■鄭州一中 王黎麗

2018年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的熱門考點(diǎn)

■鄭州一中 王黎麗

通過(guò)對(duì)近幾年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷中函數(shù)部分試題的統(tǒng)計(jì)我們可以看出:在客觀題中基本上每年都有試題單獨(dú)考查函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì),以及基本初等函數(shù)的性質(zhì),有時(shí)也有單獨(dú)考查函數(shù)與方程以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的試題;解答題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義,還有導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,主要涉及函數(shù)的零點(diǎn)、不等式等相關(guān)知識(shí)。

【2017年考試大綱】

1.指數(shù)函數(shù)。

(1)了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景。

(2)理解有理指數(shù)冪的含義,了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運(yùn)算。

(3)理解指數(shù)函數(shù)的概念,理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過(guò)的特殊點(diǎn)。

(4)知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。

2.對(duì)數(shù)函數(shù)。

(1)理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),利用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù);了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用。

(2)理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念,理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖像通過(guò)的特殊點(diǎn)。

(3)知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。

(4)了解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。

3.冪函數(shù)。

(1)了解冪函數(shù)的概念。

一、基本初等函數(shù)的考查

(2)結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=的圖像,了解它們的變化情況。

【高考命題回顧】

縱觀近幾年各地高考試題,對(duì)基本初等函數(shù)的考查,大部分是以基本初等函數(shù)的性質(zhì)為依托,結(jié)合運(yùn)算推理解決問(wèn)題,高考中一般以選擇題或填空題的形式考查,屬基本初等函數(shù)的試題,一般考查指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的基本運(yùn)算性質(zhì)。

例1 (2 0 1 7年全國(guó)卷Ⅰ理1 1)設(shè)x、y、z為正數(shù),且2x=3y=5z,則( )。

A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z

【名師點(diǎn)睛】對(duì)于連等問(wèn)題,常規(guī)的方法是令該連等為同一個(gè)常數(shù),再用這個(gè)常數(shù)表示出對(duì)應(yīng)的x,y,z,通過(guò)作差或作商進(jìn)行比較大小。對(duì)數(shù)運(yùn)算要記住常見(jiàn)的運(yùn)算法則,尤其是換底公式以及0與1的對(duì)數(shù)表示。

例2 (2 0 1 6年全國(guó)卷Ⅰ理8)若a＞b＞1,0＜c＜1,則( )。

A.ac＜bcB.a bc＜b ac

C.al o gbc＜bl o gac D.l o gac＜l o gbc

【2 0 1 8年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】

由近幾年的高考命題形式知,新課標(biāo)對(duì)冪函數(shù)的要求較低,只要求掌握冪函數(shù)的概念、圖像與簡(jiǎn)單性質(zhì),僅限于幾個(gè)特殊的冪函數(shù),關(guān)于冪函數(shù)常以5種冪函數(shù)為載體,考查冪函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì),多以小題形式出現(xiàn),屬容易題。指數(shù)函數(shù)在歷年的高考題中占據(jù)著重要的地位。對(duì)指數(shù)函數(shù)的考查,大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托,結(jié)合運(yùn)算推理,能運(yùn)用它們的性質(zhì)解決具體問(wèn)題。為此,我們要熟練掌握指數(shù)運(yùn)算法則,明確算理,能對(duì)常見(jiàn)的指數(shù)型函數(shù)進(jìn)行變形處理。高考題目形式多以指數(shù)函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)來(lái)考查函數(shù)的性質(zhì)。同時(shí)它們與其他知識(shí)點(diǎn)交匯命題,則難度會(huì)加大。對(duì)數(shù)函數(shù)在歷年的高考題中占據(jù)著重要的地位?；境醯群瘮?shù)是考查函數(shù)、方程、不等式很好的載體,預(yù)測(cè)2 0 1 8年高考繼續(xù)會(huì)對(duì)基本初等函數(shù)圖像和性質(zhì)考查。尤其要注意以基本初等函數(shù)特別是指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)的考查,這種題型只給出定義域內(nèi)滿足某些運(yùn)算性質(zhì)的法則,往往集定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性于一身,全面考查同學(xué)們對(duì)函數(shù)概念和性質(zhì)的理解。高考對(duì)基本初等函數(shù)的考查有三種主要形式:一是比較大小;二是基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì);三是基本初等函數(shù)的綜合應(yīng)用,其中經(jīng)常以分段函數(shù)為載體考查函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)的聯(lián)系。

