☆ 張 薇 楊秀燕 唐劍嵐

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林 541004）

應(yīng)用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)豐富學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)*

☆ 張 薇 楊秀燕 唐劍嵐

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林 541004）

互聯(lián)網(wǎng)+動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)已經(jīng)成為改善傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)、提效學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的利器。恰當(dāng)使用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)可以豐富學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、豐富直觀感知、強(qiáng)化動(dòng)手操作、助力猜想驗(yàn)證、促進(jìn)本質(zhì)理解和改善學(xué)習(xí)方式。

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)；數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》)提倡注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合[1]。互聯(lián)網(wǎng)+動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)已經(jīng)成為改善傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)、提效學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的利器。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)是指應(yīng)用諸如Hawgent皓駿、玲瓏畫(huà)板、圖形計(jì)算器等動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件改善數(shù)學(xué)教學(xué)的技術(shù)。恰當(dāng)使用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)可以豐富學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：豐富直觀感知、強(qiáng)化動(dòng)手操作、助力猜想驗(yàn)證、促進(jìn)本質(zhì)理解和改善學(xué)習(xí)方式。

一、豐富直觀感知

直觀感知是學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)的基本途徑。研究表明，如果僅僅運(yùn)用語(yǔ)言、板書(shū)、課本上的文字等言語(yǔ)化表征，教師是難以傳達(dá)三維或以上數(shù)學(xué)對(duì)象的。即便運(yùn)用圖形、圖表等靜態(tài)表征加以闡釋?zhuān)瑢W(xué)生也可能難以理解[2]。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)能將抽象言語(yǔ)化表征、靜態(tài)圖形表征動(dòng)態(tài)視覺(jué)化，直觀可見(jiàn)地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的微觀結(jié)構(gòu)與過(guò)程，揭示動(dòng)態(tài)變化中蘊(yùn)含不變的數(shù)學(xué)關(guān)系，不僅豐富學(xué)生的直觀感知和想象，也可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解。

譬如：讓學(xué)生直觀感知橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)等圓錐曲線(xiàn)的形成，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中是一個(gè)難點(diǎn)。但如果應(yīng)用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件設(shè)計(jì)積件（如圖1），并動(dòng)態(tài)演示圓錐曲線(xiàn)的形成過(guò)程，不僅能豐富學(xué)生的直觀感知，也有助于理解圓錐曲線(xiàn)的定義。

圖1 應(yīng)用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件設(shè)計(jì)的積件

二、強(qiáng)化動(dòng)手操作

動(dòng)手實(shí)踐是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式之一[1]。然而在現(xiàn)實(shí)課堂中，“教師操作為主，學(xué)生有參與沒(méi)體驗(yàn)”的低效甚至無(wú)效的動(dòng)手實(shí)踐現(xiàn)象仍時(shí)有發(fā)生。如果以學(xué)生操作為主，也許能有效提高學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的實(shí)效性。

譬如：“探究函數(shù) Y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)”這堂課，理解參數(shù)變化對(duì)函數(shù)圖象變化的影響是教學(xué)難點(diǎn)。傳統(tǒng)教學(xué)只能賦有限個(gè)數(shù)值給A、ω、φ畫(huà)出圖象，這樣既耗時(shí)又失一般性。如果借助動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件設(shè)計(jì)積件（如圖2），首先讓學(xué)生動(dòng)手操作，通過(guò)拖動(dòng)變量點(diǎn)親自感受單個(gè)參數(shù)A、w、j分別影響著函數(shù)Y=sinx圖象的伸縮、平移變換；接著，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究由Y=sinx的圖象得到Y(jié)=sin(x+φ)的圖象，再得到的圖象，最后得到的圖象，函數(shù)圖象經(jīng)歷怎樣的變化過(guò)程；最后，改變變換的順序，進(jìn)一步明晰各參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象變換的影響。這樣設(shè)計(jì)不僅滲透數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)讓學(xué)生在動(dòng)腦的同時(shí)動(dòng)手“做”數(shù)學(xué)，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)，感悟?qū)W習(xí)成就，從而達(dá)到“授人以魚(yú)的同時(shí)授人以漁與欲”的目標(biāo)[3]。

圖2 函數(shù)Y=Asin(ωx+φ)的圖象變換

三、助力猜想驗(yàn)證

猜想驗(yàn)證是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的重要活動(dòng)，是學(xué)生由感性經(jīng)驗(yàn)上升至理性經(jīng)驗(yàn)的一個(gè)重要過(guò)程。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)為學(xué)生進(jìn)行猜想驗(yàn)證提供了可操作的實(shí)驗(yàn)環(huán)境。學(xué)生在依據(jù)已有的具體事實(shí)、感性經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出猜想或假設(shè)后，可借助Hawgent皓駿等動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)，不僅能提升驗(yàn)證猜想的效力，而且有助于在“想中做”、“做中思”的過(guò)程中進(jìn)一步內(nèi)化知識(shí)。

