譚述君 殷偉棟 穆瑞楠 ,?(大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，遼寧大連116024)

?(大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024)

重力梯度力矩近似公式適用條件的探討1)

譚述君?,?,2)殷偉棟?穆瑞楠?,??(大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，遼寧大連116024)

?(大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024)

教材中重力梯度力矩經(jīng)典近似公式是基于常規(guī)尺寸空間結(jié)構(gòu)推導(dǎo)的，如果直接應(yīng)用于超大尺寸結(jié)構(gòu)可能會(huì)導(dǎo)致精度不夠、甚至錯(cuò)誤的結(jié)果.以超大空間啞鈴結(jié)構(gòu)為研究對象，對比了基于重力梯度力矩非近似公式與經(jīng)典近似公式得到的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，指出了經(jīng)典近似公式的局限性.通過提高重力梯度力矩中近似項(xiàng)的保留精度，提出了修正公式，并驗(yàn)證了該公式的適用性.所得結(jié)論是對重力梯度力矩教學(xué)內(nèi)容的有益擴(kuò)展，對工程應(yīng)用也有幫助.

姿態(tài)動(dòng)力學(xué)，超大尺寸空間結(jié)構(gòu)，重力梯度力矩,經(jīng)典近似公式，適用條件

隨著需求增長以及技術(shù)的積累，當(dāng)今航天器發(fā)展迅速，朝著大型化和復(fù)雜化發(fā)展.如空間太陽能電站[1]這類超大尺寸空間結(jié)構(gòu)，其聚光系統(tǒng)的尺度往往達(dá)到千米量級(jí)，因此有必要開展針對超大空間結(jié)構(gòu)的理論研究.由于航天器各個(gè)部分的質(zhì)量微元到地心的距離有微小差別，使合力有時(shí)不通過航天器質(zhì)心，從而產(chǎn)生擾動(dòng)力矩，稱為重力梯度力矩[23]，這種擾動(dòng)力矩是影響航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的重要因素之一[4].

由于重力梯度力矩計(jì)算公式相當(dāng)復(fù)雜，為了工程上實(shí)用，相關(guān)教材中都給出了重力梯度力矩的經(jīng)典近似公式[25].這種公式是基于常規(guī)尺寸空間結(jié)構(gòu)推導(dǎo)的，但教材中往往缺少明確的說明，這可能使學(xué)生誤認(rèn)為經(jīng)典近似公式可直接應(yīng)用于超大尺寸空間結(jié)構(gòu)的研究工作.本文以超大空間啞鈴結(jié)構(gòu)為研究對象，分別推導(dǎo)啞鈴重力梯度力矩的非近似公式和經(jīng)典近似公式，通過兩者姿態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的對比，分析經(jīng)典近似公式的應(yīng)用條件.通過提高重力梯度力矩中Taylor級(jí)數(shù)展開的保留精度，提出修正的近似公式，并驗(yàn)證新公式的適用性.

1 重力梯度力矩的經(jīng)典近似公式

空間啞鈴模型是重力梯度相關(guān)研究工作中常用的簡化模型，這類模型建模簡單，且具有明顯的質(zhì)量分布特性[56].針對啞鈴模型在軌道平面內(nèi)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，推導(dǎo)重力梯度力矩的經(jīng)典近似公式.圖1包含了啞鈴結(jié)構(gòu)AB和中心引力體E.其中啞鈴中間連接部分質(zhì)量忽略且不可伸長，長度為x，在其兩端點(diǎn)A和B上的集中質(zhì)量分別為m1和m2，其質(zhì)心位置處的軌道半徑為R.兩端點(diǎn)A和B到中心引力體E的距離分別為r1和r2，到啞鈴質(zhì)心O的距離分別為x1和x2.姿態(tài)角?為Ox軸與質(zhì)心處軌道半徑方向的夾角，姿態(tài)運(yùn)動(dòng)以逆時(shí)針方向?yàn)檎较?

