■浙江省龍灣中學 潘照萍

備考與圓周運動相關的多過程問題
——一浙江省高考物理試題為例

■浙江省龍灣中學 潘照萍

與圓周運動相關的多過程問題是近年來高考的熱門考點之一,比如2016年高考全國Ⅰ卷理綜第25題,2016年4月和10月浙江省新高考物理試題第20題都考查了與圓周運動相關的多過程問題。下面就以2016年浙江省新高考物理試題為例,談談與圓周運動相關的多過程問題的復習備考。

例題如圖1所示,AB段是半徑R=2L的四分之一圓形軌道,CDO段是半徑r=L的半圓形軌道,半圓形軌道的最高點O處固定一個豎直擋板,小球碰到擋板后原速反向彈回,D為半圓形軌道的中點。兩個軌道均光滑,如圖連接固定。現(xiàn)將一個質(zhì)量為m的小球從A點由靜止釋放,小球在豎直面內(nèi)的軌道上運動。小球能不能到達半圓形軌道的最高點O位置?

圖1

解析:將小球從A點由靜止釋放,A與O點等高,如果不考慮小球脫離半圓形軌道,那么小球到達O點時的速度應恰好為零,但是小球恰好到達半圓形軌道最高點O的臨界速度因此小球到達不了O點,而將會在半圓形軌道的DO段某處脫軌。

點撥:有的同學會誤認為軌道光滑,A與O點等高,直接根據(jù)能量守恒定律判斷小球到達O點時的速度恰好為零。這些同學錯在沒有考慮到小球在豎直面內(nèi)圓形軌道上過最高點的臨界條件。

變式1:如圖2所示,將小球從A點的正上方距水平線OA高H處由靜止釋放,小球沿圓弧切線進入AB軌道,在豎直面內(nèi)的軌道上運動,AB軌道粗糙,CDO軌道光滑。

問題1:當H=L時,小球恰好能夠到達O點位置,求小球克服摩擦力做的功。

解析:選小球從初位置運動到O點為研究過程,由動能定理得

圖2

點撥:求解小球克服摩擦力做的功,需要從功能關系的角度入手。

問題2:小球碰到擋板原速反向彈回后,能不能滑出A點?

解析:如果小球從A點滑到B點與小球反彈后從B點滑到A點的過程中克服摩擦力做功一樣,那么小球剛好到達A點時的速度為零。小球在O點時的動能剛好等于小球在從A點滑到B點的過程中克服摩擦力做的功,即但是小球從A點滑到B點與小球反彈后從B點滑到A點的過程中克服摩擦力做功是不一樣的。因為小球在軌道AB段上做圓周運動,需要向心力,根據(jù)能量守恒定律可知,小球反彈后從B點滑到A點比小球從A點滑到B點的過程中相同位置時的速度要小,所需的向心力就小,對應的摩擦力也小,摩擦力做功也少。因此小球滑到A點時的速度將大于零,即小球能夠滑出A點。

點撥:小球在粗糙的AB軌道上運動時,受到的摩擦力大小與速度有關,這是一個難點。解這道題對我們深刻理解物體做圓周運動所需的向心力及物體克服摩擦力做的功很有幫助。

變式2:如圖3所示,水平軌道BC與四分之一圓形軌道AB、半圓形軌道CDO平滑相連。已知H=1.4m,L=1m,m=1kg,小球與軌道BC間的動摩擦因數(shù)μ=0.4,小球與其他軌道間的摩擦忽略不計,取g=10m/s2。

圖3

問題1:小球第一次沖上軌道CDO,會不會脫軌?

解析:判斷小球會不會脫離軌道CDO,需要看兩個位置,即最高點O和半圓弧中間位置D點。如果小球能夠到達O點或到不了D點,那么小球是不會脫軌的。如果小球能過D點,但是過不了O點,那么小球?qū)⒃贒O段某處脫軌。選小球從初位置運動到O點為研究過程,由動能定理得mgH-μmg·所以小球第一次沖上軌道CDO,不會脫軌。

問題2:小球全程會不會脫離軌道CDO?

解析:小球第一次到達O點,與豎直擋板碰后將原速反向彈回,計算出小球到達C點時的速度,就能夠判斷出小球會不會脫離軌道CDO。當小球恰好到達O點時,由解得當小球恰好到達D點(vD=0)時,由選小球從初位置運動到C點為研究過程,小球第二次沖上軌道CDO,要3次經(jīng)過軌道BC,由mg(H+2L)-3μmg·2L=解得因此小球第二次沖上軌道CDO,到達D點時的速度為零,此后小球?qū)⒀剀壍阑虏⒆罱K停在軌道BC上。小球全程將不會脫離軌道CDO。

點撥:在求解多過程問題時,如果我們不能一眼看出物體做往返運動的次數(shù),那么可以一次一次地試探,直至找到其運動規(guī)律。

問題3:求小球在停止運動前,在水平軌道BC上經(jīng)過的總路程。

解析:選小球從初位置到最終停止位置為研究過程,由mg(H+2L)-μmgs=0,解得s=8.5m。

問題4:小球最終靜止時,到B點的距離是多少?