譬如：在“探究底數(shù)a對(duì)指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0且|a|≠1)圖象變化的影響”的教學(xué)中，傳統(tǒng)教學(xué)一般讓學(xué)生動(dòng)手繪制底數(shù)a取特定值時(shí)的指數(shù)函數(shù)圖象，再引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，直接總結(jié)歸納變化規(guī)律。這樣教學(xué)較難破解“底數(shù)a是影響圖象變化的根源”這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。如果利用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件設(shè)計(jì)積件（如圖3），利用參數(shù)a動(dòng)態(tài)演示指數(shù)函數(shù)的圖象變化，實(shí)現(xiàn)數(shù)、符號(hào)、圖象多元表征聯(lián)系，不僅能助力驗(yàn)證猜想，而且可促進(jìn)學(xué)生理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

圖3 指數(shù)函數(shù)的圖像變化

四、促進(jìn)本質(zhì)理解

研究表明，良好的視覺(jué)化表征具有很強(qiáng)的啟發(fā)性[2]。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)能通過(guò)數(shù)字、符號(hào)、圖形或圖表多元表征數(shù)學(xué)對(duì)象，直觀凸顯數(shù)學(xué)對(duì)象的多元聯(lián)系，幫助學(xué)生建立表征間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)譯，促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

譬如：在導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)時(shí)，借助動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件設(shè)計(jì)積件（如圖4）。首先，利用幾何直觀啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均變化率在圖形中表示割線(xiàn)AB的斜率；接著，拖動(dòng)變量尺使點(diǎn)A沿函數(shù)圖象逼近點(diǎn)B，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合幾何和代數(shù)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)此時(shí)割線(xiàn)AB無(wú)限趨近于點(diǎn)B處的切線(xiàn)，從而得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義。這樣設(shè)計(jì)，讓學(xué)生從數(shù)值逼近，幾何直觀感受，解析式抽象多種方式理解，有利于學(xué)生數(shù)形結(jié)合感知割線(xiàn)逼近切線(xiàn)的變化過(guò)程，消除對(duì)極限的神秘感，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生深入理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

圖4 導(dǎo)數(shù)的幾何意義

五、改善學(xué)習(xí)方式

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)賦予了新的內(nèi)涵和生命力，為學(xué)生提供更多自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)的機(jī)會(huì)，從而在潛移默化中改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。其主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

化被動(dòng)接受為主動(dòng)探究，親歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件為學(xué)生建構(gòu)了研究性學(xué)習(xí)的新模式，讓學(xué)生親歷實(shí)驗(yàn)探究的過(guò)程。在課堂上，學(xué)生不再只是旁觀者或聽(tīng)眾，而是課堂的主動(dòng)參與者。由于親自動(dòng)手實(shí)踐，學(xué)生更容易對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果、產(chǎn)生結(jié)果的原因等產(chǎn)生強(qiáng)烈的好奇心，從而激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探求新知的欲望，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)。同時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、操作實(shí)驗(yàn)、分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果的過(guò)程，更有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

為學(xué)生提供個(gè)性化學(xué)習(xí)工具，優(yōu)化學(xué)習(xí)過(guò)程。例如：與圖形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是涉及函數(shù)、幾何、運(yùn)算等的綜合題型，是高中學(xué)生解題過(guò)程中常見(jiàn)的攔路虎。部分學(xué)生因無(wú)法想象圖形運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律，從而產(chǎn)生畏難心理。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件中的圖形計(jì)算器不只是教師演示的工具，也是學(xué)生個(gè)性化的學(xué)習(xí)工具[4]。學(xué)生可用于答疑解惑，檢驗(yàn)正誤，有利于提高學(xué)生的自我效能感，改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念[5]；再如，玲瓏畫(huà)板的3D功能為學(xué)生探究立體幾何提供更廣闊的探究空間，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、空間想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等。

[1]中華人民共和國(guó)教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社,2003,9.

[2]唐劍嵐.數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)及教學(xué)[M].南京：南京師范大學(xué)出版社,2009.

[3]唐劍嵐,周元.“授人以魚(yú)”的同時(shí)“授人以漁與欲”—以《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》公式推導(dǎo)片段為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2016,(09)：41-46.

[4]王長(zhǎng)沛.圖形計(jì)算器：不可替代的“數(shù)學(xué)工具”[J].中小學(xué)信息技術(shù)教育,2007,(03)：111-120.

[5]唐劍嵐,蔣蜜蜜,肖寶瑩.數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)信念：影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的重要變量[J].課程·教材·教法,2014,(06).

本文為以下項(xiàng)目成果：廣西普通高中學(xué)科基地建設(shè)項(xiàng)目;2017年廣西研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目（XYCSZ2017073）的部分成果。

[編輯：劉睿]

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A

1671-7503（2017）21-0055-03