■江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級(jí)中學(xué) 金志勝

聚焦集合知識(shí)中的易錯(cuò)點(diǎn)

■江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級(jí)中學(xué) 金志勝

編者的話:同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中,難免會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)解的現(xiàn)象。本期“易錯(cuò)題歸類(lèi)剖析”欄目推出的文章,注重剖析錯(cuò)解原因,注重補(bǔ)充知識(shí)缺陷,注重題目引申變換,希望同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng)會(huì),學(xué)以致用,不再發(fā)生類(lèi)似的錯(cuò)解。

集合作為一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具在數(shù)學(xué)問(wèn)題中被廣泛地應(yīng)用。在實(shí)施集合語(yǔ)言等價(jià)轉(zhuǎn)換過(guò)程中,有些同學(xué)由于不能深刻理解集合的意義、性質(zhì)、表示法或考慮問(wèn)題不全,而常造成錯(cuò)解。下面就常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行歸納剖析,并給出提醒,希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)能有所幫助。

聚焦1——忽視集合中的代表元素的特征

例1 已知A={y|y=2x+1,x∈R},B={(x,y)|y=x2+1,x∈R},則有( )。

A.A∩B={(0,1),(2,5)}

B.A?B

C.B?A

D.A∩B=?

錯(cuò)解:選A或C。

剖析:沒(méi)有注意到集合中代表元素的特征,將數(shù)集與點(diǎn)集混淆,應(yīng)把握集合的代表元素。集合A是數(shù)集,集合B是點(diǎn)集,根本沒(méi)有相同的元素,因此,A∩B=?,選D。

提醒:集合是由元素構(gòu)成的,認(rèn)識(shí)集合要從認(rèn)識(shí)元素開(kāi)始,集合里的元素可以是數(shù)、物、有序?qū)崝?shù)對(duì)、幾何圖形等;關(guān)鍵要弄清集合的代表元素和代表元素的屬性。

跟蹤練習(xí)1 已知函數(shù)y=f(x),x∈[a,b],那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈[a,b]}∩{(x,y)|x=2}中元素的個(gè)數(shù)為( )。

A.1 B.0 C.0或1 D.1或2

易錯(cuò)點(diǎn):沒(méi)有弄清兩個(gè)集合的代表元素,蒙出答案D。

正解:{x|y=f(x)}、{y|y=f(x)}、{(x,y)|y=f(x)}分別表示函數(shù)y=f(x)的定義域、值域、函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合。本題中集合的含義是兩個(gè)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù),從函數(shù)值的唯一性可知,兩個(gè)集合的交集中至多有一個(gè)交點(diǎn),故選C。

聚焦2——忽視空集?的存在性

例2 已知集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-2a x+a+2≤0},并且B?A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解:由條件x2-5x+4≤0,可得A={x|1≤x≤4}。

設(shè)f(x)=x2-2a x+a+2≤0,則f(x)=0的兩根在區(qū)間[1,4]內(nèi)。由B?A得方

剖析:上述解法只注意到了B為非空集合,忽視了B=?的情況。當(dāng)B=?時(shí),仍滿足B?A。①當(dāng)B≠?時(shí),由錯(cuò)解可得2≤a≤。

②當(dāng)B=?時(shí),可得一元二次方程x2-2a x+a+2=0的Δ=4a2-4(a+2)2＜0,由此解得-1＜a＜2。

提醒:對(duì)于空集?,在解題時(shí)必須注意它的三個(gè)特性:①對(duì)任意集合A,皆有A∩?=?;② 對(duì)任意集合A,皆有A∪?=A;③ 空集是任何集合的子集,即??A,空集是任何非空集合的真子集 ,即?A。解題時(shí),若忽視空集?的存在性,就會(huì)造成解題結(jié)果的殘缺不全。

易錯(cuò)點(diǎn):A∩B=A或A∪B=A中,易忽略A=?的情形或集合的隱含條件,從而導(dǎo)致漏解。

正解:由A∩B=A,當(dāng)A≠?時(shí),有A?

