■貴州省桐梓縣第二高級(jí)中學(xué) 侯光喜

“分類(lèi)假設(shè)法”解決相對(duì)問(wèn)題

■貴州省桐梓縣第二高級(jí)中學(xué) 侯光喜

綜觀(guān)近幾年的高考全國(guó)理綜卷我們可以發(fā)現(xiàn),2013年、2015年、2017年均有滑塊—滑板模型的能力考查題出現(xiàn)。在此類(lèi)問(wèn)題中,二者的速度相同一定是個(gè)臨界點(diǎn),且速度相同后兩物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)只有三種可能,即滑塊相對(duì)滑板向左滑,滑塊相對(duì)滑板向右滑,或二者相對(duì)靜止。求解這類(lèi)問(wèn)題,我們可以采用“分類(lèi)假設(shè)法”進(jìn)行分析討論。

第一類(lèi):滑塊以一定的初速度滑上靜止的滑板

如圖1所示,質(zhì)量為m的滑塊以初速度v滑上質(zhì)量為M的靜止長(zhǎng)木板,滑塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1,長(zhǎng)木板與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2,長(zhǎng)木板足夠長(zhǎng)。

圖1

分析:開(kāi)始時(shí)滑塊受到長(zhǎng)木板對(duì)它的摩擦力f=μ1mg,長(zhǎng)木板受到地面對(duì)它的摩擦力為f',且最大靜摩擦力f'max=μ2g(M+m)。若f＜f'max,則長(zhǎng)木板靜止不動(dòng),滑塊做減速運(yùn)動(dòng),直至停止;若f＞f'max,則滑塊做減速,長(zhǎng)木板做初速度為零的加速運(yùn)動(dòng),此后一定有二者速度相同時(shí),當(dāng)二者速度相同后兩物體的運(yùn)動(dòng)只有三種情況。運(yùn)用“分類(lèi)假設(shè)法”逐一討論如下:(1)假設(shè)滑塊相對(duì)長(zhǎng)木板向右滑,根據(jù)受力分析可以得出滑塊的速度小于長(zhǎng)木板的速度,即滑塊相對(duì)長(zhǎng)木板向左滑的結(jié)論,則假設(shè)不成立;(2)假設(shè)滑塊相對(duì)長(zhǎng)木板向左滑,根據(jù)受力分析可以得出滑塊的速度大于長(zhǎng)木板的速度,即滑塊相對(duì)長(zhǎng)木板向右滑的結(jié)論,則假設(shè)不成立;(3)根據(jù)以上分析可知,當(dāng)二者速度相同后,滑塊只能相對(duì)長(zhǎng)木板靜止,二者一起做減速運(yùn)動(dòng)直到停止。

例1一質(zhì)量m=2kg的物塊以水平初速度v0=9m/s滑上置于水平桌面上的長(zhǎng)木板。長(zhǎng)木板的質(zhì)量M=1kg,長(zhǎng)度l=8m,物塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.4,長(zhǎng)木板與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.1,取重力加速度g=10m/s2。在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,物塊與長(zhǎng)木板間產(chǎn)生的摩擦熱為多少?

解:分別對(duì)物塊與長(zhǎng)木板進(jìn)行受力分析,如圖2所示。

圖2

開(kāi)始時(shí),物塊以加速度大小am=μ1g=4m/s2做減速運(yùn)動(dòng),長(zhǎng)木板以加速度大小做加速運(yùn)動(dòng)。假設(shè)二者達(dá)到相同速度v,所需時(shí)間為t,則v=v0-amt=aMt,解得t=1s,v=5m/s。在這一過(guò)程中,物塊相對(duì)長(zhǎng)木板的位移說(shuō)明物塊在二者速度相同前沒(méi)有從長(zhǎng)木板上掉下來(lái),此后二者將相對(duì)靜止一起減速運(yùn)動(dòng)直到停止。因此在整個(gè)過(guò)程中,物塊與長(zhǎng)木板間產(chǎn)生的摩擦熱Q=μ1mgd=36J。

第二類(lèi):在運(yùn)動(dòng)的滑板上無(wú)初速度地釋放滑塊

如圖3所示,一質(zhì)量為M的長(zhǎng)木板向右運(yùn)動(dòng),當(dāng)其速度為v時(shí),無(wú)初速度地釋放一質(zhì)量為m的滑塊到長(zhǎng)木板右端,滑塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1,長(zhǎng)木板與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2,長(zhǎng)木板足夠長(zhǎng)。