圖1 空間啞鈴模型

根據(jù)重力梯度力矩公式[2]，該啞鈴結(jié)構(gòu)的重力梯度力矩精確表達(dá)式為

其中,m=m1+m2,x=x1+x2,μ=GMe是引力常量，G為萬有引力常數(shù)，Me是地球質(zhì)量；其中

為了簡化公式，教材[25]中將式(2)和式(3)均以Taylor級(jí)數(shù)的形式展開，并只保留x/R的一次項(xiàng)精度，這里包含了尺寸假設(shè)條件R?x，得到表達(dá)式為

將式(4)和式(5)代入式(1)，即可得到重力梯度力矩經(jīng)典近似公式

由動(dòng)量矩定理˙h=M得姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為

將式(1)代入式(7)得到啞鈴結(jié)構(gòu)的非近似姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程[6]

而將式(4)代入式(7)得到基于經(jīng)典近似公式的啞鈴姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

與非近似姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程相比，該方程沒有包含尺寸和質(zhì)量等參數(shù)，因此無法反映這些參數(shù)對姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響.對于小尺寸結(jié)構(gòu)，這些參數(shù)的影響可以忽略.但隨著尺寸增大，仍忽略這些參數(shù)的影響則可能導(dǎo)致精度不高、甚至錯(cuò)誤的結(jié)果.

2 經(jīng)典近似公式的適用條件

本節(jié)通過與非近似姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程對比仿真結(jié)果，說明在超大尺寸空間結(jié)構(gòu)的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)問題中經(jīng)典近似公式的應(yīng)用范圍.重力梯度力矩作用下啞鈴結(jié)構(gòu)姿態(tài)響應(yīng)的仿真參數(shù)設(shè)置：地心引力常數(shù) μ為 1.4352×109km3/min2；軌道高度為 200km(低軌道)，則啞鈴模型質(zhì)心軌道半徑R為6574.33km；啞鈴A端質(zhì)量m1為1000kg，B端質(zhì)量m2為0.1kg，總質(zhì)量m為兩端質(zhì)量之和；啞鈴尺寸x為10km；初始姿態(tài)角速度為 0.仿真步長為0.1min，總仿真時(shí)長為 1000 min，求解精度為 1×10?9rad.

當(dāng)啞鈴結(jié)構(gòu)的初始姿態(tài)角較小時(shí)，取初始姿態(tài)角為0.1rad時(shí)，圖2給出了基于經(jīng)典近似公式和基于非近似公式得到的姿態(tài)角響應(yīng)曲線及其差值.可以看出,在大尺寸結(jié)構(gòu)下，在結(jié)構(gòu)質(zhì)量分布不對稱，兩者響應(yīng)誤差約為0.02rad，此時(shí)存在大于10%的相對誤差.因此對于超大空間結(jié)構(gòu)，當(dāng)結(jié)構(gòu)質(zhì)量不對稱分布時(shí)，在小初始姿態(tài)角下基于經(jīng)典近似公式的姿態(tài)角響應(yīng)結(jié)果存在較大的誤差，經(jīng)典近似公式在該情況下不適用.

圖2 姿態(tài)角對比及誤差曲線(?0=0.1rad)

當(dāng)啞鈴結(jié)構(gòu)初始姿態(tài)位于不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，即初始姿態(tài)角為π/2的位置時(shí)，圖3給出了基于經(jīng)典近似公式與非近似公式的姿態(tài)角響應(yīng)曲線，可以明顯發(fā)現(xiàn)兩者初始姿態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反.啞鈴在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)時(shí)，由于兩端質(zhì)量不同，重力梯度應(yīng)使質(zhì)量較大的一端 (m1)靠近地心 (順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng))，這與非近似公式的結(jié)果一致.而由經(jīng)典近似公式卻得出啞鈴發(fā)生逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，與真實(shí)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)過程相違.分析方程(9)可知，由于經(jīng)典近似公式得到的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程中沒有質(zhì)量參數(shù)，因此無法體現(xiàn)重力梯度力矩對姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響.因此，對于大尺寸空間結(jié)構(gòu)，質(zhì)量非對稱分布以及初始姿態(tài)位于不穩(wěn)定平衡點(diǎn)時(shí)，經(jīng)典近似公式不適用.