當(dāng)A=?時(shí),有m+1≥2m-1,解得m≤2。

綜上,有m≤3。

聚焦3——忽視集合轉(zhuǎn)化的等價(jià)性

例3 已知集合A={x|a x2+2x+1=0}為一元集,求a的值。

錯(cuò)解:集合A為一元集,即方程a x2+2x+1=0有兩等根,由Δ=4-4a=0,得a=1。

剖析:上述解法誤認(rèn)為所給方程為一元二次方程,忽視了對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論。

當(dāng)a≠0時(shí),由Δ=4-4a=0,得a=1;當(dāng)a=0時(shí),可得也符合題意。所以a=1或a=0。

提醒:在進(jìn)行集合轉(zhuǎn)化時(shí),要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性,否則就會(huì)產(chǎn)生增解或漏解。

跟蹤練習(xí)3 (2 0 1 7年浙江溫州高三模擬)已知集合M={(x,y)|x2+y2≤1},若實(shí)數(shù)λ,μ滿足:對(duì)任意的(x,y)∈M,都有(λ x,μ y)∈M,則稱(chēng)(λ,μ)是集合M 的“和諧實(shí)數(shù)對(duì)”,則以下集合中,存在“和諧實(shí)數(shù)對(duì)”的是( )。

A.{(λ,μ)|λ+μ=4}

B.{(λ,μ)|λ2+μ2=4}

C.{(λ,μ)|λ2-4μ=4}

D.{(λ,μ)|λ2-μ2=4}

易錯(cuò)點(diǎn):缺少“和諧實(shí)數(shù)對(duì)”的等價(jià)轉(zhuǎn)化,實(shí)際上它可以轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域與直線、圓和雙曲線的交點(diǎn)。

正解:分析題意可知,所有滿足題意的有序?qū)崝?shù)對(duì)(λ,μ)所構(gòu)成的集合為{(λ,μ)|-1≤λ≤1,-1≤μ≤1},將其看作點(diǎn)的集合,為中心在原點(diǎn),(-1,1),(-1,-1),(1,-1),(1,1)為頂點(diǎn)的正方形及其內(nèi)部,A、B、D選項(xiàng)分別表示直線、圓、雙曲線與該正方形及其內(nèi)部無(wú)公共點(diǎn),選項(xiàng)C為拋物線,有公共點(diǎn)(0,-1),故選C。

聚焦4——求解否定型或正面較復(fù)雜的集合問(wèn)題缺少“補(bǔ)集”思想的應(yīng)用

錯(cuò)解:有些同學(xué)遇到本題往往不知所措,不知道從其反面逆向思維,導(dǎo)致無(wú)法解決。

剖析:從反面入手,利用元素和集合之間的關(guān)系進(jìn)行切入,3?P,則3∈?RP,?RP=3a+2≤a,所以a≤-1,即a的取值范圍是(-∞,-1]。

提醒:已知全集U,若直接求其子集A有困難,則可先考慮其補(bǔ)集?UA,再利用?U(?UA)=A而間接求出A。這種在正向思維受阻后改用逆向思維的思想,就是數(shù)學(xué)上的補(bǔ)集思想方法。從哲學(xué)意義上講,它是通過(guò)兩次否定實(shí)現(xiàn)一次肯定,體現(xiàn)了否定之否定規(guī)律。

跟蹤練習(xí)4 已知集合P={x|4≤x＜5,x∈R},Q={x|k+1≤x＜2k-1,x∈R},當(dāng)P∩Q≠Q(mào)時(shí),求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

易錯(cuò)點(diǎn):缺少“補(bǔ)集”思想的應(yīng)用,直接求解無(wú)從下手。

正解:從反面入手,當(dāng)P∩Q=Q,則Q?P。

當(dāng)Q=?時(shí),滿足Q?P,此時(shí)k+1≥2k-1,解得k≤2;

由上可知,當(dāng)P∩Q=Q時(shí),k≤2。

由補(bǔ)集思想可知,當(dāng)P∩Q≠Q(mào)時(shí),k＞2,即所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(2,+∞)。

聚焦5——忽視數(shù)軸和韋恩圖可以形象地求解集合問(wèn)題

例5 對(duì)某村家庭擁有洗衣機(jī)、電冰箱、電視機(jī)的情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)表如表1,那么該村中,擁有三種電器的家庭與全村家庭總數(shù)的比例應(yīng)為多少?

