第十一屆全國周培源大學生力學競賽（個人賽）試題答案

出題學校：湖南大學

本試卷分為基礎題和提高題兩部分 滿分120分 時間3小時30分

說明：個人賽獎項分為全國獎和賽區(qū)獎.全國獎先以提高題得分為篩選標準，再按總得分排名，根據名次最終確定獲獎人；賽區(qū)獎直接按賽區(qū)內總成績排名確定獲獎人.全國獎獲獎人不再重復獲得賽區(qū)獎.

注意：答卷中各題所得的最后計算結果用分數表示或用小數表示均可.

基礎題部分(填空題，共60分)

一、(6分)如圖 1所示，正方體邊長為 c，其上作用四個力F1,F2,F3,F4，各力大小之間的關系為F1=F2=Fa，F(xiàn)3=F4=Fb.試計算以下問題，并將結果填在相應的空內.

圖1

(2)(2分)若此力系√可簡化為一個力，則Fa與Fb的數量關系為

(3)(2分)若Fa=Fb=√F，力系簡化為一力螺

解答：

向點O簡化

二、(6分)如圖2所示，兩勻質輪A和B的質量同為m，半徑同為r.輪 A位于水平面上，繞于輪B的細繩通過定滑輪C后與輪A的中心相連，其中CA段繩水平，CB段繩鉛直.不計定滑輪C與細繩的質量，且設細繩不可伸長.系統(tǒng)處于鉛垂平面內，自靜止釋放.試計算以下問題，并將結果填在相應的空內.(重力加速度用g表示)

圖2

(1)(2分)若輪A既滾又滑，則系統(tǒng)的自由度數為(3)；

解答:

問題(1)：3自由度.

問題(2)：輪A平動.分析輪B，動靜法求解：

以上結果或通過求解剛體平面運動微分方程得到.

圖3

三、(6分)桁架的桿件內力可以應用節(jié)點法、截面法以及虛位移原理進行求解.如圖4所示，靜定平面桁架由水平桿、豎直桿和45?斜桿組成，在B處受固定鉸支座約束，A,C兩處由可水平運動的鉸支座支承.桁架上作用了3個大小同為F的載荷，試計算以下問題，并將結果填在相應的空內.

圖4

(1)(2分)桿DH 的內力為F (受拉)；

解答：

問題(1)：對節(jié)點H，依節(jié)點法，有

圖5

問題 (2)：

圖6

解法2--幾何靜力學方法，需要列多個平衡方程，下面列舉其中一種解法.

圖7

最后取節(jié)點B

四、(6分)如圖8所示，小車上斜靠著長為l、質量為m的均質桿AB，其傾角以θ表示.桿處于鉛垂平面內，B端與小車壁光滑接觸，A端與小車底板的摩擦角為 ?m=30?.小車由動力裝置驅動 (圖中未畫出)，沿水平直線軌道向左運動，且其運動可以被控制.小車運動過程中，桿AB相對于小車始終保持靜止，試計算以下問題，并將結果填在相應的空內.

圖8

(2)(3分)若小車作加速度向右的減速運動，

若 60?≤ θ＜ 90?，則 a≤ g cotθ.

解答:

問題 (1)：

幾何法求解：

圖9

解析法求解：

平衡方程

結合物理方程

可得結果.

問題 (2)：

幾何法求解：

圖10

加速度a的上限由A點臨界滑動確定

當θ≥60?時，加速度a的上限由桿繞A點翻轉確定，所以amax=g cotθ.以上過程也可以采用解析法求解.

圖11

五、(6分)如圖 12所示，圓形細環(huán)管在相連部件(圖中未畫出)帶動下沿水平直線軌道純滾動，管內有一小壁虎，相對于環(huán)管爬行，壁虎可被視為一點，在圖中以小球B代替.圖示瞬時，壁虎與環(huán)管的中心處于同一水平線上，壁虎相對環(huán)管的速率為 u，相對速度的方向朝下，相對速度大小的改變率等于0，環(huán)管中心O點的速度向右，速度大小也為u，加速度為0.環(huán)管中心圓的半徑等于R.試計算以下問題，并將結果填在相應的空內.√

圖12

(2)(2分)在此瞬時壁虎相對地面的加速度大小為4u2/R；

(3)(2分)在此瞬時壁虎在√相對地面的運動軌跡上所處位置點的曲率半徑為55R/8.