解析:因為小球在軌道BC上經(jīng)過的總路程為8.5m,所以小球最終停在距離B點0.5m的位置。

圖4

變式3:如圖4所示,將軌道CDO換成半徑的螺旋圓形軌道CO,將小球與軌道BC間的動摩擦因數(shù)改為μ=0.8,小球與其他軌道間的摩擦忽略不計。

問題:若H=2L,且小球在軌道CO上運動時受到軌道的支持力不得超過其重力的9倍,試判斷小球能否安全地通過軌道CO。

解析:判斷小球能否安全地通過軌道CO,需要看兩個位置,即軌道最高點O和最低點C。小球在軌道最低點C受到的支持力最大,最有可能超過其重力的9倍。選小球從初位置運動到C點為研究過程,由mg·所以小球能夠過O點。由,解得N=10.6mg＞9mg,所以小球不能安全地通過軌道CO。

點撥:螺旋圓形軌道來自過山車模型,最低點C是錯開的,只是沒有畫出來C'點。

變式4:在如圖4所示軌道的基礎上,依次與水平軌道CD、平滑軌道DE、半徑的螺旋圓形軌道EF、平滑軌道EG平滑相連,如圖5所示。軌道CD的長度為L,小球與軌道BC、CD間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.8,不計小球與其他軌道間的摩擦,且軌道EF的最高點F與D、G兩點等高。

圖5

問題:若H=2L,求小球過F點時對軌道的壓力。

解析:因為圓形軌道EF的最高點F與D、G兩點等高,所以vD=vF。選小球從初位置運動到D點為研究過程,由動能定理得解得,解得N=5.4mg。根據(jù)牛頓第三定律可知,小球在F點對軌道的壓力為5.4mg,方向豎直向上。

變式5:在如圖5所示軌道的基礎上,再平滑地連上一段粗糙的斜面軌道GK,光滑的水平軌道KJ與軌道GK平滑連接,J端固定一根輕彈簧,如圖6所示。斜面軌道的水平距離為與小球間的動摩擦因數(shù)也為0.8。不計小球在銜接點的能量損耗。

圖6

問題1:若H=2L,小球能順利滑上軌道GK,并平滑地滑上軌道KJ,求彈簧的最大彈性勢能。

解析:因為D、F、G三點等高,所以vD=vF=vG。取小球從初位置運動到K點為研究過程,由動能定理得μmg·4.2L=Ek,解得Ek=0.14mg。小球在壓縮彈簧時,彈簧的最大彈性勢能等于小球在K點時的動能,即Ep=Ek=0.14mg。

點撥:引入一根輕彈簧,考查彈性勢能等知識的題目在各地各類試題中經(jīng)常出現(xiàn)。例如2016年高考全國Ⅰ卷理綜第25題,2016年4月浙江省新高考物理試題第20題等。

問題2:小球經(jīng)彈簧反彈后,平滑地通過K點,沿斜面軌道KG下滑,小球最終會不會停在斜面軌道KG上?若會,試求小球最終停在距離平面KJ多高的位置處。

解析:選小球從K點下滑到停在斜面上的位置為研究過程,設小球最終停在距離平面KJ的高度為h的位置處,由動能定理得

點撥:在與圓周運動相關的多過程問題中引入斜面模型,這在2016年浙江省新高考物理試題中連續(xù)兩次都考到。其他省份的同學們也應該留意此類問題。

學習建議:與圓周運動相關的多過程問題,其實就是幾個運動過程的拼接。同學們只要把直線運動、圓周運動和平拋運動等分別理清楚,就不會懼怕這類題目。同學們可以有針對性地整理一下往返運動、螺旋圓形軌道和斜面模型遵循的運動規(guī)律。對于豎直圓形軌道,一般會考查最高點和最低點的受力情況。另外,物體在豎直圓形軌道上的脫軌問題是難點,小球如果脫離軌道,肯定是在四分之一圓弧位置到最高點這段圓弧脫軌,我們可以把這段圓弧叫危險地帶,把其余四分之三圓弧叫安全地帶,如圖7所示。

圖7

(責任編輯 張 巧)