■山東省德州市第一中學高三(5)班 楊景瑞

一道高考題引發(fā)的思考

■山東省德州市第一中學高三(5)班 楊景瑞

導數問題在高考中?？汲Ｐ?而如何構造函數解決導數問題是我們學習的難點,下面以一道高考題為例尋找解決這類問題的方法。

高考題 (2 0 1 5年新課標Ⅱ卷)設函數f'(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數,f(-1)=0,當x＞0時,x f'(x)-f(x)＜0,則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是( )。

A.(-∞,-1)∪(0,1)

B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0)

D.(0,1)∪(1,+∞)

通過總結,我發(fā)現利用導數的運算法則構造函數問題可歸結為三種類型。

一、f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型

例1 設函數f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,當x＜0時,f'(x)·g(x)+f(x)g'(x)＞0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)＜0的解集為____。

解析:當x＜0時,f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)＞0,即[f(x)g(x)]'＞0,所以函數h(x)=f(x)g(x)在(-∞,0)上單調遞增。又h(x)為奇函數,且h(-3)=0,h(3)=0,h(0)=0,可以畫一個符合題意的函數h(x)的圖像,由圖像得到不等式f(x)g(x)＜0的解集為(-∞,-3)∪(0,3)。

二、x f'(x)±n f(x)型

例2 設函數f(x)在R上的導函數為f'(x),且x f'(x)+2f(x)＞x2,下面的不等式在R內恒成立的是( )。

A.f(x)＞0 B.f(x)＜0

C.f(x)＞x D.f(x)＜x

解析:構造函數g(x)=x2f(x),則其導數為g'(x)=2x f(x)+x2f'(x)。

(1)當x＞0時,由x f'(x)+2f(x)＞x2,得g'(x)=2x f(x)+x2f'(x)＞x3＞0,即g(x)在區(qū)間(0,+∞)上遞增,故g(x)=x2f(x)＞g(0)=0?f(x)＞0。

(2)當x＜0時,由x f'(x)+2f(x)＞x2,得g'(x)=2x f(x)+x2f'(x)＜x3＜0,即g(x)在區(qū)間(-∞,0)上遞減,故g(x)=x2f(x)＞g(0)=0?f(x)＞0。

(3)當x=0時,由x f'(x)+2f(x)＞x2,得f(0)＞0。

綜上,對任意x∈R,都有f(x)＞0。

三、λ f(x)±f'(x)(λ＞0)型

例3 已知定義在R上的函數f(x),滿足3f(x)＞f'(x)恒成立,且f(1)=e3,則下列結論正確的是( )。

A.f(0)=1 B.f(0)＜1

C.f(2)＜e6D.f(2)＞e6

小結:根據導數的運算法則構造函數問題,第一步,觀察兩式中間的符號,若是“+”,則構造積的形式,若是“-”,則構造商的形式;第二步,通過對比思考所出題目是哪一種類型,進行構造;第三步,根據構造的新函數的性質,解決問題。只要能熟練掌握以上解題思想并不斷練習相關解題技藝,相信我們再遇到這類問題時一定能順利解決。

(責任編輯 劉鐘華)