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        Müntz有理函數(shù)的加權(quán)Lp逼近

        2017-12-01 06:52:28王軍霞李國(guó)成
        關(guān)鍵詞:和式天水結(jié)論

        王軍霞, 李國(guó)成

        (1.天水農(nóng)業(yè)學(xué)校 基礎(chǔ)部, 甘肅 天水 741400; 2.杭州科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部, 浙江 杭州 311402)

        Müntz有理函數(shù)的加權(quán)Lp逼近

        王軍霞1, 李國(guó)成2*

        (1.天水農(nóng)業(yè)學(xué)校 基礎(chǔ)部, 甘肅 天水 741400; 2.杭州科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部, 浙江 杭州 311402)

        考察了加Jacobi權(quán)w(x)=xα(1-x)α(α≥0)的Lp空間中Müntz有理函數(shù)的逼近問題.利用K-泛函與加權(quán)光滑模的等價(jià)性給出了逼近階的估計(jì)以及Ditzian-Totik型定理.所得結(jié)果將已有文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)論推廣到了加權(quán)情形.

        加權(quán)Lp逼近;Müntz有理函數(shù);逼近速度

        0 引 言

        簡(jiǎn)便起見,記

        ∧n: ={λ1,λ2,…,λn},

        Rn(∧): =

        定理1給定M≥0.如果0≤λ1<λ2…<λn<…,且λn+1-λn≥Mn,n=1,2,…,那么對(duì)任意f∈C[0,1],n=1,2…,存在r(x)∈Rn(∧)使得

        ωψθ(f,t)=

        對(duì)于Lp空間的Müntz有理逼近,YU等[11]得到了以下定理:

        這里CM,N,p為僅依賴于M,N和p的正常數(shù),ωψ(f,t)p定義為:

        當(dāng)ψ(x)≡1時(shí),定理2即為文獻(xiàn)[10]中的結(jié)論.

        首先,有以下結(jié)論:

        這里

        ωψ(f,t)p,ω: =

        當(dāng)ω(x)≡1,1≤p<∞時(shí),定理3即為定理2.

        ‖f-r‖p,ω≤

        方便起見,本文中以C表示正常數(shù),其值可能依賴于M,N,p和α等參數(shù),但不依賴于f和x.它們的值在不同的地方可以不同.

        1 引 理

        其中Δλ1=λ1, Δλκ=λκ-λκ-1,κ=2,3,…

        (1)

        其中,

        顯然,Ln(f,x)∈Rn(∧)為正線性算子.這一算子在本文結(jié)論的證明中起關(guān)鍵性作用.

        引理1對(duì)x∈[xj-1,xj],1≤j≤n,有如下不等式成立:

        rk(x)≤Ce-CM(N+1)|κ-j|,κ=1,2,…,n-1.

        (2)

        證明參考文獻(xiàn)[12]引理1的證明,便可得到此結(jié)論.

        引理2對(duì)任意x∈[xj-1,xj],2≤j≤n,有

        [xk,x],k=1,2,…,n.

        (3)

        對(duì)x∈(0,x1],1≤j≤n有

        (4)

        記xj為距離x最近的結(jié)點(diǎn),則有

        (5)

        式(3)和(4)包含在文獻(xiàn)[11]的引理1中,而式(5)為文獻(xiàn)[12]中的結(jié)論.

        Kψ(f,t)p,ω: =

        則有

        Kψ(f,t)p,ω~ωψ(f,t)p,w,

        這里A~B表示存在正常數(shù)C使得C-1≤A/B≤C.

        當(dāng)ω(x)≡1時(shí),引理3為文獻(xiàn)[5]中的theorem 3.1.2,而其他情形可以套用文獻(xiàn)[6]中的方法得到,在此略去詳細(xì)過程.

        引理4對(duì)任意μ>0,x∈[0,1],以下不等式成立:

        (6)

        證明若x∈0,x1,則由式(2)和(4)得

        若x∈x1,1,則由式(2)和(3)得

        (7)

        引理5對(duì)任意x∈[xj-1,xj],有以下不等式成立:

        (8)

        證明分以下幾種情形來證明結(jié)論.

        因此,式(8)成立.

        這里ξ1∈(j-1,k),ξ2∈(k,n).

