■天津市南開(kāi)中學(xué)高二(1 3)班 李稀琰

聚焦常見(jiàn)的函數(shù)模型及應(yīng)用

■天津市南開(kāi)中學(xué)高二(1 3)班 李稀琰

解決函數(shù)模型的關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化,即在理解的基礎(chǔ)上,通過(guò)列表、畫(huà)圖,引入變量,建立直角坐標(biāo)系等手段把實(shí)際問(wèn)題翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題,把文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言。二是對(duì)得到的函數(shù)模型進(jìn)行解答,得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解,要注重?cái)?shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。

一、構(gòu)建二次函數(shù)模型

例1 某商場(chǎng)出售某種商品,每天可賣(mài)1000件,每件獲利4元。據(jù)經(jīng)驗(yàn),若每件少賣(mài)1角錢(qián),則每天可多賣(mài)1 0 0件,問(wèn):每件應(yīng)減價(jià)多少元,才能獲得最大利潤(rùn)?

解析:設(shè)每件少賣(mài)x角錢(qián),每天利潤(rùn)為y元,依題意得y=(10 0 0+1 0 0x)(4-0.1x)=-1 0x2+3 0 0x+40 0 0=-1 0(x-1 5)2+62 5 0,當(dāng)x=1 5時(shí),y有最大值。

二、構(gòu)建分段函數(shù)模型

例2 通過(guò)研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為,專(zhuān)家發(fā)現(xiàn),學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化,講課開(kāi)始時(shí),學(xué)生的興趣激增;中間一段時(shí)間,學(xué)生保持較理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散。設(shè)f(t)表示學(xué)生注意力隨時(shí)間t(分鐘)的變化規(guī)律,f(t)越大,表明學(xué)生注意力越集中,經(jīng)實(shí)驗(yàn)分析得知:

(1)問(wèn):講課開(kāi)始多少分鐘,學(xué)生的注意力最集中?能持續(xù)多少分鐘?

(2)講課開(kāi)始后5分鐘與講課開(kāi)始后2 5分鐘比較,何時(shí)學(xué)生的注意力更集中?

(3)一道數(shù)學(xué)難題,需要講解2 4分鐘,并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到1 8 0,那么經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排,老師能否在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講完這道題目?

解析:(1)當(dāng)0＜t≤1 0時(shí),f(t)=-t2+2 4t+1 0 0是增函數(shù),當(dāng)1 0＜t≤2 0時(shí),f(t)=-t2+2 4t+1 0 0是減函數(shù)且f(1 0)=f(2 4)=2 4 0,所以講課開(kāi)始1 0分鐘,學(xué)生的注意力最集中,能持續(xù)1 0分鐘。

(2)求函數(shù)值比較,f(5)=1 9 5,f(2 5)=2 0 5,講課開(kāi)始后2 5分鐘比講課開(kāi)始后5分鐘學(xué)生的注意力更集中。

(3)當(dāng)0＜t≤1 0時(shí),f(t)=-t2+2 4t+1 0 0=1 8 0,得t=4。當(dāng)2 0＜t≤4 0時(shí),f(t)=-7t+3 8 0=1 8 0,得t=2 8.5 7,則學(xué)生注意力在1 8 0以上所持續(xù)的時(shí)間為2 8.5 7-4=2 4.5 7＞2 4,所以,經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)陌才?老師可以在學(xué)生達(dá)到所需要的狀態(tài)下講授完這道題。

三、構(gòu)建指數(shù)函數(shù)模型

例3 某林場(chǎng)現(xiàn)有木材3萬(wàn)立方米,如果每年平均增長(zhǎng)5%,問(wèn):大約經(jīng)過(guò)多少年該林場(chǎng)的木材量可增加到4萬(wàn)立方米?

解析:經(jīng)過(guò)x年,木材量y=3(1+5%)x,由題意得3(1+5%)x=4,即1.0 5x=,兩邊同取常用對(duì)數(shù)得

四、構(gòu)建無(wú)理函數(shù)模型

例4 某自來(lái)水廠的蓄水池中有4 0 0噸水,水廠每小時(shí)可向蓄水池注水6 0噸,同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)供水,t小時(shí)內(nèi)供水為1 2 0 6t噸(0≤t≤2 4)。

(1)多少小時(shí)后蓄水池中的水量最少?

(2)若蓄水池中水量少于8 0噸時(shí),就會(huì)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象,請(qǐng)問(wèn):每天有幾小時(shí)出現(xiàn)這種現(xiàn)象?

解析:(1)設(shè)t小時(shí)后蓄水池水量為y噸,則y=4 0 0+6 0t-1 2 0 6t(0≤t≤2 4)。令x=6t,0≤x≤1 2,則y=4 0 0+1 0x2-1 2 0x=1 0(x-6)2+4 0,當(dāng)x=6,即t=6時(shí),y有最小值4 0噸,所以供水6小時(shí),水池中的水最少為4 0噸。

(2)由4 0 0+1 0x2-1 2 0x＜8 0,解得0＜x＜4,即0＜＜4,解得故每天有8小時(shí)供水緊張。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)