牛艷秋

（吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林長春130111）

積分學(xué)教學(xué)方法的探討

牛艷秋

（吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林長春130111）

本文主要闡述了在教學(xué)中如何更好地應(yīng)用元素法思想來求解定積分、重積分問題，以及怎樣推廣元素法，并結(jié)合“元素法”的思想，得出三重積分的計(jì)算公式.

元素法；定積分；截面法；投影法

1 關(guān)于分部積分法的教學(xué)

2 在定積分概念教學(xué)中滲透元素法思想

元素法是定積分應(yīng)用中的基本思想方法，是解各類應(yīng)用題的法寶.一般教材中通常在介紹定積分應(yīng)用時(shí)才涉及元素法，在教學(xué)實(shí)踐中，我體會(huì)到可以將“元素法”提前在定積分概念教學(xué)中“滲透”.具體講授時(shí)，在講完分割、近似、求和、取極限引出定積分的概念后加以說明：若在“近似”階段，為簡便計(jì)算，省略下標(biāo)i，把這一區(qū)間記為[x,x+dx]，取ξ為x，則相應(yīng)的窄曲邊梯形面積近似為ΔA≈f(x)dx，且當(dāng)λ→0時(shí)，dx→0，這樣的窄曲邊梯形有無數(shù)個(gè)，整個(gè)曲邊梯形可視為這無數(shù)個(gè)窄條矩形（形象上為無數(shù)條直線段）構(gòu)成，這些窄條矩形面積即是構(gòu)成曲邊梯形面積的“元素”.一旦元素f(x)dx找到了，則將這無窮多個(gè)元素累加，即可得所求曲邊梯形面積.這樣講授自然流暢，即使學(xué)生對(duì)“元素”有了比較直觀的感性認(rèn)知，又為后續(xù)應(yīng)用“元素法”埋下伏筆，指明了基本思想方法，即欲求某個(gè)量，就要設(shè)法找出其“元素”，然后將這無窮多個(gè)元素累加（積分）即得所求量.另外，這種“元素法”的思想方法也對(duì)理解重積分的計(jì)算方法提供了幫助（見下目）.

3 多元積分學(xué)教學(xué)中引入具體模型

二重積分是以求曲頂柱體體積和平面薄片的質(zhì)量這兩個(gè)具體模型引入的，而三重積分及第一類曲面積分，則通常是直接引入定義.在教學(xué)實(shí)踐中如果也對(duì)它們賦予具體的物理模型，則對(duì)學(xué)生接受理解相關(guān)概念與算法是很有好處的.以三重積分為例，以求空間立體Ω的質(zhì)量為引例導(dǎo)入，設(shè)f(x,y,z)為相應(yīng)的體密度，經(jīng)過分割、近似、求和、取極限步學(xué)生對(duì)三重積分有了感性的認(rèn)知，同時(shí)也便于理解相關(guān)的性質(zhì).

另外，從這個(gè)具體的模型（空間立體的質(zhì)量）出發(fā)，結(jié)合“元素法”的思想，可較方便地得出和理解三重積分的兩種計(jì)算方法.

（1）投影法：設(shè)Ω：z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈Dxy（圖1），Dxy為Ω在xy面上的投影.將Dxy分成n個(gè)小區(qū)域，以dσ=dxdy為其任一小區(qū)域，(x,y)∈dσ，作以邊界dσ為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面，它被z=z1可視其為立體Ω的質(zhì)量“元素”，整個(gè)立體由無數(shù)個(gè)小柱狀體構(gòu)成，將這無數(shù)個(gè)“元素”累加，從而其質(zhì)量為m=即得投影法計(jì)算三重積分的公式：

圖1

圖2

（2）截面法：設(shè)Ω：c≤z≤d,(x,y)∈Dz，（圖2）Dz為豎坐標(biāo)為的平面與Ω所截得的平面區(qū)域.將[c,d]分成n個(gè)小區(qū)間，以[z,z+dz]為其任一小區(qū)間，相應(yīng)薄片的質(zhì)量應(yīng)為時(shí)，可視其為立體Ω的質(zhì)量“元素”，整個(gè)立體由無數(shù)個(gè)小薄片構(gòu)成，將這無數(shù)個(gè)“元素”累加，從而其質(zhì)量為即得截面法計(jì)算三重積分的公式：

〔1〕徐兵.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2010.8.

〔2〕春玲.強(qiáng)s-凸函數(shù)的simpson型積分不等式[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015（06）.

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