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        積分學(xué)教學(xué)方法的探討

        2017-11-30 07:53:31牛艷秋
        關(guān)鍵詞:思想質(zhì)量教學(xué)

        牛艷秋

        (吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院,吉林長春130111)

        積分學(xué)教學(xué)方法的探討

        牛艷秋

        (吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院,吉林長春130111)

        本文主要闡述了在教學(xué)中如何更好地應(yīng)用元素法思想來求解定積分、重積分問題,以及怎樣推廣元素法,并結(jié)合“元素法”的思想,得出三重積分的計(jì)算公式.

        元素法;定積分;截面法;投影法

        1 關(guān)于分部積分法的教學(xué)

        2 在定積分概念教學(xué)中滲透元素法思想

        元素法是定積分應(yīng)用中的基本思想方法,是解各類應(yīng)用題的法寶.一般教材中通常在介紹定積分應(yīng)用時(shí)才涉及元素法,在教學(xué)實(shí)踐中,我體會(huì)到可以將“元素法”提前在定積分概念教學(xué)中“滲透”.具體講授時(shí),在講完分割、近似、求和、取極限引出定積分的概念后加以說明:若在“近似”階段,為簡便計(jì)算,省略下標(biāo)i,把這一區(qū)間記為[x,x+dx],取ξ為x,則相應(yīng)的窄曲邊梯形面積近似為ΔA≈f(x)dx,且當(dāng)λ→0時(shí),dx→0,這樣的窄曲邊梯形有無數(shù)個(gè),整個(gè)曲邊梯形可視為這無數(shù)個(gè)窄條矩形(形象上為無數(shù)條直線段)構(gòu)成,這些窄條矩形面積即是構(gòu)成曲邊梯形面積的“元素”.一旦元素f(x)dx找到了,則將這無窮多個(gè)元素累加,即可得所求曲邊梯形面積.這樣講授自然流暢,即使學(xué)生對(duì)“元素”有了比較直觀的感性認(rèn)知,又為后續(xù)應(yīng)用“元素法”埋下伏筆,指明了基本思想方法,即欲求某個(gè)量,就要設(shè)法找出其“元素”,然后將這無窮多個(gè)元素累加(積分)即得所求量.另外,這種“元素法”的思想方法也對(duì)理解重積分的計(jì)算方法提供了幫助(見下目).

        3 多元積分學(xué)教學(xué)中引入具體模型

        二重積分是以求曲頂柱體體積和平面薄片的質(zhì)量這兩個(gè)具體模型引入的,而三重積分及第一類曲面積分,則通常是直接引入定義.在教學(xué)實(shí)踐中如果也對(duì)它們賦予具體的物理模型,則對(duì)學(xué)生接受理解相關(guān)概念與算法是很有好處的.以三重積分為例,以求空間立體Ω的質(zhì)量為引例導(dǎo)入,設(shè)f(x,y,z)為相應(yīng)的體密度,經(jīng)過分割、近似、求和、取極限步學(xué)生對(duì)三重積分有了感性的認(rèn)知,同時(shí)也便于理解相關(guān)的性質(zhì).

        另外,從這個(gè)具體的模型(空間立體的質(zhì)量)出發(fā),結(jié)合“元素法”的思想,可較方便地得出和理解三重積分的兩種計(jì)算方法.

        (1)投影法:設(shè)Ω:z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈Dxy(圖1),Dxy為Ω在xy面上的投影.將Dxy分成n個(gè)小區(qū)域,以dσ=dxdy為其任一小區(qū)域,(x,y)∈dσ,作以邊界dσ為準(zhǔn)線,母線平行于軸的柱面,它被z=z1可視其為立體Ω的質(zhì)量“元素”,整個(gè)立體由無數(shù)個(gè)小柱狀體構(gòu)成,將這無數(shù)個(gè)“元素”累加,從而其質(zhì)量為m=即得投影法計(jì)算三重積分的公式:

        圖1

        圖2

        (2)截面法:設(shè)Ω:c≤z≤d,(x,y)∈Dz,(圖2)Dz為豎坐標(biāo)為的平面與Ω所截得的平面區(qū)域.將[c,d]分成n個(gè)小區(qū)間,以[z,z+dz]為其任一小區(qū)間,相應(yīng)薄片的質(zhì)量應(yīng)為時(shí),可視其為立體Ω的質(zhì)量“元素”,整個(gè)立體由無數(shù)個(gè)小薄片構(gòu)成,將這無數(shù)個(gè)“元素”累加,從而其質(zhì)量為即得截面法計(jì)算三重積分的公式:

        〔1〕徐兵.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2010.8.

        〔2〕春玲.強(qiáng)s-凸函數(shù)的simpson型積分不等式[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015(06).

        O172.2

        A

        1673-260X(2017)11-0017-02

        2017-08-17

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