王軍霞, 李國(guó)成
(1.天水農(nóng)業(yè)學(xué)校 基礎(chǔ)部, 甘肅 天水 741400; 2.杭州科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部, 浙江 杭州 311402)
Müntz有理函數(shù)的加權(quán)Lp逼近
王軍霞1, 李國(guó)成2*
(1.天水農(nóng)業(yè)學(xué)校 基礎(chǔ)部, 甘肅 天水 741400; 2.杭州科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部, 浙江 杭州 311402)
考察了加Jacobi權(quán)w(x)=xα(1-x)α(α≥0)的Lp空間中Müntz有理函數(shù)的逼近問題.利用K-泛函與加權(quán)光滑模的等價(jià)性給出了逼近階的估計(jì)以及Ditzian-Totik型定理.所得結(jié)果將已有文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)論推廣到了加權(quán)情形.
加權(quán)Lp逼近;Müntz有理函數(shù);逼近速度
簡(jiǎn)便起見,記
記
∧n: ={λ1,λ2,…,λn},
Rn(∧): =
定理1給定M≥0.如果0≤λ1<λ2…<λn<…,且λn+1-λn≥Mn,n=1,2,…,那么對(duì)任意f∈C[0,1],n=1,2…,存在r(x)∈Rn(∧)使得
ωψθ(f,t)=
對(duì)于Lp空間的Müntz有理逼近,YU等[11]得到了以下定理:
這里CM,N,p為僅依賴于M,N和p的正常數(shù),ωψ(f,t)p定義為:
而
當(dāng)ψ(x)≡1時(shí),定理2即為文獻(xiàn)[10]中的結(jié)論.
首先,有以下結(jié)論:
這里
ωψ(f,t)p,ω: =
當(dāng)ω(x)≡1,1≤p<∞時(shí),定理3即為定理2.
‖f-r‖p,ω≤
方便起見,本文中以C表示正常數(shù),其值可能依賴于M,N,p和α等參數(shù),但不依賴于f和x.它們的值在不同的地方可以不同.
置
其中Δλ1=λ1, Δλκ=λκ-λκ-1,κ=2,3,…
(1)
其中,
顯然,Ln(f,x)∈Rn(∧)為正線性算子.這一算子在本文結(jié)論的證明中起關(guān)鍵性作用.
引理1對(duì)x∈[xj-1,xj],1≤j≤n,有如下不等式成立:
rk(x)≤Ce-CM(N+1)|κ-j|,κ=1,2,…,n-1.
(2)
證明參考文獻(xiàn)[12]引理1的證明,便可得到此結(jié)論.
引理2對(duì)任意x∈[xj-1,xj],2≤j≤n,有
或
[xk,x],k=1,2,…,n.
(3)
對(duì)x∈(0,x1],1≤j≤n有
(4)
記xj為距離x最近的結(jié)點(diǎn),則有
(5)
式(3)和(4)包含在文獻(xiàn)[11]的引理1中,而式(5)為文獻(xiàn)[12]中的結(jié)論.
Kψ(f,t)p,ω: =
則有
Kψ(f,t)p,ω~ωψ(f,t)p,w,
這里A~B表示存在正常數(shù)C使得C-1≤A/B≤C.
當(dāng)ω(x)≡1時(shí),引理3為文獻(xiàn)[5]中的theorem 3.1.2,而其他情形可以套用文獻(xiàn)[6]中的方法得到,在此略去詳細(xì)過程.
引理4對(duì)任意μ>0,x∈[0,1],以下不等式成立:
(6)
證明若x∈0,x1,則由式(2)和(4)得
若x∈x1,1,則由式(2)和(3)得
(7)
引理5對(duì)任意x∈[xj-1,xj],有以下不等式成立:
(8)
證明分以下幾種情形來證明結(jié)論.
因此,式(8)成立.
這里ξ1∈(j-1,k),ξ2∈(k,n).
當(dāng)k>An時(shí),分2種情況來估計(jì).
k-j≥An-j>A21/N+1-1j-A21/(N+1)>
因此
由上面討論知,式(8)在情形4時(shí)亦成立.
C(|j-k|+1)α(N+1).
綜合以上各種情形的討論,引理5得證.
‖Ln(f)‖p,ω≤C‖f‖p,ω.
(9)
(|j-k|+1)α(N+1)-1.
(10)
利用式(10)和(8),有
當(dāng)p=∞時(shí),由引理1和式(8)得
|ω(x)Ln(f,x)|=
C‖f‖∞,ω.
根據(jù)Riesz-Thorin引理[14],即得
‖Ln(f)‖p,ω≤C‖f‖p,ω, 1≤p≤∞.
2.1 定理3的證明
因?yàn)長(zhǎng)n(f,x)∈Rn(∧),所以只要證明:
(11)
由引理3知,存在g∈AC[0,1]使得
(12)
(13)
(14)
利用引理6和式(12),有
‖Ln(f)-f‖p,ω≤‖Lnf-g‖p,ω+
‖Lng-g‖p,ω+‖g-f‖p,ω≤
C‖f-g‖p,ω+‖Lng-g‖p,ω≤
因此,只要證明:
(15)
Ln(g,x)-g(x)=
(16)
利用ωxk-1~ω(xk),2≤k≤n-1,有(當(dāng)p>1時(shí)要利用H?lder不等式,當(dāng)p=1時(shí)直接討論可得):
(17)
當(dāng)j=1時(shí),利用引理1和式(8),得
(18)
需要下列不等式:
或
t∈t*,x*,j≥2.