        當(dāng)k>An時(shí),分2種情況來估計(jì).

        k-j≥An-j>A21/N+1-1j-A21/(N+1)>

        因此

        由上面討論知,式(8)在情形4時(shí)亦成立.

        C(|j-k|+1)α(N+1).

        綜合以上各種情形的討論,引理5得證.

        ‖Ln(f)‖p,ω≤C‖f‖p,ω.

        (9)

        (|j-k|+1)α(N+1)-1.

        (10)

        利用式(10)和(8),有

        當(dāng)p=∞時(shí),由引理1和式(8)得

        |ω(x)Ln(f,x)|=

        C‖f‖∞,ω.

        根據(jù)Riesz-Thorin引理[14],即得

        ‖Ln(f)‖p,ω≤C‖f‖p,ω, 1≤p≤∞.

        2 定理的證明

        2.1 定理3的證明

        因?yàn)長(zhǎng)n(f,x)∈Rn(∧),所以只要證明:

        (11)

        由引理3知,存在g∈AC[0,1]使得

        (12)

        (13)

        (14)

        利用引理6和式(12),有

        ‖Ln(f)-f‖p,ω≤‖Lnf-g‖p,ω+

        ‖Lng-g‖p,ω+‖g-f‖p,ω≤

        C‖f-g‖p,ω+‖Lng-g‖p,ω≤

        因此,只要證明:

        (15)

        Ln(g,x)-g(x)=

        (16)

        利用ωxk-1~ω(xk),2≤k≤n-1,有(當(dāng)p>1時(shí)要利用H?lder不等式,當(dāng)p=1時(shí)直接討論可得):

        (17)

        當(dāng)j=1時(shí),利用引理1和式(8),得

        (18)

        需要下列不等式:

        t∈t*,x*,j≥2.

        (19)

        事實(shí)上,當(dāng)j

        (|j-k|+1)N.

        當(dāng)j≥k時(shí),有x*=xj,t*=xk-1.因此,

        由引理1以及式(3)(8)和(19),得

        (20)

        由式(13),(14),(17),(18)和(20),證得式(15),從而定理3得證.

        2.2 定理4的證明

        顯然只要證明:

        (21)

        由引理3知,存在g∈AC[0,1]使得

        (22)

        (23)

        (24)

        根據(jù)Taylor展開式

        ω(x)Ln(f,x)-f(x)=

        (25)

        根據(jù)式(6),有

        (26)

        對(duì)K2,有

        (27)

        利用式(7),有

        (28)

        利用式(28)以及ω(xk)~ωxk-1,2≤k≤n-1,類似于式(20)的討論,可得

        (29)

        利用式(22),由引理4得

        (30)

        對(duì)K23,有

        (31)

        類似于式(18)的討論,推得

        (32)

        最后一步利用了式(24).

        根據(jù)式(28),類似于式(20)的討論可得

        (33)

        利用式(23),由式(31)~(33),有

        (34)

        綜合式(25)~(30)和(34)式(21)得證.

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        WANG Junxia1, LI Guocheng2

        (1.DepartmentofPublicEducation,TianshuiAgricultureSchool,Tianshui741400,GansuProvince,China; 2.DepartmentofPublicEducation,HangzhouPolytechnic,Hangzhou311402,China)

        OnLP-approximationbyMützrationalfunctions. Journal of Zhejiang University (Science Edition),2017, 44(6): 711-717

        In the present paper,we obtain the rate of Mütz rational approximation in weightedLpspaces with the Jacobi weightsω(x)=xα(1-x)α,α≥0. Based on the equivalence between the K-functional and the weighted moduli of smoothness, we establish the estimates of the approximation and two Ditzian-Totik type theorems.Our results generalize the related results of the existing researches.

        weightedLp-approximation; Mütz rational functions; approximation rate

        2016-11-10.

        王軍霞(1987—),ORCID: http://orcid.org/0000-0003-3511-2494,女,碩士,講師,主要從事函數(shù)論研究,E-mail: 79487694@qq.com.

        *通信作者,ORCID: http://orcid.org/0000-0003-1903-7770,E-mail:yslgc@sina.com.

        10.3785/j.issn.1008-9497.2017.06.010

        O 174

        A

        1008-9497(2017)06-711-07

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