張新坤

【摘要】在高中數(shù)學(xué)函數(shù)的對(duì)稱性學(xué)習(xí)過程中，我們需要通過理解來提高對(duì)對(duì)稱性相關(guān)知識(shí)的記憶能力，從而提高高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)成績及學(xué)習(xí)有效性。首先，從高中生角度，詳細(xì)介紹對(duì)稱性的概念。其次，闡述常見函數(shù)類型。最后，介紹抽象函數(shù)的對(duì)稱性，全面介紹函數(shù)的對(duì)稱性知識(shí)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 函數(shù)對(duì)稱性 函數(shù)周期 中心對(duì)稱數(shù)學(xué)屬于高中學(xué)習(xí)中的重要組成部分，且以函數(shù)為主線，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中屬于重點(diǎn)，也屬于一個(gè)難點(diǎn)部分。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，且是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本基礎(chǔ)。而函數(shù)中的對(duì)稱性是其最基本的一個(gè)特點(diǎn)，我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性與函數(shù)的定義以后，已經(jīng)能夠直觀性的了解函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，從而用來理解函數(shù)的本質(zhì)。對(duì)稱性能夠展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，主要是因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，會(huì)碰到對(duì)稱性問題，在傳遞給我們數(shù)學(xué)之美的同時(shí)，還能傳授相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，使我們養(yǎng)成清晰的解題思維。我們通過對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的學(xué)習(xí)，能夠提高對(duì)問題解決的能力，提高自己的綜合能力以及技巧的分析能力。

一、對(duì)稱性的概念

對(duì)稱性在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中較為常見，函數(shù)圖形中既存在軸對(duì)稱，也存在中心對(duì)稱。函數(shù)圖形對(duì)稱除了自身對(duì)稱外，還存在圖形對(duì)稱。函數(shù)周期性、奇偶性、單調(diào)性均和其對(duì)稱性存在密切的聯(lián)系。

1.中心對(duì)稱。假如有一個(gè)函數(shù)的圖像，圍繞著一個(gè)固定的點(diǎn)，進(jìn)行180度的旋轉(zhuǎn)，最后所形成的圖形，能夠與原來的函數(shù)圖形重合，則把這個(gè)函數(shù)稱為中心對(duì)稱，我們就把這個(gè)點(diǎn)稱為這個(gè)函數(shù)的對(duì)稱中心。

2.函數(shù)軸對(duì)稱。假如一個(gè)函數(shù)的圖像，在沿著一條直線進(jìn)行對(duì)折時(shí)，直線兩側(cè)的所有圖像均可以重合，則就把這個(gè)函數(shù)稱為軸對(duì)稱，這條直線可以稱為這個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸。

二、常見函數(shù)的對(duì)稱性

1.常見函數(shù)，不僅屬于中心對(duì)稱，而且也屬于軸對(duì)稱，而在直線中的全部的點(diǎn)都是該函數(shù)的對(duì)稱中心，與這條直線存在垂直關(guān)系的直線則是該函數(shù)的對(duì)稱軸。

2.三次函數(shù)。在三次函數(shù)中，奇函數(shù)最主要的特點(diǎn)是屬于中心對(duì)稱，原點(diǎn)是它的對(duì)稱中心，其他類型的三次函數(shù)是否存在對(duì)稱性，需要根據(jù)具體的題目來看。

3.對(duì)數(shù)函數(shù)，既不屬于中心對(duì)稱，也不屬于軸對(duì)稱。

4.反比例函數(shù)。反比例函數(shù)不僅屬于中心對(duì)稱，而且也屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱中心是原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y=-x和y=x。

5.余弦函數(shù)，不僅是中心對(duì)稱，而且也是軸對(duì)稱，它的對(duì)稱軸是x=kπ，對(duì)稱中心是（kπ+π2，0）。

6.正弦函數(shù)，不僅屬于中心對(duì)稱，而且還屬于軸對(duì)稱，它的對(duì)稱軸是x=kπ+π2，對(duì)稱中心是（kπ，0）。

7.正切函數(shù)，不屬于軸對(duì)稱，但是是中心對(duì)稱，正切函數(shù)的對(duì)稱中心是（kπ2，0），我們?cè)谌粘W(xué)習(xí)過程中，普遍以（kπ，0）是它的對(duì)稱中心。

8.正弦型函數(shù)：y=Asin（ωx+φ）不僅屬于中心對(duì)稱，而且也屬于軸對(duì)稱，在ωx+φ=kπ得出x，x的結(jié)果就是正弦型函數(shù)的對(duì)稱中心的橫向坐標(biāo)，縱坐標(biāo)是0。

9.一次函數(shù)，不僅屬于中心對(duì)稱，而且也屬于軸對(duì)稱，而處于直線中的全部的點(diǎn)都是該函數(shù)的對(duì)稱中心，與這條直線互相垂直的直線，全部是該函數(shù)的對(duì)稱軸。

10.二次函數(shù)，它的對(duì)稱軸方程是×=-b2a，它屬于軸對(duì)稱，而不屬于中心對(duì)稱。

11.冪函數(shù)，可以分為偶函數(shù)與奇函數(shù)兩種，其中偶函數(shù)的圖像屬于軸對(duì)稱圖像，y軸是它的對(duì)稱軸。與之相反的奇函數(shù)的圖像，屬于中心對(duì)稱，原點(diǎn)是它的對(duì)稱中心。只有在冪函數(shù)屬于偶函數(shù)或者奇函數(shù)的時(shí)候，對(duì)稱性才會(huì)有點(diǎn)，別的類型的冪函數(shù)中是沒有對(duì)稱性的。

