張啟新

(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510631)

中國(guó)剩余定理和拉格朗日插值公式的關(guān)系探究

張啟新

(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510631)

本文將中國(guó)剩余定理推廣到多項(xiàng)式環(huán)上, 并用其推導(dǎo)出了拉格朗日插值公式, 以此說(shuō)明拉格朗日插值公式是中國(guó)剩余定理的一個(gè)推論.

同余; 中國(guó)剩余定理; 拉格朗日插值公式

一、定義與引理

定義1 數(shù)環(huán)R上的三個(gè)多項(xiàng)式m(x),f(x),g(x)若滿足m(x)|f(x)-g(x), 就稱f(x)在模m(x)下與g(x)同余, 記作

f(x)≡g(x)(modm(x)).

比如x2+x+1≡x(modx2+1).

易知多項(xiàng)式環(huán)上的同余與整數(shù)的同余擁有相同的性質(zhì).

定義2 對(duì)任意a(x)∈R[x], 如果存在b(x)∈R[x]滿足

a(x)b(x)≡1(modm(x))，

而且?°(b(x))

b(x)=a-1(x)(modm(x)).

這里?°(a(x))表示多項(xiàng)式a(x)最高次項(xiàng)的次數(shù). 與整數(shù)環(huán)的情況相同, 逆存在的一個(gè)充分必要條件是原多項(xiàng)式和模多項(xiàng)式互素, 并且若逆存在, 其必是唯一的.

引理1 (余數(shù)定理)若f(x)=(x-a)q(x)+r, 則下面兩個(gè)敘述等價(jià):

(ⅰ)r=f(a)，

(ⅱ)f(x)≡r(modx-a).

證明略.

二、主要結(jié)論

類似于整數(shù)環(huán)上的中國(guó)剩余定理, 首先有

定理1 (中國(guó)剩余定理)若數(shù)環(huán)R上的n個(gè)非零次多項(xiàng)式m1(x),m2(x),m3(x)是兩兩互素的, 則方程組

有通解

(1)

仿照整數(shù)環(huán)上的中國(guó)剩余定理的證明, 易證(1)式確是方程組的解. 在規(guī)定了解的次數(shù)后, 若存在另外的f1(x)滿足上面的方程組, 且?°(f1(x))

mi(x)|f(x)-f1(x),i=1,2,3,…,n.

各項(xiàng)相乘得

M(x)|f(x)-f1(x).

然而?°(f(x)-f1(x))

f(x)=f1(x).

證畢.

下面由定理1來(lái)推導(dǎo)定理2.

定理2 (拉格朗日插值公式)設(shè)R上的多項(xiàng)式f(x)滿足

f(ai)=bi,i=1,2,3,…,n+1,

(2)

其中所有ai互不相等, 且?°(f(x))≤n, 則

證明由引理1, 條件(2)可以轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

f(x)≡bi(modx-ai),i=1,2,3,…,n+1.

由于所有ai兩兩不相等, 所以所有的一次多項(xiàng)式x-ai是兩兩互素的.

由定理1,f(x)有通解

再次利用引理1, 有

注意到?°(f(x))≤n

證畢.

我們得到結(jié)論: 拉格朗日插值公式是中國(guó)剩余定理的一個(gè)直接推論, 或者說(shuō)是中國(guó)剩余定理的一種特殊形式.

[1]裴定一, 徐祥. 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M]. 北京:人民郵電出版社, 2007:17-18.

[2]孫智偉. 基礎(chǔ)數(shù)論入門[M]. 哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社, 2014:51-52.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

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A

1008-0333(2017)27-0024-02

2017-07-01

張啟新(1996.3-)，男，漢，廣東省廣州人，大學(xué)在讀.