杜汝薇

(湖南省雅禮中學(xué)，湖南 株洲 412000)

論述空間向量的解題技巧

杜汝薇

(湖南省雅禮中學(xué)，湖南 株洲 412000)

向量在數(shù)學(xué)考試中占的分值比較重，其在選擇、填空以及解答題中都能夠以不同的形式出現(xiàn)，因此學(xué)習(xí)好空間向量知識(shí)對(duì)我們學(xué)習(xí)成績(jī)的提升就有重要的作用.部分同學(xué)在學(xué)習(xí)空間向量相關(guān)知識(shí)的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)概念混淆等情況，導(dǎo)致其在解答空間向量數(shù)學(xué)題的時(shí)候容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.筆者主要就自身的學(xué)習(xí)體驗(yàn)對(duì)空間向量解題技巧進(jìn)行分析，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助.

空間向量；解題技巧

在解答立體幾何和解析幾何題型的過(guò)程中，應(yīng)用空間向量能夠化繁為簡(jiǎn)，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系將點(diǎn)、線、面的相應(yīng)坐標(biāo)進(jìn)行標(biāo)示，然后對(duì)其進(jìn)行運(yùn)算，這樣就會(huì)使得解答更加直觀，掌握空間向量的解題技巧就能夠?yàn)榻獯饠?shù)學(xué)題節(jié)約更多的時(shí)間，提升解題效率.

一、解答空間向量的基礎(chǔ)

在學(xué)習(xí)空間向量的過(guò)程中，我們就需要對(duì)向量數(shù)量積及其空間向量的幾何意義進(jìn)行理解，這是解答空間向量題型的基礎(chǔ)，也是重點(diǎn).在實(shí)際的解題過(guò)程中，需要認(rèn)真審題，明確所有的已知條件，并且找出其中的隱含條件，明確題中需要求的量和其他量之間的關(guān)系.對(duì)于空間向量的解答來(lái)說(shuō)，最重要的就是建立空間直角坐標(biāo)系.其次，向量的運(yùn)算也是解題關(guān)鍵，在按照題目要求完成了空間直角坐標(biāo)系建立之后，就需要我們將對(duì)點(diǎn)、線以及面的代表性點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出來(lái)，然后通過(guò)運(yùn)算進(jìn)行解答，在運(yùn)算過(guò)程中需要明確線面之間的垂直和平行關(guān)系.

二、解題技巧

1.平面法向量的求解

(1)內(nèi)積法.內(nèi)積法是求解平面法向量比較常用的方法，在平面α中可以設(shè)其法向量為向量n=(x，y，1)，然后在平面α中可以找兩個(gè)不共線的向量a和向量b，因?yàn)閮蓚€(gè)向量都在平面α內(nèi)，則可以由向量n垂直α得到向量n垂直向量a和向量b，就可以得到向量n數(shù)乘向量a等于0，向量n數(shù)乘向量b也等于0，因此就可以得到兩個(gè)關(guān)于x和y的二元一次方程，再對(duì)其求解，就可以求出平面的法向量.

(2)外積法.在運(yùn)用這種方法求解平面法向量時(shí)，通常是找出需要求解的平面中任意三條互不垂直也不共線的線段，然后根據(jù)題目中的已知條件寫(xiě)出線段的坐標(biāo)，設(shè)法向量n的坐標(biāo)為(x，y，z)，根據(jù)法向量垂于平面既垂直平面中所有的線段的性質(zhì)可以得到，法向量與平面三條線段的坐標(biāo)之積都為0，然后列出三個(gè)等式，求出x、y、z的值，即求出平面的法向量.

2.求空間角

空間角的求解是求解立體幾何中常見(jiàn)的題，其難度一般也比較大.我就通過(guò)具體的題進(jìn)行具體分析.

例已知空間四邊形ABCD的各 邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn).(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的長(zhǎng)； (3)求異面直線AN與CM夾角的余弦值.

在解答這個(gè)題的第三小問(wèn)對(duì)空間角進(jìn)行求解時(shí)，就是利用空間向量的方式，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)線段的邊長(zhǎng)和點(diǎn)的位置表示出相應(yīng)線段的坐標(biāo)，這樣可以直接求兩個(gè)夾角之間的余弦值，簡(jiǎn)化解題步驟，節(jié)約解題時(shí)間.

3.證明線面關(guān)系

線面關(guān)系的證明是我們?cè)趯W(xué)習(xí)立體幾何中已經(jīng)比較熟練的題目類型，部分同學(xué)在進(jìn)行證明的過(guò)程中經(jīng)常不能抓住重點(diǎn)，并且不知道應(yīng)該怎么做輔助線，導(dǎo)致線面證明過(guò)程不清晰，我根據(jù)上文的例題進(jìn)行舉例分析，解答流程如下：

由題意可知：|p|=|q|=|r|=a且p、q、r三向量?jī)蓛蓨A角均為60°，

∴MN⊥AB，同理可證MN⊥CD.

應(yīng)用空間向量證明線面關(guān)系能夠通過(guò)線段之間的關(guān)系明確相關(guān)的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)空間向量的性質(zhì)比較簡(jiǎn)單地就把線面之間的垂直關(guān)系證明清楚.

綜上所述，在應(yīng)用空間向量解題的過(guò)程中，最主要的就是熟悉相關(guān)概念和性質(zhì)，在解題過(guò)程中通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系構(gòu)建向量之間的關(guān)系，使得題目?jī)?nèi)容更加直觀，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，提升解題效率和質(zhì)量.

[1]潘虹.淺談空間向量方法在立體幾何中的應(yīng)用[J].讀與寫(xiě)(教育教學(xué)刊)，2013(02)：127

[2]崔寶榮.如何應(yīng)用空間向量求解立體幾何問(wèn)題[J].讀與寫(xiě)(教育教學(xué)刊)，2011(06)：176

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-07-01

杜汝薇( 2000.07-)， 女 ，雅禮中學(xué)在校學(xué)生.

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