解答:

動點:小球；動系:細圓環(huán)

圖13

則

aB=ae+ar+aC,為小球絕對加速度

圖14

六、(5分)圖15所示結構中，鉛垂桿①和斜桿②均為彈性桿，斜桿②與水平線夾角為 θ，直角三角形ABC2為剛體，邊 BC2處于水平位置.現(xiàn)將 C1和C2聯(lián)結在一起，已知a,δ和θ，則求該兩桿軸力用到的

(1)(2分)平衡方程(桿①、桿②的軸力分別用FN1和 FN2表示)為 2FN1?FN2cosθ=0；

(2)(3分)變形條件方程(桿①、桿②的變形分別用 ?l1和 ?l2表示)為 ?l1+2?l2/cosθ=δ.

圖15

解答：(1)以三角形剛體為研究對象，ΣmB=0?2FN1?FN2cosθ=0.

圖16

(2)設三角形剛體繞B點轉動小角?，

∵ ?l2/cosθ=a?δ??l1=2a?

∴ ?l1+2?l2/cosθ=δ

七、(5分)一種能量收集裝置，可簡化為圖17所示懸臂梁模型.梁AB長l，彎曲剛度為2EI；梁BC和BD長均為l，彎曲剛度均為EI.梁AB與梁BC和BD通過剛節(jié)點B連接，三梁均處于水平位置.梁和剛節(jié)點B的重量均不計.梁BC和BD端部固定有重量均為W 的物塊，該兩梁之間有小間隙.則梁端D的撓度與物塊重量之比fD/W=8l3/(3EI).

圖17

解答

其中

八、(6分)已知一危險點的單元體處于平面應力狀態(tài)，最大切應變γmax=5×10?4，通過該點相互垂直的微截面上正應力之和為28MPa.若材料的彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.25.則

(1)(3分)該點主應力 σ1=54MPa，σ2=0MPa，σ3= ?26MPa；

(2)(3分)用最大切應力強度理論校核時相當應力σr3=80MPa.

所以σx?σy=2×5×104×0.8×105=80MPa，又 σx+σy=28MPa，解得：σ1=54MPa，σ2=0，σ3= ?26MPa；于是σ=2τ=80MPa.r3max

九、(6分)圖18所示剛架中，水平梁為剛桿，豎直桿①、②均為細長彈性桿，只考慮與紙面平行的平面內的失穩(wěn).則

(1)(2分)剛架失穩(wěn)時載荷的最小值F由桿①決定；(注：填入①，②)

(2)(4分)剛架失穩(wěn)時載荷的最小值 F =π2EI/(2l2).

圖18

解答：最低臨界載荷對應兩豎桿均朝一邊變形，在該變形情況下柱內無剪力，相當于懸臂柱，于是有

十、(8分)圖19所示等截面直角剛架ACB，桿件橫截面為圓形，彎曲剛度為EI，扭轉剛度為0.8EI.C處承受大小為m、方向如圖所示的外力偶，該力偶矢量方向與剛架軸線處于同一平面內.則

圖19

解答：

圖20

求解，得

或

提高題部分(計算題，共60分)

十一、(共15分)如題圖21(a)所示，質量均為m的圓輪和細直桿AC固結成一組合剛體.其中，桿AC沿圓輪徑向，O為圓輪輪心，C點為輪與桿的固結點，也是組合剛體的質心.初始時刻，組合剛體靜止于水平面，左邊緊靠高度為r的水平臺階，然后，在圖示不穩(wěn)定平衡位置受微小擾動后向右傾倒，以?表示組合剛體在桿端A與地面接觸之前的轉動角度 (參見圖 21(b)).圓輪，半徑為 r，組合剛體關于過輪心O并垂直于圓輪的軸之轉動慣量為JO.略去各處摩擦，試求解如下問題.

圖21

(1)(5分)圓輪與臺階B點開始分離時的角度?的大?。?/p>

(2)(6分)組合剛體的角速度與角度?的關系？

(3)(4分)圓輪右移的距離 S與角度 ?的關系？

解答:

組合剛體的運動存在兩個階段，一是繞O的定軸轉動；二是質心水平速度保持不變的平面運動.首先確定由定軸轉動到平面運動的臨界轉角.問題(1),剛體繞O作定軸轉動.依動能定理

圖22

式(7)兩邊對時間求導

式(7)也可由對點O的動量矩定理得到.