表1

錯(cuò)解:本題所給的為三個(gè)集合之間的關(guān)系,比較錯(cuò)綜復(fù)雜,難以下手。

剖析:利用韋恩圖(圖1)形象地表示出各數(shù)量間的關(guān)系,將文字語(yǔ)言翻譯成集合語(yǔ)言,用“容斥原理”求解。設(shè)全村家庭總數(shù)為1 0 0,A={洗衣機(jī)}=7 2,B={電冰箱}=6 4,C={電視機(jī)}=8 0,A∩B={洗衣機(jī)和電冰箱}=5 2,A∩C={洗衣機(jī)和電視機(jī)}=5 6,B∩C={電冰箱和電視機(jī)}=5 2______。

圖1

由表1可知,n(A∪B∪C)=2,由“容斥原理”和表1,有n(A∪B∪C)=9 8,且9 8=7 2+6 4+8 0-5 2-5 6—5 2+n(A∩B∩C),解得n(A∩B∩C)=4 2,故擁有三種電器的家庭與全村家庭總數(shù)的比例應(yīng)為4 2%。

提醒:韋恩圖可以形象地反映三個(gè)集合之間的關(guān)系,即 “容斥原理”,三個(gè)集合并集個(gè)數(shù)n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)。用此結(jié)論計(jì)數(shù)可避免重復(fù)和遺漏。數(shù)軸和韋恩圖可以形象地反映變量范圍和變量之間的關(guān)系,為數(shù)形結(jié)合法研究集合問(wèn)題提供了方法和依據(jù),同學(xué)們要自覺(jué)養(yǎng)成這種習(xí)慣。

跟蹤練習(xí)5 某高級(jí)中學(xué)高三特長(zhǎng)班有1 0 0名學(xué)生,其中學(xué)繪畫(huà)的學(xué)生6 7人,學(xué)音樂(lè)的學(xué)生4 5人,而學(xué)體育的學(xué)生既不能學(xué)繪畫(huà),又不能學(xué)音樂(lè),人數(shù)是2 1人,那么同時(shí)學(xué)繪畫(huà)和音樂(lè)的學(xué)生有多少人?

易錯(cuò)點(diǎn):所給的數(shù)量關(guān)系比較錯(cuò)綜復(fù)雜,一時(shí)理不清頭緒,不好找線索。

正解:利用韋恩圖(圖2)形象地表示出各數(shù)量間的關(guān)系,設(shè)學(xué)繪畫(huà)的學(xué)生有x人,學(xué)音樂(lè)的人有y人,既學(xué)繪畫(huà)又學(xué)音樂(lè)的人有

圖2

所以,同時(shí)學(xué)繪畫(huà)和音樂(lè)的有3 3人。

聚焦6——新定義集合計(jì)數(shù)中混淆分類(lèi)和分步

A.4 B.8 C.9 D.1 6

錯(cuò)解:由A∩B=1,3{},從元素2,4中不取,取1個(gè),取2個(gè),則共有1+2+1=4(個(gè)),選A。

剖析:錯(cuò)解按求子集個(gè)數(shù)分類(lèi)完成致錯(cuò),由理解“理想配集”的意義,應(yīng)從元素2和4所在集合的情形連續(xù)分步完成,元素1,3既屬于A,又屬于B,考慮元素2,有3種可能:(1)2∈A,2?B;(2)2?A,2∈B;(3)2?A,2?B。再考慮元素4,同樣有3種可能,2和4需連續(xù)完成才能構(gòu)成“理想配集”,所以符合條件的“理想配集”的個(gè)數(shù)為3×3=9,故選C。

