■安徽省合肥市第八中學(xué)高二(3 4)班 聶羽丞

淺談線性遞推數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題

■安徽省合肥市第八中學(xué)高二(3 4)班 聶羽丞

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,因其形式多樣,解法靈活,也是自主招生和數(shù)學(xué)競(jìng)賽考查的重點(diǎn)。本文討論了線性遞推數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題的一些常用解法,希望能給同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這部分知識(shí)的時(shí)候提供一些幫助。

一、齊次線性遞推數(shù)列求通項(xiàng)

定理1:若x1,x2為遞推關(guān)系an=p an-1+q an-2(n=2,3,…)的特征方程的兩根,則:

其中A,B可由初始條件確定。

定理2:k階常系數(shù)齊次線性遞推數(shù)列an+k=α1an+k-1+α2an+k-2+…+αn-1ak+1+αnak的特征方程為+αn-1x+αn,該方程的全部根為x1(k1重根),x2(k2重根),…,xm(km重根),其中k1+k2+…+km=n且ki∈N*,則

以上我們找到了常系數(shù)齊次線性遞推數(shù)列的一般解法,那么對(duì)于非齊次的情況又如何處理呢?

二、非齊次線性遞推數(shù)列求通項(xiàng)

1.含關(guān)于n的多項(xiàng)式型問(wèn)題

總結(jié):解決含關(guān)于n的多項(xiàng)式的遞推數(shù)列問(wèn)題時(shí),可將關(guān)于n的多項(xiàng)式合理拆分,從而得到等比數(shù)列。本方法對(duì)于解決該類(lèi)問(wèn)題具有一定的普遍性。拆分方式由待定系數(shù)法確定。

2.“齊次+常數(shù)”型問(wèn)題

總結(jié):寫(xiě)出相鄰的遞推式并做差,能得到常系數(shù)齊次線性遞推數(shù)列,利用特征根法易于求解,這是該類(lèi)問(wèn)題的常用解法。

3.含根式型問(wèn)題

這類(lèi)題目通常有多種不同情況。

例3 已知數(shù)列{an},a1=1且an+1=

總結(jié):遞推公式中存在根式時(shí)難以處理,將根式換作某一新數(shù)列是一種常用方法;出現(xiàn)根式時(shí)的第二種常用方法就是直接平方,這種情況下能夠轉(zhuǎn)化為“齊次+常數(shù)”型問(wèn)題,易于求解;解決這一類(lèi)問(wèn)題時(shí),換元法與直接平方法各有所長(zhǎng),有時(shí)換元法一目了然,有時(shí)直接平方更為巧妙,但具體問(wèn)題需具體對(duì)待。

4.一些特殊方法

總結(jié):這一類(lèi)問(wèn)題沒(méi)有通用解法,需要我們注意遞推式的特點(diǎn),同時(shí)還要活學(xué)活用其他數(shù)學(xué)知識(shí)。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)

編后語(yǔ):在學(xué)習(xí)的過(guò)程中,你一定會(huì)遇到許多問(wèn)題,也需要解決這些問(wèn)題,而在解決問(wèn)題的過(guò)程中,如果能深入一些、細(xì)致一些,就會(huì)有新的發(fā)現(xiàn),把你的發(fā)現(xiàn)寫(xiě)出來(lái)就是一篇論文。希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中要善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié),同時(shí)也希望同學(xué)們把論文寄給我們。電子信箱:xuexifaxian@126.com。