由質心運動定理

anC=rω2,aτC=rα.方程 (9)也可由動靜法得到.式(9)中代入加速度

球與凸臺分離的角度由FN2=0確定.

對應角速度ω0=

問題(2):

當

圖23

當?＞?0時，組合剛體與臺階脫離接觸，作平面運動，水平方向動量守恒，質心C的水平速度不變，為

O點速度vO水平，以其為基點，質心C的速度表示為

質心C的水平速度為

依動能定理，有

其中，JC=JO?2mr2.

由式(11)解出

(當 ?＞?0) (1分)

問題(3):

當?≤?0時，S=0 (1分)

當?＞?0時，圓盤向右發(fā)生水平移動和轉動.注意到

圖24

由式(10)有

十二、(共15分)如圖25所示，邊長為h、質量為m的均質正方形剛性平板靜置于水平面上，且僅在角點A、C和棱邊中點B處與水平面保持三點接觸.位于水平面上的小球以平行于AC棱邊的水平速度vb與平板發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞點至角點A的距離以b表示.已知平板關于過其中心的鉛直軸的轉動慣量為J=mh2/6，在A、B和C三點處與水平支承面的靜摩擦因數和動摩擦因素均為μ.略去碰撞過程中的摩擦力沖量，試求

(1)(3分)碰撞結束瞬時，平板的速度瞬心位置？

(2)(3分)若b=5h/6，計算碰撞結束瞬時平板的角加速度？

(3)(9分)設小球的質量為m/21.碰撞后，板在水平面內繞B點轉動，則碰撞點的位置b和碰撞前小球速度vb應滿足的條件？

圖25

解答:

兩物體碰撞及速度突變都發(fā)生在水平面內，在鉛直方向，方板仍然處于平衡狀態(tài).由空間平行力系的平衡知三個支撐點的鉛直方向反力.支承面對方板的水平約束力就是動或靜摩擦力，由摩擦定律知摩擦力與鉛直反力成比例.因此，在碰撞階段，水平摩擦力的沖量略去不計.

圖26

圖27

問題(1):

記碰撞沖量為I，考察板

碰撞結束瞬時，板作平面運動的速度瞬心位于通過點B′和點B的直線上.

由 vO0?xω0=0(1分)得

當b=h/2時，板作平移，速度瞬心在無窮遠處.式中，x坐標的原點在點O，向右為正，向左為負.問題(2):

將b=5h/6代入式(13)，有x=?h/2，板逆時針轉動.此時，板的速度瞬心在AC棱邊中點.碰撞結束瞬時，板的角加速度由相對于質心的動量矩定理確定.

板在水平面內受3個滑動摩擦力作用，如下圖所示.

圖28

代入式 (14)，有

問題(3):

B點速度vB=0，由式(13)知

由對B點的動量矩守恒得到

圖29

其中，v′b為小球的反彈速度

碰撞點D的法向速度為

完全彈性碰撞條件為

結合式(15)與式(16)，解出

B點的靜摩擦力滿足

由質心運動定理和對B點的動量矩定理

此后，板作減速轉動，ω ＜ ω0,anO＜ω02,所以FBn＜FBn0.可見，板在停止轉動之前，其B端能保持靜止不動.(1分)

十三、(15分)圖30示圓環(huán)細桿，材料的彈性模量為E，受集度為m、矢量方向與環(huán)桿軸線相切的均布力偶載荷，變形時桿件始終保持彈性狀態(tài)，且橫截面符合平面假設.環(huán)桿軸線半徑為R，環(huán)桿橫截面為圓，其半徑為r，且r/R?1.試確定：

(1)(3分)橫截面上的內力；

(2)(10分)橫截面的轉角?；

(3)(4分)求橫截面上內力的最大值.

【提示】：當Y/X?1時可做簡化：X+Y≈X.

圖30

解答:(1)橫截面上的內力:由半環(huán)桿的力偶平衡得

圖31

圖32

考慮到轉角?比較大，因此在變形后截面上一點的位置坐標表達為

將式(20)及上述二式代入Mz和My表達式，有

計算出積分可得

比較式(19)與式(22)得

由此式可見，為了m恒正，即m與題目中所畫方向相同而不矛盾，?的取值限定為0≤?＜π.

式(23)代入式(22)得

總之，橫截面上的非零內力為

彎矩 Mz= ?mR(?)，

(其余內力分量為零，不用寫出)

式(21)或式(23)也可用能量法求得.

