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        小天體平衡點(diǎn)之謎1)

        2017-11-22 09:36:33李俊峰西安衛(wèi)星測控中心宇航動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室西安710043清華大學(xué)航天航空學(xué)院北京100084
        力學(xué)與實(shí)踐 2017年5期

        姜 宇 李俊峰 (西安衛(wèi)星測控中心宇航動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安710043)(清華大學(xué)航天航空學(xué)院,北京100084)

        小天體平衡點(diǎn)之謎1)

        姜 宇?,2)李俊峰?,3)?(西安衛(wèi)星測控中心宇航動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安710043)?(清華大學(xué)航天航空學(xué)院,北京100084)

        為了解釋小天體平衡點(diǎn)個數(shù)的內(nèi)在規(guī)律,介紹了小天體引力場中平衡點(diǎn)的一個守恒量,解釋了小天體非退化平衡點(diǎn)個數(shù)是奇數(shù)的原因.通過若干個有代表性的小天體的形狀和相對旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的有效勢能在赤道面內(nèi)投影,形象生動地介紹了具體的小天體平衡點(diǎn)的個數(shù)情況.給出了觀測到的小天體基本都有奇數(shù)個平衡點(diǎn)的數(shù)學(xué)解釋.

        小天體,平衡點(diǎn),引力勢

        平衡點(diǎn)[12]是力學(xué)中的一個基本的概念,對于一個物體的運(yùn)動來說,當(dāng)它處在平衡點(diǎn)位置的時候,所受的合外力是零,但未必是穩(wěn)定的.例如一個小球處在光滑碗的碗底和碗沿上,合外力都為零,碗底和碗沿都是這個小球運(yùn)動的平衡點(diǎn).對于這個小球來說,碗沿上的每一個點(diǎn)都是它的平衡點(diǎn),碗底也是它的一個平衡點(diǎn),因而光滑碗中的小球運(yùn)動有無窮多個平衡點(diǎn).

        1 大行星的平衡點(diǎn)

        在太空中,也存在著類似的平衡點(diǎn)[1],比如地球靜止軌道上的衛(wèi)星,相對于地球表面來說是靜止不動的,這樣的衛(wèi)星就處在地球引力場中的相對平衡點(diǎn)上,雖然在慣性空間來看,地球和地球靜止軌道上的衛(wèi)星都是運(yùn)動的,但它們之間卻是相對靜止的.火星等其他大行星也有靜止軌道.不失一般性,以火星為例,火星靜止軌道上的衛(wèi)星相對于火星表面來說是靜止不動的,火星靜止軌道上的點(diǎn)就是火星的相對平衡點(diǎn).大行星由于質(zhì)量較大,引力足以克服固體應(yīng)力,使大行星達(dá)到流體靜力學(xué)平衡,因此大行星都近似為球形.大行星的平衡點(diǎn)包括其靜止軌道上所有點(diǎn),以及大行星的質(zhì)心.

        地球上有山脈和河流,地球赤道半徑和兩極半徑有所不同.其他大行星如火星表面有峽谷、火山與隕石坑,木星等氣態(tài)行星的外形為兩極扁而赤道鼓.如果考慮大行星的精確的引力場,嚴(yán)格地來說,大行星靜止軌道上只有4個點(diǎn)是平衡點(diǎn).因此,大行星的平衡點(diǎn)實(shí)際上共有5個.

        此外,太陽--木星系統(tǒng)中存在特洛伊小行星,這些小行星所處的位置是日--木系統(tǒng)的平衡點(diǎn),這樣的平衡點(diǎn)相對于太陽和木星連線是靜止不動的.

        2 小天體的平衡點(diǎn)