二、對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查

2 0 1 7年與2 0 1 6年考綱相比沒(méi)什么變化,而且這部分內(nèi)容作為高考的必考內(nèi)容,在2 0 1 8年的高考中預(yù)計(jì)仍會(huì)以“一小一大”的格局呈現(xiàn)。“一小”即以選擇題或填空題的形式考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問(wèn)題中的直接應(yīng)用,或以定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用為主,難度中等;“一大”即以壓軸題的形式呈現(xiàn),仍會(huì)以導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為主,主要考查導(dǎo)數(shù)、含參不等式、方程、零點(diǎn)個(gè)數(shù)、探索性等方面的綜合應(yīng)用,難度較大。

例3 (2 0 1 5年全國(guó)卷Ⅰ理1 2)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-a x+a,其中a＜1,若存在唯一的整數(shù)x0,使得f(x0)＜0,則a的取值范圍是( )。

試題分析:設(shè)g(x)=ex(2x-1),y=a x-a,由題意知存在唯一的整數(shù)x0,使得g(x0)在直線y=a x-a的下方。因?yàn)間'(x)=ex(2x+1),所以當(dāng)x＜-時(shí),＜0,當(dāng)x＞-時(shí),g'(x)＞0。所以當(dāng)x=-時(shí),g(x)max=-,當(dāng)x=0時(shí),g(0)=-1,g(1)=3 e＞0,直線y=a x-a恒過(guò)(1,0),斜率為a,故-a＞g(0)=-1,且g(-1)=-3 e-1≥-a-a,解得≤ a＜1,

故選D。

例4 (2 0 1 7年全國(guó)卷Ⅰ理2 1)已知函數(shù)f x()=ae2x+a-2( )ex-x。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍。

試題分析:(1)由于f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,所以f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2 ex+1)。

①當(dāng)a≤0時(shí),aex-1＜0,2 ex+1＞0,從而f'(x)＜0恒成立,所以f(x)在R上單調(diào)遞減。

②當(dāng)a＞0時(shí),令f'(x)=0,從而aex-1=0,得x=-l na。當(dāng)x變化時(shí),f'(x)與f(x)的變化情況如表1:

表1

綜上所述,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a＞0時(shí),f(x)在(-∞,-l na)上單調(diào)遞減,在(-l na,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)由(1)知,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞減,故f(x)在R上至多一個(gè)零點(diǎn),不滿足條件。

由上述可知,若a＞1,則f(x)min=1-+l na=g(a)＞0,故f(x)＞0恒成立,從而f(x)無(wú)零點(diǎn)不滿足條件。

綜上,a的取值范圍為(0,1)。

評(píng)注:對(duì)于已知零點(diǎn)個(gè)數(shù),求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的難點(diǎn)在于驗(yàn)證零點(diǎn)存在性的賦值上,對(duì)于一般的賦值方法要把握兩點(diǎn):①限定要尋找x0的范圍,如本題中分別在(-∞,-l na)及(-l na,+∞)上各尋找一個(gè)零點(diǎn);②將函數(shù)不等式變形放縮,根據(jù)x0的范圍得出x0。在本題中,實(shí)際上是在區(qū)間(-∞,-l na)上找到x0,使得f(x0)＞0,則說(shuō)明f(x)在區(qū)間(-∞,-l na)上存在零點(diǎn),在區(qū)間(-l na,+∞)上找到x0',使得f(x0')＞0,則證明f(x)在區(qū)間(-l na,+∞)上存在另一個(gè)零點(diǎn)。

例5 (2 0 1 6年新課標(biāo)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn)。

(Ⅰ)求a的取值范圍;

(Ⅱ)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2＜2。

試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來(lái)確定(主要是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)來(lái)分類);(Ⅱ)借助(Ⅰ)的結(jié)論來(lái)證明。

試題解析:(Ⅰ)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)。

(1)設(shè)a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上,a的取值范圍為(0,+∞)。

(Ⅱ)不妨設(shè)x1＜x2,由(Ⅰ)知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,所以x1+x2＜2等價(jià)于f(x1)＞f(2-x2),即f(2-x2)＜0。由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2。

設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,所以g'(x)=(x-1)(e2-x-ex)。

所以當(dāng)x＞1時(shí),g'(x)＜0,而g(1)=0,故當(dāng)x＞1時(shí),g(x)＜0。從而g(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2。

函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用及以導(dǎo)數(shù)知識(shí)為背景的函數(shù)問(wèn)題是高考命題熱點(diǎn),函數(shù)性質(zhì)的重點(diǎn)是奇偶性、單調(diào)性及圖像的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)重點(diǎn)考查其在研究函數(shù)中的應(yīng)用,注重分類討論及化歸思想的應(yīng)用。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)