孫永濤+田衛(wèi)章

摘 要：范得蒙行列式是一種很重要的行列式，在這篇文章里，探討Vandermonde行列式在高等代數(shù)理論中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：Vandermonde 行列式；向量空間；線性變換；多項(xiàng)式

0 引言

Vandermonde 行列式是一種重要的行列式，在解決上述問(wèn)題中有著重要的作用，本文通過(guò)一些例題總結(jié)出一些Vandermonde行列式的應(yīng)用.

1 在多項(xiàng)式定理中的應(yīng)用

例1 設(shè)是數(shù)域F中互不相同的數(shù)，是數(shù)域F中任一組給定的不全為零的數(shù)，則存在唯一的數(shù)域F上次數(shù)小于n的多項(xiàng)式滿足，.

證明 設(shè) ，由條件，知

（2）

因?yàn)榛ゲ幌嗤?，所以方程組（2）的系數(shù)行列式為

則方程組（2）有唯一解，即唯一的次數(shù)小于n的多項(xiàng)式，使得，.

2 在行列式中的應(yīng)用

例2 計(jì)算 .

解 注意到此行列式與Vandermonde行列式的區(qū)別在于它的最后一列.現(xiàn)在添上一列一行使其變.為Vandermonde行列式

.

因此的系數(shù)為而中元素

的代數(shù)余子式為，故.

3 在向量空間理論中的應(yīng)用

例3 設(shè)V是數(shù)域F上的n維向量空間，任給正整數(shù)m，則在V中存在個(gè)m向量，其中任取n個(gè)向量都線性無(wú)關(guān).

證明 因?yàn)樗灾恍柙谥锌紤]即可，取

令.

則是Vandermonde行列式，且所

以線性無(wú)關(guān).

4 在微積分中的應(yīng)用

例4 確定常數(shù)，使得

當(dāng)是為最高階的無(wú)窮小，并給出其等價(jià)表達(dá)式.

解 對(duì)的各項(xiàng)利用泰勒公式，有

當(dāng)時(shí)若最高階無(wú)窮小在6階以上，則有方程組

其系數(shù)行列式為Vandermonde行列式由于

故原方程組只有零解，即從而=0顯然不合題意，故以下考慮當(dāng)時(shí)最高價(jià)小于6的情形.令

等價(jià)與

以為未知數(shù)線性方程組，其系數(shù)行列式為Vandermonde行列式

方程組有唯一一組解依賴(lài)于的解：

，從而

在的鄰域內(nèi)的最高價(jià)無(wú)窮小有下述形式的表達(dá)式.

.

參考文獻(xiàn)

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