提醒:求解集合元素個(gè)數(shù)題的關(guān)鍵是過(guò)好雙關(guān):第一關(guān),分類(lèi)討論關(guān),即對(duì)集合中的元素所具有的特點(diǎn),分類(lèi)進(jìn)行討論;第二關(guān),統(tǒng)計(jì)關(guān),即利用排列組合的公式,計(jì)算此集合中的元素的總的個(gè)數(shù)。在新定義的集合組成中要注意分類(lèi)和分步的區(qū)別,一種方法能完成這件事用分類(lèi)計(jì)數(shù),一種方法能完成這件事的某一步用分步計(jì)數(shù),分類(lèi)時(shí)應(yīng)把握分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn),分步時(shí)應(yīng)清楚分步過(guò)程,本題還可對(duì)元素逐一列舉完成求解,同學(xué)們不妨一試。

跟蹤練習(xí)6 (2 0 1 7年福建泉州段考)若集合A1,A2滿足A1∪A2=A,則稱(chēng)(A1,A2)為集合A的一種分拆,并規(guī)定:當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2時(shí),(A1,A2)與(A2,A1)是集合A的同一種分拆。若集合A有三個(gè)元素,則集合A的不同分拆種數(shù)是____。

易錯(cuò)點(diǎn):對(duì)新定義集合計(jì)數(shù)缺少特殊化和列舉法嘗試的意識(shí)。

正解:設(shè)A=1,2,3{ }。

①若A1=?時(shí),此時(shí)只有1種分拆。

②若A1是單元素集時(shí),A共有6種分拆:{1}與{2,3},{1}與{1,2,3},{2}與{1,3},{2}與{1,2,3},{3}與{1,2},{3}與{1,2,3}。

③若A1是雙元素集時(shí),A共有1 2種分拆:{1,2}與{3},{1,3},{2,3},{1,2,3};{1,3}與{2},{1,2},{2,3},{1,2,3};{2,3}與{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}。

④若A1=A={1,2,3}時(shí),A共有8種分拆:{1,2,3}與?,{1},{2},{3},{1,2}{1,3},{2,3},{1,2,3}。

綜上,共有1+6+1 2+8=2 7(種)。

聚焦7——對(duì)新定義集合的屬性探究不徹底

例7 設(shè)S為滿足下列條件的實(shí)數(shù)構(gòu)成的非空集合:①1?S;②若a∈S,則問(wèn):集合S中至少有多少個(gè)元素?試證明你的結(jié)論。

錯(cuò)解:假設(shè)0為集合S中的元素,并把它當(dāng)作條件做進(jìn)一步分析。若0∈S,則1∈S,從而可得這是不可能的,所以集合S中至少有一個(gè)元素0。

提醒:本題是結(jié)論開(kāi)放性問(wèn)題,題目的特點(diǎn)是結(jié)論不確定,集合A的特點(diǎn)是它的元素隨著實(shí)數(shù)a(a≠0,a≠1)的變化而變化。解題時(shí),要注意在假設(shè)存在的條件下進(jìn)行推理,若由此導(dǎo)出矛盾,則否定假設(shè),否則,給出肯定的結(jié)論。同時(shí),要對(duì)集合A中的元素的確定性和互異性加以歸納證明。

跟蹤練習(xí)7 (2 0 1 7年廣東揭陽(yáng)模擬)非空數(shù)集A如果滿足:①0?A;② 若?x∈A,有

∈A,則稱(chēng)A是“互倒集”。給出以下數(shù)集:

其中“互倒集”的個(gè)數(shù)是( )。

A.4 B.3 C.2 D.1

易錯(cuò)點(diǎn):對(duì)新定義集合的屬性應(yīng)用不徹底。

正解:對(duì)集合①,當(dāng)-2＜a＜2時(shí)為空集,所以集合①不是“互倒集”;

(責(zé)任編輯 王福華)