馮厚發(fā)

(南京市雨花臺(tái)中學(xué),江蘇 南京 210000)

導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)幾點(diǎn)例談

馮厚發(fā)

(南京市雨花臺(tái)中學(xué),江蘇 南京 210000)

導(dǎo)數(shù)教學(xué)是函數(shù)教學(xué)的升華，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可以將函數(shù)模型的研究上升到更高的層面，解決各種高次函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等一系列復(fù)雜函數(shù).如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決相關(guān)問題，在復(fù)習(xí)中注重哪些知識(shí)層面，本文做一番簡(jiǎn)單的梳理．

導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；基礎(chǔ)；單調(diào)性；最值；分類；多元降解

有了導(dǎo)數(shù)，中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)于函數(shù)的學(xué)習(xí)向前大大推進(jìn)了一大步．以往的初等基本函數(shù)可以各式各樣的進(jìn)行整合，對(duì)于學(xué)生理解函數(shù)、解決函數(shù)問題有了更廣闊的空間．導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)并不是太復(fù)雜，如何利用好這些基本知識(shí)以及所涉及到的其他相關(guān)數(shù)學(xué)思想，才是導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)最為關(guān)注的地方．本文結(jié)合基本的知識(shí)使用，利用一定的知識(shí)層面、數(shù)學(xué)思想方法，將導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)做一番合理的梳理，力爭(zhēng)讓導(dǎo)數(shù)知識(shí)在解決函數(shù)問題時(shí)更為有效．

一、注重幾何意義

導(dǎo)數(shù)最基本的幾何意義是切線的斜率，對(duì)于基本知識(shí)的理解需要從幾何意義出發(fā)．

問題1 若曲線y=x4的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直，則l的方程為________．

分析導(dǎo)數(shù)的幾何意義是在該點(diǎn)處切線的斜率，中學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)此有明確的推導(dǎo)和證明，要掌握和理解幾何意義是問題解決的最基本保障．與直線x+4y-8=0垂直的直線l為4x-y+m=0，即y=x4在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而y′=4x3，所以y=x4在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為4x-y-3=0．

二、注重單調(diào)最值

導(dǎo)數(shù)的作用在于方便地解決了函數(shù)單調(diào)性，與定義研究單調(diào)性不同的是，導(dǎo)數(shù)站在更高的系統(tǒng)的角度思考了函數(shù)的變化，進(jìn)而方便地獲得了函數(shù)的最值．

x00，1/2()1/21/2，1()1f′(x)-0+f(x)-7/2↘-4↗-3

三、注重分類討論

對(duì)于定值研究，學(xué)生并沒有特別的困難，但是對(duì)于變量的引入，往往產(chǎn)生了大量的討論，這也是很多學(xué)生開始陷入導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)困擾的地方．學(xué)會(huì)變量的如何介入討論，是導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)的關(guān)鍵．

1.二次項(xiàng)系數(shù)的切入

問題3 已知函數(shù)f(x)=plnx+(p-1)x2+1，當(dāng)p>0時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

顯然，本題的討論主要是從二次項(xiàng)系數(shù)出發(fā)的，與二次函數(shù)討論一致，二次項(xiàng)系數(shù)是突破本題的關(guān)鍵．

2.對(duì)稱軸引發(fā)的思考

分析由已知得g(x)=ln(x+1)+3-(-2x2+4ax+3)=ln(x+1)+2x2-4ax，

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0．

對(duì)于導(dǎo)函數(shù)來(lái)說(shuō)，二次項(xiàng)系數(shù)為定值時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)為變量，從而從這里介入討論是最為合適的．

四、注重多元降解

導(dǎo)數(shù)考查的更高層次是多元變量的介入，當(dāng)遇到多元變量時(shí)，我們?nèi)绾卫脤?dǎo)數(shù)解決問題？從思想角度來(lái)說(shuō)，筆者將其稱之為多元變量講解，即多元轉(zhuǎn)少元．

問題5 函數(shù)f(x)=alnx+x2+bx存在極大值．(1)若a=1，求b的取值范圍；(2)求a的最大值，對(duì)滿足題意的所有的b而言，函數(shù)f(x)的極大值恒小于0．

總之，導(dǎo)數(shù)是一種工具性的知識(shí)，和向量知識(shí)一樣，其解決初等數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，大大向前推進(jìn)了一大步，這是我們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的主要目的．復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)最為關(guān)鍵的是依賴其本質(zhì)出發(fā)，本文闡述的前兩個(gè)方面就是點(diǎn)出了這兩點(diǎn)，即如何思考運(yùn)用幾何意義和單調(diào)性最值的解決，是導(dǎo)數(shù)最基本的工具性作用；進(jìn)一步運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是借助其工具性作用和思想方法的結(jié)合，筆者認(rèn)為比較重要的是分類討論思想和多元降解方式的處理，這是導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)問題中較難掌控的因此值得復(fù)習(xí)教學(xué)多加以關(guān)注．

[1]柴賢亭.數(shù)學(xué)教學(xué)中的導(dǎo)數(shù)問題設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2015(10).

[2]鮑建生等.導(dǎo)數(shù)變式教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2013(1).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-07-01

馮厚發(fā)(1971.04-)，男，江蘇南京人，大學(xué)本科，從事數(shù)學(xué)教學(xué).

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