圖3

分析:當(dāng)滑塊放到長(zhǎng)木板上后,滑塊做初速度為0,加速度大小a1=μ1g的加速運(yùn)動(dòng),長(zhǎng)木板做加速度大小減速運(yùn)動(dòng)直到二者速度相同。當(dāng)二者速度相同后,兩物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)仍然只有三種可能,同樣運(yùn)用“分類(lèi)假設(shè)法”逐一討論如下:(1)假設(shè)滑塊相對(duì)長(zhǎng)木板向左滑,根據(jù)受力分析可以得出滑塊的速度大于長(zhǎng)木板的速度,即滑塊相對(duì)長(zhǎng)木板向右滑的結(jié)論,則假設(shè)不成立;(2)假設(shè)滑塊相對(duì)長(zhǎng)木板向右滑,則長(zhǎng)木板的受力可能為μ2(m+M)g＜μ1mg,μ2(m+M)g＞μ1mg,μ2(m+M)g=μ1mg,其中僅當(dāng)μ1＜μ2時(shí),滑塊相對(duì)長(zhǎng)木板向右滑的假設(shè)成立;(3)根據(jù)以上分析可知,當(dāng)二者速度相同后,若μ1≥μ2,則滑塊相對(duì)長(zhǎng)木板靜止一起做減速運(yùn)動(dòng)直到停止。

例2(2017年高考全國(guó)理綜Ⅲ卷)如圖4所示,兩個(gè)滑塊A和B的質(zhì)量分別為mA=1kg和mB=5kg,放在靜止于水平地面上的木板的兩端,兩者與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ1=0.5。木板的質(zhì)量m=4kg,與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.1。某時(shí)刻A、B兩滑塊開(kāi)始相向運(yùn)動(dòng),初速度大小均為v0=3m/s。兩滑塊相遇時(shí),滑塊A與木板恰好相對(duì)靜止。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,取g=10m/s2。求:

圖4

(1)滑塊B與木板相對(duì)靜止時(shí),木板的速度。

(2)A、B兩滑塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí),兩者之間的距離。

解:(1)分別對(duì)A、B兩滑塊和木板進(jìn)行受力分析,如圖5所示。

圖5

滑塊A以初速度大小v0=3m/s、加速度大小aA=5m/s2向右做減速運(yùn)動(dòng),滑塊B以初速度大小v0=3m/s、加速度大小aB=5m/s2向左做減速運(yùn)動(dòng),木板以加速度大小am=2.5m/s2向右從靜止開(kāi)始做加速運(yùn)動(dòng)。設(shè)從兩滑塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到滑塊B與木板相對(duì)靜止所需的時(shí)間為t,滑塊B與木板相對(duì)靜止時(shí)的速度為v,則v=v0-aAt=amt,解得t=0.4s,v=1m/s。

(2)當(dāng)滑塊B與木板的速度相同后,滑塊B與木板的相對(duì)運(yùn)動(dòng)分為三種情況。

a.假設(shè)滑塊B相對(duì)木板向右滑,受力分析如圖5所示。滑塊B向右做減速運(yùn)動(dòng),木板向右做加速運(yùn)動(dòng),與假設(shè)矛盾,故假設(shè)不成立。

b.假設(shè)滑塊B相對(duì)木板向左滑,受力分析如圖6所示。滑塊B向右做加速運(yùn)動(dòng),木板向右做減速運(yùn)動(dòng),與假設(shè)矛盾,故假設(shè)不成立。

圖6

c.因?yàn)樯鲜鰞煞N情況不成立,所以滑塊B只能相對(duì)木板靜止。受力分析如圖7所示。

圖7

滑塊A向右做減速運(yùn)動(dòng)直到速度為0后反向做加速運(yùn)動(dòng),滑塊B與木板一起向右做減速運(yùn)動(dòng)。設(shè)從滑塊B與木板的速度相同到滑塊A的速度減小為0所需時(shí)間為t',從滑塊B與木板的速度相同到滑塊A與木板恰好相對(duì)靜止所需時(shí)間為t″,此時(shí)滑塊A的速度為v',則0.2s,v'=v-at″=-1+aAt″,解得v'=0.5m/s,t″=0.3s。作出滑塊A與滑塊B的v-t圖像如圖8所示。因此兩滑塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí),兩者之間的距離

圖8

(責(zé)任編輯 張 巧)