)被認(rèn)為是給予謹(jǐn)慎駕駛員的獎(jiǎng)勵(lì)，相應(yīng)地，增加的保費(fèi)是給予經(jīng)常發(fā)生事故的駕駛員額外增加的罰款。

將獎(jiǎng)懲系統(tǒng)引入汽車保險(xiǎn)的目的是:1、減少保險(xiǎn)公司對(duì)于小額度理賠的支出費(fèi)用；2、在一定程度上，鼓勵(lì)被保險(xiǎn)者在駕駛車輛時(shí)，更加集中注意力，從而主動(dòng)盡可能減少風(fēng)險(xiǎn)；3、保費(fèi)負(fù)擔(dān)公平化，使得被保險(xiǎn)人交納的保險(xiǎn)費(fèi)，能夠與其真實(shí)的風(fēng)險(xiǎn)水平成比例。另一方面，獎(jiǎng)懲系統(tǒng)也有一些缺點(diǎn)，比如:1、被保險(xiǎn)者之間的合作互助關(guān)系有所減弱了；2、與大數(shù)定律相違背，有組織地放棄了保險(xiǎn)基本的原則；3、可能破壞了被保險(xiǎn)者的經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定性，因?yàn)樵讵?jiǎng)懲系統(tǒng)當(dāng)中，被保險(xiǎn)者在承擔(dān)基本保費(fèi)的同時(shí)，還要同時(shí)承擔(dān)續(xù)期保費(fèi)所存在的變異性。但即使這樣，獎(jiǎng)懲系統(tǒng)依然得廣泛應(yīng)用于實(shí)踐當(dāng)中[4]。

駕駛員本身的狀況稱為自身狀態(tài)，假定有n個(gè)狀態(tài)。設(shè)在一個(gè)特定的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中，有一個(gè)駕駛員，若他在第i-1，i年中有理賠記錄，那他在i+1年需要繳納一個(gè)較高保費(fèi)ci+1；若他在第i-1年中有理賠記錄，而在第i年無(wú)理賠記錄，或第i年中有理賠記錄而在第i-1年中無(wú)理賠記錄，那他在i+1年需要繳納一個(gè)保費(fèi)ci；否則他只需要繳納保費(fèi)ci-1，ci-1

(一)馬爾可夫分析

定理2[3]存在一個(gè)平穩(wěn)分布是不可約的非周期馬爾可夫鏈?zhǔn)钦７档某湟獥l件，并且這個(gè)平穩(wěn)分布即是極限分布i/μj,j∈I。

因?yàn)橛邢逘顟B(tài)的非周期不可約馬爾可夫鏈有且僅有正的常返態(tài)狀態(tài)，所以根據(jù)定理2知，一定存在一個(gè)平穩(wěn)分布，另一方面獎(jiǎng)懲系統(tǒng)之中的馬爾可夫鏈?zhǔn)怯邢逘顟B(tài)的不可約非周期馬爾可夫鏈，因此該系統(tǒng)中的馬爾可夫鏈一定存在一個(gè)平穩(wěn)分布。

假如一名駕駛員在初始的時(shí)刻處在狀態(tài)i=1,…,n的概率是PT(0)=(p1,p2,…,pn)，則在m個(gè)周期之后處于狀態(tài)i=1,…,n的概率為PT(m)=PT(0)p(m)=PT(m-1)P。因?yàn)槠椒€(wěn)分布存在，不妨設(shè)π=π1,…,πn，有π=πP，可利用R軟件來(lái)計(jì)算出該等式的數(shù)值解。很明顯，得到的平穩(wěn)分布為P的特征根等于1所對(duì)應(yīng)的左特征向量。由定理2可得：

(2.1)

表示司機(jī)從一個(gè)狀態(tài)i,i=1,2,…,n回到初始狀態(tài)所花費(fèi)的平均時(shí)間分別是:μ年。若假定每個(gè)保單索賠頻率服從P(λ)，對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率分布為πi(λ)，則其平均獎(jiǎng)懲系數(shù)就是

(2.2)

該方法的作用在于，能夠找出繳納了高額保費(fèi)的司機(jī)，若按這種狀態(tài)進(jìn)展下去，而加以必要的治理手段，想要讓保費(fèi)重新達(dá)到一個(gè)低的狀態(tài)幾乎是不可能的，所以必須對(duì)其加以干涉，采取各種有效的方式，來(lái)改善保費(fèi)的水平。

設(shè)齊次馬爾可夫過(guò)程{X(t),t≥0}的狀態(tài)空間I={0,1,…}，轉(zhuǎn)移概率為pij(t)，如果

(2.3)

