■吳忠妙

初中數(shù)學(xué)“錯(cuò)誤”資源的挖掘與利用

■吳忠妙

在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)教師意想不到的錯(cuò)誤，有一些錯(cuò)誤易被忽略，不少錯(cuò)誤也會(huì)在學(xué)生的作業(yè)和考試中反復(fù)出現(xiàn)。此情此景，教師會(huì)認(rèn)為學(xué)生沒有用心聽，沒認(rèn)真反思、訂正，甚至?xí)惫刂肛?zé)學(xué)生“不開竅”，但靜下心來，透過這個(gè)現(xiàn)象，是否也要找找我們教師自身的原因呢？是否在教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)過程等環(huán)節(jié)出了問題？是否可將學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中出現(xiàn)的“通病”合理利用呢？筆者也一直在嘗試、積累、反思，取得了較好的效果，現(xiàn)舉幾處學(xué)生犯的“錯(cuò)誤”，談?wù)劰P者的心得。

一、利用錯(cuò)誤，挖掘?qū)W生的探究因子。在每節(jié)數(shù)學(xué)課的相關(guān)環(huán)節(jié)，我都會(huì)精心設(shè)計(jì)與所學(xué)新知相關(guān)聯(lián)的素材，這些素材中一部分是學(xué)生作業(yè)、考試中的常見錯(cuò)誤，有一部分是筆者從教材或課外學(xué)習(xí)材料中提煉設(shè)計(jì)的“陷阱”，利用孩子的天性，充分調(diào)動(dòng)他們的探究積極性。這些教學(xué)資源來源于生活實(shí)際或是學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)中易犯的錯(cuò)誤，故更有說服力，讓學(xué)生在找錯(cuò)、糾錯(cuò)的過程中強(qiáng)化了對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

教學(xué)案例一：9.1“反比例函數(shù)”的教學(xué)片段。

實(shí)際問題：無錫到南京的路程大約是200km，一列火車的速度是vkm/h，從無錫到南京所用時(shí)間為th。

師：我和南京有著不解之緣，30年前，家人帶我從無錫坐火車去南京，不過那時(shí)火車的速度只有50km/h,請(qǐng)問需用多長(zhǎng)時(shí)間？

生：4h。

師：15年前，我在南京讀大學(xué)時(shí)，火車速度大約是80km/h，從無錫到南京坐火車需用多長(zhǎng)時(shí)間？

生：2.5h。

師：上周我坐高鐵去南京，速度達(dá)到了250km/h。

生：哇……只有0.8h呀?。ㄟ叴疬吿畋砀瘢?/p>

師：t是v的函數(shù)嗎？

生：是的。

師：你還能舉出生活中類似存在這種數(shù)量關(guān)系的實(shí)例嗎？

生：……

師：這些函數(shù)關(guān)系式的形式有何特征？（小組交流，合作探究。）

學(xué)生甲：因變量y隨著自變量x的增大而減小。

師：你是從兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)變化關(guān)系上分析的，切入點(diǎn)選得很好，但剛才我們所列舉的都是實(shí)際問題，使用數(shù)據(jù)都是正數(shù)，容易造成錯(cuò)覺，通過后面知識(shí)的學(xué)習(xí)，我們就會(huì)知道這兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不那么“單純”，這為以后學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的性質(zhì)埋下了很好的伏筆。

分析與反思：此處學(xué)生以偏概全地概括出反比例函數(shù)的增減性，由于是實(shí)際問題，很容易將自變量的范圍定為正數(shù)。每一個(gè)錯(cuò)誤，都能折射出隱藏的思維問題：有的審題不清，忽略或錯(cuò)誤理解題意；有的是順著前面的思路，沒有求異思維；有的是概念混淆，理解不深刻。合理利用學(xué)生“自創(chuàng)的錯(cuò)誤”，以此為突破點(diǎn)，充分挖掘“問題所在”，這也是一種突破教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)的好點(diǎn)子。