12.指數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)既不屬于中心對(duì)稱圖像，也不屬于軸對(duì)稱圖像。

由于常見函數(shù)的對(duì)稱性類型較為多樣化，我們?cè)诤瘮?shù)對(duì)稱性的學(xué)習(xí)過程中容易混淆，不應(yīng)靠死記硬背，而是通過理解的方式，提高函數(shù)對(duì)稱性的記憶度，并在例題的基礎(chǔ)上，對(duì)相關(guān)理論知識(shí)進(jìn)行實(shí)踐，以解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性的問題，從而提高我們?nèi)粘W(xué)習(xí)中的解題效率，養(yǎng)成良好的解題思路。

三、分析抽象函數(shù)具備的對(duì)稱性

定理1：函數(shù)圖像y=f（x）以點(diǎn)A（a，b）形成對(duì)稱關(guān)系的必要條件為f（x）+f（2a-x）=2b{f（a+x）+f（a-x）=2b}。

假設(shè)函數(shù)y=f（x）符合f（3+x）+f（4-x）=6的要求，那么函數(shù)以（3.5，3）為對(duì)稱中心；假設(shè)函數(shù)y=f（x）符合f（-x）+f（x）=0的要求，那么函數(shù)以（0，0）為對(duì)稱中心。

推理：函數(shù)圖像y=f（x）以原點(diǎn)O形成對(duì)稱關(guān)系的必要條件為f（-x）+f（x）=0。

定理2：函數(shù)圖像y=f（x）以直線x=a形成對(duì)稱關(guān)系的必要條件為f（a+x）=f（a-x），換句話說就是f（x）=f（2a-x）。

推理：函數(shù)圖像y=f（x）以y軸形成對(duì)稱關(guān)系的必要條件為f（x）=f（-x）。

定理3：（1）假設(shè)函數(shù)圖像y=f（x）以點(diǎn)A（a，c）、B（b，c）且a≠b，形成中心對(duì)稱，那么就說明y=f（x）屬于周期函數(shù)，一個(gè)周期為2| a-b|。

（2）假設(shè)函數(shù)圖像y=f（x）以直線x=a、x=b形成軸對(duì)稱關(guān)系，那么就說明y=f（x）屬于周期函數(shù)，一個(gè)周期為2| a-b| 。

（3）假設(shè)函數(shù)圖像y=f（x）不僅以點(diǎn)A（a，c）形成中心對(duì)稱關(guān)系，又以直線x=b形成軸對(duì)稱關(guān)系，且a≠b，那么就說明y=f（x）屬于周期函數(shù)，一個(gè)周期為4| a-b| 。

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性的學(xué)習(xí)過程中，我們發(fā)現(xiàn)偶函數(shù)與基函數(shù)屬于較為特殊的例子，而在試卷中并不是單純針對(duì)對(duì)稱性進(jìn)行考察，而是與函數(shù)的周期性、單調(diào)性以及奇偶性等相結(jié)合進(jìn)行考察，保證高中數(shù)學(xué)知識(shí)考察的全面性。

四、高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性學(xué)習(xí)策略

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)中，為了更好地了解函數(shù)對(duì)稱性學(xué)習(xí)內(nèi)容，我們要想掌握這些知識(shí)，離不開老師的指導(dǎo)。即首先，如果在函數(shù)對(duì)稱性學(xué)習(xí)過程中若遇到了一些困難，無法理解函數(shù)對(duì)稱性的抽象概念，那么我們應(yīng)向老師請(qǐng)教，請(qǐng)老師為我們做相關(guān)演示。這時(shí)老師往往會(huì)根據(jù)實(shí)際情況，利用Matlab軟件和幾何畫板工具，為我們演示對(duì)稱性函數(shù)的圖形生成過程，我們也可以以更加直觀的方式完成圖形的觀察，更好地了解對(duì)稱性函數(shù)抽象概念。其次，在日常學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)認(rèn)真聽講教師講解重點(diǎn)、難點(diǎn)問題。例如，某次老師為加深我們對(duì)對(duì)稱性的函數(shù)的理解，為我們重點(diǎn)講解了函數(shù)的奇偶性和集合意義等內(nèi)容。同時(shí)，設(shè)計(jì)了與之相對(duì)應(yīng)的例題訓(xùn)練。即R上有一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是非常數(shù)函數(shù)且滿足如下條件：

若x=10-x，那么該函數(shù)是偶函數(shù)，且f（5+x）=f（5-x）

求解f（x）是什么函數(shù)。

這道題目是函數(shù)奇偶性訓(xùn)練的基礎(chǔ)題目，所以，通過題目的設(shè)置不僅讓我們初步了解函數(shù)對(duì)稱性特點(diǎn)，還以循序漸進(jìn)的方式完成數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性的學(xué)習(xí)。再次，因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)是環(huán)環(huán)相扣的。所以，我們?cè)跀?shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)注重把握好最基本的知識(shí)點(diǎn)。只有如此，才能為日后知識(shí)的學(xué)習(xí)做好鋪墊，達(dá)到最佳的數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性知識(shí)學(xué)習(xí)效果，增強(qiáng)“題感”。

五、結(jié)語

綜上所述，我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性的學(xué)習(xí)過程中，普遍存在應(yīng)用能力弱，動(dòng)手能力差等問題，因此在日常學(xué)習(xí)中，需培養(yǎng)良好的解題方法與數(shù)學(xué)思想，并熟練掌握與理解函數(shù)對(duì)稱性的基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，加強(qiáng)各知識(shí)間的連貫性，從而提高高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性的學(xué)習(xí)有效性。

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