則稱{X(t),t≥0} 為生滅過(guò)程[8]，λi,μi分別稱為出生率和死亡率。由定理1得

(2.4)

逐步遞推得平穩(wěn)分布

(2.5)

顯然可見平穩(wěn)分布存在的充要條件是

(2.6)

事實(shí)上，上述獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的生滅過(guò)程是在有限狀態(tài)之下的，并且λi=c,μi=a，則平穩(wěn)分布：

(2.7)

(2.8)

注意: 當(dāng)市場(chǎng)條件有所變動(dòng)時(shí)，再采用本文方法獲得的結(jié)果會(huì)和實(shí)際差距很大，若隨意采用，就可能出現(xiàn)很大的錯(cuò)誤，對(duì)此必須特別分析討論[6]。

(二)Loimaranta效率

獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的制定標(biāo)準(zhǔn)是,讓每位保單持有者所交納的保費(fèi)，最大可能地與其年理賠額的平均值相接近[1]。想要弄清某個(gè)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)能否實(shí)現(xiàn)此標(biāo)準(zhǔn)，必須弄明白保費(fèi)是怎樣依賴于理賠頻率參數(shù)λ的。穩(wěn)定狀態(tài)下的保費(fèi)可表示為b(λ)=π*(c1,…,cn)T，它是在初始狀態(tài)影響消失之后，還需交納的平均保費(fèi)，在一般情況下，此保費(fèi)應(yīng)和λ成一定的比例，由于理賠頻率數(shù)參數(shù)等于λ的駕駛員，他的平均每年的理賠總額會(huì)是單個(gè)平均理賠額的λ倍，并且在這里已提前規(guī)定單個(gè)理賠額和理賠頻數(shù)無(wú)關(guān)。

我們稱

(2.9)

為 Loimaranta 效率，由于彈性系數(shù)=因變變量的變動(dòng)比/自變變量的變動(dòng)比例，因此e(λ)表示穩(wěn)態(tài)保費(fèi)b(λ)關(guān)于λ的彈性。計(jì)算彈性時(shí)有一種近似的計(jì)算方法，首先給定λ的一個(gè)值，計(jì)算對(duì)應(yīng)b(λ)的值，接著增加一個(gè)非常小量Δλ，獲得λ+Δλ，進(jìn)一步計(jì)算b(λ+Δλ)，則可得到參數(shù)λ的彈性近似值

(2.10)

我們很容易就可以利用R軟件，求得不同取值的λ相對(duì)應(yīng)的彈性系數(shù)。對(duì)于充分小的h，由泰勒展開可得：

b(λ(1+h))≈b(λ)+λh

(2.11)

(2.12)

所以理想情況下，功效應(yīng)為e(λ)≈1，功效小于1則表示差駕駛員占便宜。因?yàn)榉€(wěn)態(tài)保費(fèi)并不會(huì)依賴于初始狀態(tài)，因此 Loimaranta 效率也和初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，雖然兩者都和理賠頻數(shù)λ高度相關(guān)。在幾乎所有的系統(tǒng)中，保費(fèi)的百分比都是一個(gè)正的有限數(shù)，即b(0)>0,b(∞)<∞，但是大部分的實(shí)際獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中都有b(∞)<∞，因此

(2.13)

(2.14)

三、模型求解-求穩(wěn)態(tài)保費(fèi)和Loimaranta效率

在本文中，令n代表狀態(tài)個(gè)數(shù)，引入函數(shù)tij(k),i,j=1,2,…,n來(lái)表示轉(zhuǎn)移規(guī)則，如下：

tij(k)=1，如果一年之中有k個(gè)理賠，則從狀態(tài)i到j(luò)；

tij(k)=0，else.

當(dāng)參數(shù)為λ時(shí)，從狀態(tài)i到j(luò)的轉(zhuǎn)移概率為

(3.1)

考慮初始分布l(0)=(l1(0),…,ln(0))，其中l(wèi)j(0)為在時(shí)刻t=0，單個(gè)保單處在初試狀態(tài)j,j=1,2,…,n的概率；那么在t+1時(shí)刻，發(fā)現(xiàn)一個(gè)駕駛員處在狀態(tài)j的概率向量可以由時(shí)刻t時(shí)地狀態(tài)向量l(t)表示如下：

(3.2)

對(duì)于每一個(gè)t，lj(t)的和等于1。對(duì)t→∞取極限，可以發(fā)現(xiàn)在穩(wěn)態(tài)下：

(3.3)