二、利用錯(cuò)誤，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)。在學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，腦海里往往已經(jīng)儲(chǔ)存了不少對(duì)舊知識(shí)錯(cuò)誤或片面的認(rèn)識(shí)，若對(duì)學(xué)生的這些問題置之不理的話，則會(huì)影響對(duì)新知的認(rèn)識(shí)、理解、應(yīng)用。為解決此類問題，筆者借助以前學(xué)生學(xué)習(xí)同類知識(shí)時(shí)最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，通過“設(shè)疑自探—解疑合探—質(zhì)疑再探”，讓學(xué)生在自我反思中發(fā)現(xiàn)問題，在小組討論中體現(xiàn)自身思維的價(jià)值，通過同伴幫助，教師點(diǎn)撥，完善對(duì)知識(shí)的理解，學(xué)生的質(zhì)疑創(chuàng)造意識(shí)逐漸建立起來。

教學(xué)案例二：“勾股定理”教學(xué)片段。

師：請(qǐng)思考Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C分別對(duì)應(yīng)邊a，b，c，若a=3，b=4，求c。

生：c=5，勾三股四弦五嘛。

師：反應(yīng)很快，勾股定理是對(duì)于直角三角形而言的。c=5就是根據(jù)勾股數(shù)得到的嗎？

生：根據(jù)∠C=90°。

師：很好，抓住了本質(zhì)——直角。

生：但不一定是∠C=90°，題目中沒有說明，無法確定哪個(gè)角是直角。

師：不確定怎么辦？

生：分情況討論，若∠C=90°，則c=5; 若∠B=90°，則不可能是直角，因?yàn)樗鶎?duì)的邊a不可能是最大邊。

師：這種思想方法還在學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容時(shí)用過？

生：等腰三角形的存在性問題，全等三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定時(shí)……

分析與反思：此處錯(cuò)誤是學(xué)生思維不嚴(yán)密所致，在不明確哪個(gè)角是直角的情況下，應(yīng)分情況討論，分類思想是很重要的數(shù)學(xué)思想，讓他們多“掉陷阱”，學(xué)生對(duì)此會(huì)理解得更深刻。學(xué)生犯錯(cuò)誤的過程，是教育的最好契機(jī)；讓學(xué)生通過糾錯(cuò)，完善思維方法，提升了自身的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)，并讓學(xué)生在糾錯(cuò)中獲取進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)的自信，甚至能從中發(fā)現(xiàn)一些有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法。

三、利用錯(cuò)誤，培養(yǎng)學(xué)生的生成意識(shí)。如何突破本節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)難點(diǎn)時(shí)，我總是“絞盡腦汁”，當(dāng)然課堂中會(huì)出現(xiàn)預(yù)設(shè)的“錯(cuò)誤”，也會(huì)有一些“突發(fā)事件”，若教師采用教學(xué)智慧，合理利用，會(huì)達(dá)到“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的效果。

教學(xué)案例三：“軸對(duì)稱圖形”教學(xué)片段

師：如下圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠ADC=∠ABC，問CD=BC嗎？請(qǐng)大家思考后再討論。

學(xué)生甲：根據(jù)原圖，沒辦法使用條件直接證明，由軸對(duì)稱想到連接AC,可通過證△ADC≌△ABC得到。

師：很好，從圖形的特征想到連接AC，不僅構(gòu)造了兩個(gè)三角形且為全等創(chuàng)造了一對(duì)等邊，真是“一箭雙雕”。

學(xué)生乙：有問題，“邊邊角”是不能證兩三角形全等的，太想當(dāng)然了。

師：嗯，學(xué)生甲雖然在證全等三角形方法上出了狀況，但你有嘗試改變現(xiàn)狀的勇氣。CD≠BC嗎？怎么回事？題目有問題呀？

學(xué)生丙：題目沒問題，若連接BD,由AB=AD，得∠ADB=∠ABD，又因?yàn)椤螦DC=∠ABC，得∠CDB=∠CBD,由等角對(duì)等邊得CD=CB。

師：剛才該同學(xué)構(gòu)造了等腰三角形解決了問題。有時(shí)一種思路行不通，那就得改變策略，當(dāng)然要結(jié)合所學(xué)知識(shí)。若連接AC，BD，你還能得出哪些結(jié)論呢？