(19)
事實(shí)上,當(dāng)j (|j-k|+1)N. 當(dāng)j≥k時(shí),有x*=xj,t*=xk-1.因此, 由引理1以及式(3)(8)和(19),得 (20) 由式(13),(14),(17),(18)和(20),證得式(15),從而定理3得證. 2.2 定理4的證明 顯然只要證明: (21) 由引理3知,存在g∈AC[0,1]使得 (22) (23) (24) 根據(jù)Taylor展開式 有 ω(x)Ln(f,x)-f(x)= (25) 根據(jù)式(6),有 (26) 對(duì)K2,有 (27) 利用式(7),有 (28) 利用式(28)以及ω(xk)~ωxk-1,2≤k≤n-1,類似于式(20)的討論,可得 (29) 利用式(22),由引理4得 (30) 對(duì)K23,有 (31) 類似于式(18)的討論,推得 (32) 最后一步利用了式(24). 根據(jù)式(28),類似于式(20)的討論可得 (33) 利用式(23),由式(31)~(33),有 (34) 綜合式(25)~(30)和(34)式(21)得證. [1] SOMORJAI G. A Mütz-type problem for rational approximation[J].ActaMathHungar,1976,27: 197-199. [2] BAK J, NEWMAN D J. Rational combinations ofxλk,λk≥0, are always dense inC[0,1][J].JApproxTheory,1978(23): 155-157. [3] ZHOU S P. On Mütz rational approximation[J].ConstrApprox,1993(9): 435-444. [4] BAK J. On the efficiency of general rational approximation[J].JApproxTheory,1977(20): 46-50. [5] DITZIAN Z, TOTIK V.ModuliofSmoothness[M]. New York: Springer-Verlag,1987. [6] HEILMANN M, MULER M W.EquivalenceofAWeightedModulusofSmoothnessandAModifiedK-functional,ProgressinApproximationTheory[M]. New York: Academic Press,1991: 467-473. [7] GOLITSCHEK M V, LEVIATAN D. Rational Mütz approximation[J].AnnNumerMath,1995(2): 425-437. [8] 王軍霞,虞旦盛.Mütz有理逼近的整體估計(jì)和點(diǎn)態(tài)估計(jì)[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2014,41(2): 138-144. WANG J X, YU D S. Global and pointwise estimates for Müntz rational approximation[J].JournalofZhejiangUniversity:ScienceEdition,2014,41(2): 138-144. [9] 王軍霞,虞旦盛.加權(quán)Mütz有理逼近的整體估計(jì)和點(diǎn)態(tài)估計(jì)[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2015,37(2): 97-110. WANG J X, YU D S. The global and pointwise estimates for weighted Müntz rational approximation[J].NumericalMathematicsAJournalofChineseUniversities,2015,37(2): 97-110 [10] XIAO W, ZHOU S P. On Mütz rational approximation inLpspaces[J].JApproxTheory,2001,111: 50-58. [11] YU D S, ZHOU S P. Approximation rate for Mütz rational functions inLpspaces[J].MathInequalAppl,2006(6): 351-357. [12] YU D S, ZHOU S P. Some remarks on Mütz rational approximation[J].SoutheastAsianBullMath,2003,27: 583-590. [13] 周頌平,虞旦盛.有理逼近的一些最新進(jìn)展[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,2003,32(2): 141-156. ZHOU S P, YU D S. Recent developments on rational approximation[J].AdvancesinMathematics,2003,32(2): 141-156. [14] STEIN E M.SingularIntergralsandDifferentiabilityofFunctions[M]. New Jersey: Princeton University Press,1970. WANG Junxia1, LI Guocheng2 (1.DepartmentofPublicEducation,TianshuiAgricultureSchool,Tianshui741400,GansuProvince,China; 2.DepartmentofPublicEducation,HangzhouPolytechnic,Hangzhou311402,China) OnLP-approximationbyMützrationalfunctions. Journal of Zhejiang University (Science Edition),2017, 44(6): 711-717 In the present paper,we obtain the rate of Mütz rational approximation in weightedLpspaces with the Jacobi weightsω(x)=xα(1-x)α,α≥0. Based on the equivalence between the K-functional and the weighted moduli of smoothness, we establish the estimates of the approximation and two Ditzian-Totik type theorems.Our results generalize the related results of the existing researches. weightedLp-approximation; Mütz rational functions; approximation rate 2016-11-10. 王軍霞(1987—),ORCID: http://orcid.org/0000-0003-3511-2494,女,碩士,講師,主要從事函數(shù)論研究,E-mail: 79487694@qq.com. *通信作者,ORCID: http://orcid.org/0000-0003-1903-7770,E-mail:yslgc@sina.com. 10.3785/j.issn.1008-9497.2017.06.010 O 174 A 1008-9497(2017)06-711-07