穩(wěn)態(tài)向量l(∞)=(l1(∞),…,ln(∞))是矩陣P，的特征值為1的左特征向量。在穩(wěn)定狀態(tài)之下，可以計(jì)算得理賠頻數(shù)λ的漸近平均保費(fèi)[1](穩(wěn)態(tài)保費(fèi))：

(3.4)

其中bj為狀態(tài)j時(shí)地保費(fèi)。注意到，lj(∞)依賴于λ，但是不依賴與狀態(tài)的初始分布。

如果有一種算法來(lái)計(jì)算(3.4)式中的b(λ)，就能很容易地近似Loimaranta效率e(λ)，所要做的就是利用(2.6)式。其實(shí)，也有可能精確地計(jì)算Loimaranta效率e(λ)。

(3.5)

gj(λ)可以通過(guò)對(duì)方程組(3.3)求導(dǎo)數(shù)得到，容易得如下的方程：

(3.6)

其中Pij(λ)的導(dǎo)數(shù)等于：

(3.7)

利用∑jgj(λ)=0這個(gè)事實(shí)，對(duì)每個(gè)λ，通過(guò)求解所得線性方程組計(jì)算Loimaranta效率e(λ)。利用這種方法，我們可以根據(jù)效率來(lái)比較各個(gè)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)地優(yōu)劣。

四、數(shù)值模擬

雖然Loimaranta效率e(λ)可以根據(jù)公式(3.5)-(3.7)，并用近似對(duì)λ(1-ε)和λ(1+ε)，利用P(210)的任一行計(jì)算穩(wěn)態(tài)分布，再利用

(3.8)

計(jì)算得到，但在本文中我們利用R語(yǔ)言來(lái)模擬得到。

用M個(gè)駕駛員在T年后的模擬獎(jiǎng)懲位置來(lái)估計(jì)穩(wěn)態(tài)分布，并由T年支付的平均保費(fèi)，再用近似的方法得到e(λ)。本文根據(jù)荷蘭許多保險(xiǎn)公司采用的獎(jiǎng)懲標(biāo)準(zhǔn)，來(lái)計(jì)算其穩(wěn)態(tài)分布和e(λ)。表4.1是該獎(jiǎng)懲標(biāo)準(zhǔn)，包括應(yīng)支付基礎(chǔ)保費(fèi)的百分比，經(jīng)過(guò)0,1,2,3次或更多次理賠后的轉(zhuǎn)換情況。在原則上，新來(lái)被保險(xiǎn)人應(yīng)該是進(jìn)入保費(fèi)水平100%的級(jí)別。

表 4.1

數(shù)值模擬對(duì)應(yīng)的算法流程圖如圖1：

圖4.1 算法流程圖

從圖1中，我們可以清晰地看到算法的過(guò)程，首先輸入轉(zhuǎn)移概率矩陣，然后根據(jù)確定的參數(shù)產(chǎn)生泊松分布的樣本，再利用for循環(huán)，計(jì)算出每個(gè)樣本在50年以后所處的等級(jí)，最后利用近似公式計(jì)算效率值。

表4.2 14個(gè)級(jí)別的穩(wěn)態(tài)分布

在本文中，取泊松分布參數(shù)λ1=0.045,λ2=0.055，駕駛員人數(shù)M=10000，年數(shù)T=50，通過(guò)R語(yǔ)言編程模擬，可以得到14個(gè)級(jí)別的穩(wěn)態(tài)分布情況如表4.2。觀察表4.2，可以發(fā)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)分布中，處于等級(jí)14的概率最大，分別達(dá)到0.7801和0.7239，說(shuō)明大部分駕駛員在很多年后很有可能只需繳納30%的保費(fèi)。另外，可以得到Loimaranta效率e(λ)=0.136，值小于1，這表明在該懲罰系統(tǒng)中，資金會(huì)從好的駕駛員向差的駕駛員轉(zhuǎn)移，即該懲罰系統(tǒng)所制定的規(guī)則對(duì)于差的駕駛員的懲罰力度不夠。

[1]R.卡爾斯等著，唐啟鶴等譯,現(xiàn)代精算風(fēng)險(xiǎn)理論[M].北京:科學(xué)出版社，2005:131-143.

[2]劉源,徐昕.保險(xiǎn)精算中的多零索賠現(xiàn)象探析[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2008,21:21-23．

[3]劉嘉錕,王公恕.應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程[M].北京:科學(xué)出版社,2004．

李慧雪(1995-)，女，漢族，碩士研究生，研究方向：生存分析。