生：……

分析與反思：學(xué)生甲由對(duì)稱很自然地想到連接AC，但不能通過證明三角形全等來解決問題，教師并沒有急于否定，而是肯定了他的嘗試，通過學(xué)生間的互相補(bǔ)充，問題得到圓滿解決，并作了相應(yīng)的拓展。教學(xué)的節(jié)奏應(yīng)“正中”學(xué)生發(fā)展需要的“下懷”，當(dāng)然也要該出手時(shí)就出手，不直接給出結(jié)果，多鼓勵(lì)學(xué)生思考，爭(zhēng)取有更多的課堂生成。對(duì)于那些學(xué)習(xí)暫時(shí)落后的學(xué)生，請(qǐng)給他們更多的時(shí)間去慢慢思索，慢慢自己調(diào)整問題，讓他們相信自己能學(xué)好數(shù)學(xué)。

四、利用錯(cuò)誤，提升學(xué)生的反思能力。在布置作業(yè)時(shí)，根據(jù)以前學(xué)生作業(yè)或考試中經(jīng)常出現(xiàn)的易錯(cuò)題，適當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)一些“陷阱”題，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生通過“錯(cuò)誤”強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)的理解，達(dá)到“吃一塹長(zhǎng)一智”的目的。

教學(xué)案例四：講評(píng)易錯(cuò)題

關(guān)于x的一元二次方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2且有x1-x1x2+x2=1-a，求a的值。（給出以下解法，讓學(xué)生辨析，學(xué)生有說對(duì)的，有說錯(cuò)的。）

解得a=1或-1。

這題在筆者所教的班級(jí)里，約有65%的同學(xué)是這樣做的，經(jīng)過再次深入地思考后，學(xué)生提出以下想法：

學(xué)生甲：對(duì)所得結(jié)果要檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時(shí)，原方程根的判別式△=0，此時(shí)原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故不符合題意，應(yīng)舍去。

學(xué)生乙：由題意得，原方程的根的判別式△＞0，先求出△的范圍，就會(huì)避免以上錯(cuò)誤。

師：想想你們出現(xiàn)這類錯(cuò)誤的原因是什么？

生：沒注意一元二次方程的概念，即a≠0(當(dāng)然本題沒體現(xiàn)出來)，還要準(zhǔn)確理解一元二次方程根的判別式，思維不嚴(yán)謹(jǐn)……

分析與反思：此處錯(cuò)誤是學(xué)生常見的錯(cuò)誤，一元二次方程有兩根的前提是a≠0且△＞0，多強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生抓住問題的實(shí)質(zhì)。教師應(yīng)再認(rèn)真分析學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，講清原委，讓學(xué)生再練習(xí)，再思考，再反思，以后遇到類似的問題，養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣，避免掉進(jìn)“陷阱”，讓學(xué)生的思維更嚴(yán)謹(jǐn)，解題習(xí)慣更具科學(xué)性。

實(shí)踐表明，讓學(xué)生經(jīng)歷犯錯(cuò)、找錯(cuò)、糾錯(cuò)、感悟提升，這樣的學(xué)習(xí)過程才是完整的。教師有預(yù)設(shè)性地設(shè)置一些障礙，利用學(xué)生本身具有喜歡找錯(cuò)誤的特點(diǎn)，吸引其眼球，讓其探究、思考，放手讓“小馬”自己摸索過河，自己糾錯(cuò)之后的快樂才是真快樂！

數(shù)學(xué)錯(cuò)誤資源的挖掘和利用是一種教學(xué)手段，也是師生在教學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流合作的一座橋梁。用心尋找這些“錯(cuò)誤”并歸納分類，合理利用這些“錯(cuò)誤”，能讓教師站在學(xué)生角度思考問題，設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，從而拉近了師生距離，使學(xué)生產(chǎn)生更加深刻的認(rèn)同感。

“錯(cuò)誤”亦是一種資源，若教師能合理開發(fā)，甚至是創(chuàng)新性地重組、升華，必能達(dá)到“別有洞天”的教學(xué)境界。

（作者為江蘇省江陰市英橋國(guó)際學(xué)校教師）