圖3 姿態(tài)角對比曲線(?=π/2)

3 修正近似公式及適用性的驗(yàn)證

通過增加式(2)和式(3)中的Taylor級(jí)數(shù)展開項(xiàng)數(shù)，建立重力梯度力矩修正近似公式.式(2)和式(3)的Taylor級(jí)數(shù)展開式重新寫為

將式 (10)和式 (11)代入式 (1)得到重力梯度力矩的修正近似公式為

將式(12)代入式(7)得到修正后姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

可以發(fā)現(xiàn)，相比于式(8)，基于修正近似公式的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程 (13)包含了尺寸x以及兩端質(zhì)量m1和 m2參數(shù)，這些參數(shù)將對姿態(tài)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響.特別注意到，當(dāng) m1和 m2相等時(shí)，修正近似公式(12)與經(jīng)典近似公式(6)是完全一致的.

利用上一節(jié)仿真參數(shù)和方程(13)進(jìn)行分析，圖4給出了初始姿態(tài)角為0.1rad時(shí)，基于修正近似公式與經(jīng)典近似公式的誤差曲線.可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量非對稱分布時(shí)，修正近似公式誤差遠(yuǎn)低于經(jīng)典近似模型誤差，其模型精度大大提高.當(dāng)初始姿態(tài)角為π/2時(shí)，圖5給出了基于修正近似公式與非近似公式的比較，可以看出此時(shí)修正近似公式能夠得到與非近似公式近似一致的姿態(tài)響應(yīng)，因此該公式適用于初始姿態(tài)角為π/2且質(zhì)量非對稱分布情況.

圖4 經(jīng)典近似公式與修正近似公式的誤差曲線

圖5 姿態(tài)角對比及誤差曲線

4 結(jié)論

以空間啞鈴模型為研究對象，通過對比基于重力梯度力矩非近似公式和經(jīng)典近似公式的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程發(fā)現(xiàn),后者沒有包含結(jié)構(gòu)尺寸和質(zhì)量等參數(shù).仿真結(jié)果顯示，對于超大尺寸空間啞鈴結(jié)構(gòu)，基于經(jīng)典近似公式得到的姿態(tài)角響應(yīng)在小初始姿態(tài)角條件下的誤差接近 20%，而在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)處時(shí)，其姿態(tài)角響應(yīng)變化趨勢與實(shí)際過程相反，由此說明了在超大尺寸空間結(jié)構(gòu)的建模分析中，重力梯度力矩經(jīng)典近似公式的使用存在限制條件.通過增加重力梯度力矩中近似項(xiàng)-Taylor級(jí)數(shù)展開的保留階次，得到了重力梯度力矩的修正近似公式，并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了該公式的適用性.因此，建議在重力梯度力矩的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容中，應(yīng)說明經(jīng)典近似公式直接應(yīng)用于超大尺寸空間結(jié)構(gòu)的局限性，并介紹其修正思路，使學(xué)生對知識(shí)有更好的理解.

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3 張嘉鐘,魏英杰,曹偉.飛行器動(dòng)力學(xué)與控制.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2011

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V11

A

10.6052/1000-0879-17-063

2017-02-28收到第1稿，2017-04-01收到修改稿.

1)國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11572069,11432010,11502040).

2)譚述君，博士，副教授，研究方向?yàn)楹教炱鲃?dòng)力學(xué)與控制、空間智能結(jié)構(gòu)分析設(shè)計(jì)與控制、運(yùn)載火箭耦合動(dòng)力學(xué)與控制、最優(yōu)控制理論算法與應(yīng)用.E-mail:tansj@dlut.edu.cn

譚述君,殷偉棟,穆瑞楠.重力梯度力矩近似公式適用條件的探討.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(5):496-499

Tan Shujun,Yin Weidong,Mu Ruinan.Application scopes of the classical approximate formula of the gravity gradient torque.Mechanics in Engineering,2017,39(5):496-499

(責(zé)任編輯:胡 漫)