(2)橫截面的轉角?：

由式(23)得轉角

(3)內力的最大值Mmax

利用式(21)和式(22)算出橫截面上的合彎矩

可見，當?=π時，M=Mmax(1分)

圖33

十四、 (15分)圖 34和圖 35所示的薄壁圓環(huán)管壓力容器，壁厚為t，環(huán)管橫截面平均直徑為D，環(huán)管軸線半徑為R.為了加固壓力容器，用一根直徑為d的細鋼絲纏繞圓管，鋼絲纏繞時拉緊，以至于鋼絲與壓力容器間的摩擦力達最大.纏繞的鋼絲相鄰兩圈間相互緊挨，但可忽略其相互擠壓作用.只考慮鋼絲因長度方向拉伸引起的變形，即可忽略鋼絲的彎曲、扭轉等變形.設t/D?1，D/R?1且d/D?1.鋼絲材料的彈性模量為Es，壓力容器材料的彈性模量和泊松比分別為E和ν，鋼絲與壓力容器間的摩擦因數為μ.

圖34

圖35

(1)已知：鋼絲纏繞圈數的最大值n為偶數，當環(huán)管外表面纏滿鋼絲時，如圖35所示，鋼絲最大拉力為P.環(huán)管外表面纏滿鋼絲后將鋼絲兩端互相連接，并讓鋼絲緩慢松弛.求此時：

①(3分)鋼絲的伸長量?l0;

②(2分)鋼絲的張力F0;

③(5分)環(huán)管橫截面上的應力 σl及環(huán)管柱面形縱截面(參考圖36)上的應力σv.

圖36

(2)(5分)在(1)中狀態(tài)的基礎上，壓力容器施加內壓，壓強為p.試寫出關于鋼絲張力增量?F、環(huán)管柱面形縱截面上應力增量?σv的聯(lián)立方程組.【提示】：做簡化處理：cos≈1；若X/Y ?1，則Y+X≈Y.

解答：

(1)鋼絲纏繞圈數的最大值n

記

那么

鋼絲纏繞圈數的最大值n為

記D′=D+δ

圖37

①鋼絲的伸長量?l0由力的平衡可得

解此方程，得

始端拉力可通過鋼絲末端拉力P表達為

鋼絲繞滿環(huán)管表面后兩端剛連接之前，鋼絲伸長量

即

②鋼絲的張力F0

兩端連接的鋼絲松弛后，鋼絲伸長量將保持不變，從而拉力將沿鋼絲長度不變，即F=F0,恒定.那么，有

由此得鋼絲的張力

③環(huán)管的應力σl和σv

求管道橫截面上的應力σl：用一個豎直平面沿管道環(huán)線的直徑將壓力容器切開成相等的兩半，由力的平衡可知

求環(huán)管柱面形縱截面上的應力σv：先用一個豎直平面沿管道環(huán)線的直徑切開，再用過管道軸線的豎直圓柱面將管道切成兩半.

圖38

可分兩種情形討論.

情形1：如下圖所示

α =2π/n，記 θj=(j?1/2)α，平衡方程為

圖39

由圖不難看出，其中和式可計算如下

式中，d′計算如下

因為

所以

將式(33)代入式(32)，得

將式(31)代入上式得

即

情形2：如下圖所示

可列出

圖40

將上式與式 (32) 比較可見，做近似處理cos(π/n)≈ 1后，本情形中和式結果與情形 1的相同.于是可認為式(34)對所有情形恒成立.

(2)環(huán)管柱面形縱截面上的應力σv

當有內壓p時，記由于施加p而引起的豎直縱截面上的應力增量為 ?σv(壓為正)，鋼絲與管外表面間壓應力增量為 ?σg(壓為正)，鋼絲拉力增量為?F(拉為正)，管橫截面應力增量為?σl(壓為正).

求環(huán)管道橫截面上的應力增量 ?σl：用一個豎直平面沿管道環(huán)線的直徑將壓力容器切開成相等的兩半，可知代替方程(31)的是

圖41

即

求環(huán)管柱面形縱截面上的應力σv：變形協(xié)調方程為 ?εs= ?εv，此即

圖42

參考式(31)有

將式(36)及上式代入式(37)，得

在有p存在的情況下，仿照式(34)可寫出

將式(36)代入，上式變?yōu)?/p>

式 (38)、式 (39)即為關于?F和 ?σv的聯(lián)立方程組.

圖43

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《力學與實踐》編輯部

本文于2017-08-01收到.