        太陽系中,目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并獲得永久編號的小天體有幾十萬個,這些小天體質(zhì)量較小,自身引力不足以克服固體應(yīng)力,不能達(dá)到流體靜力學(xué)平衡,具有不規(guī)則的幾何外形.通常來說,絕大多數(shù)小天體都是勻速自旋的.在這些勻速自旋的小天體的引力場中,也存在著相對平衡點(diǎn)[35].本文所述的小天體都是指勻速自旋的.一個天體的平衡點(diǎn)是其有效勢的臨界點(diǎn),也就是有效勢的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn).有效勢在數(shù)值上等于引力勢能和旋轉(zhuǎn)勢能之和.以小行星6489 Golevka為例,我們來看引力勢能和旋轉(zhuǎn)勢能是如何組合成有效勢的,取小天體固連坐標(biāo)系,原點(diǎn)為小天體質(zhì)心.圖1給出了小行星6489 Golevka赤道面的引力勢能的影像圖和立體圖,圖2給出了該小行星的旋轉(zhuǎn)勢能的相應(yīng)圖像.從圖1和圖2的立體圖可見,引力勢能和旋轉(zhuǎn)勢能的開口方向相反.引力勢能的立體圖像一座山,且越遠(yuǎn)的地方海拔越接近零.而旋轉(zhuǎn)勢能的立體圖則像一個邊緣無窮延伸的一只大碗一樣,越遠(yuǎn)的地方數(shù)值越大,中心位置處的數(shù)值最小.圖3給出了小行星6489 Golevka赤道面的有效勢的影像圖和立體圖.有效勢作為引力勢能和旋轉(zhuǎn)勢能之和,從圖1~圖3可見,有效勢大致的開口方向和旋轉(zhuǎn)勢能的開口方向相同,但引力勢能和旋轉(zhuǎn)勢能相加后使得中心附近有一定凸起,就像一個盆地中央有一座小山一樣.

        圖1 小行星6489 Golevka赤道面的引力勢能的影像圖和立體圖

        圖2 小行星6489 Golevka赤道面的旋轉(zhuǎn)勢能的影像圖和立體圖

        圖3 小行星6489 Golevka赤道面的有效勢的影像圖和立體圖

        我們可以換個角度來理解引力勢能和旋轉(zhuǎn)勢能的相加成為有效勢.做一個“填坑游戲”.已經(jīng)畫出了旋轉(zhuǎn)勢能的立體圖,旋轉(zhuǎn)勢能的立體圖像一個無限延伸的碗一樣,在旋轉(zhuǎn)勢能上加引力勢能就相當(dāng)于在碗的中心填一鏟子土.原來的大碗只有一個平衡點(diǎn),就在碗底的中央,是碗的最低點(diǎn).而加上一鏟子土以后,原來的唯一的平衡點(diǎn)依然是平衡點(diǎn),只不過從最低點(diǎn)(最小值點(diǎn))變成了局部極大值點(diǎn),同時在局部極大點(diǎn)周圍產(chǎn)生了若干個其他平衡點(diǎn).

        也可以從旋轉(zhuǎn)勢能和引力勢能的梯度來理解平衡點(diǎn).如果記V(r)=W(r)+U(r)為有效勢,其中W(r)為旋轉(zhuǎn)勢能,U(r)為引力勢能,為小天體引力場中的位置矢量.平衡點(diǎn)就是滿足▽V(r)=0的點(diǎn),也就是 ▽W(xué)(r)=?▽U(r)的點(diǎn).因此平衡點(diǎn)就是滿足旋轉(zhuǎn)勢能的梯度和引力勢能的梯度大小相等、方向相反的點(diǎn),換句話說,平衡點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)勢能的梯度和引力勢能的梯度勢均力敵的點(diǎn).事實(shí)上,旋轉(zhuǎn)勢能的梯度大小就等于離心力,引力勢能的梯度的大小就等于萬有引力.平衡點(diǎn)就是引力與離心力相等的點(diǎn).

        3 平衡點(diǎn)有幾個

        由于不同的小天體的自旋速度、形狀等各異,所以不同的小天體的平衡點(diǎn)的位置和穩(wěn)定性不同,就連平衡點(diǎn)的個數(shù)也可能不同[2].那么這幾十萬個小天體的平衡點(diǎn)到底有多少個?有沒有什么規(guī)律呢?我們可以通過畫出小天體旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系來看的有效勢能來了解平衡點(diǎn)的個數(shù).圖 4是一些小行星的平衡點(diǎn)和相對旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的有效勢能在赤道面內(nèi)投影圖,體內(nèi)的平衡點(diǎn)可以從有效勢在赤道面內(nèi)的投影圖中看出.我們可以看到這幾個小行星的平衡點(diǎn)個數(shù)為9,7,5和1.目前已知的小天體中,有5個平衡點(diǎn)的包括 4 Vesta,243 Ida,433 Eros,951 Gaspra,1620 Geographos,1996 HW1,2063 Bacchus,2867 Steins,4769 Castalia,6489 Golevka,25143 Itokawa,52760,彗核 1P/Halley,9P/Tempel1,103P/Hartley2以及大行星的衛(wèi)星 J5 Amalthea,M1 Phobos,N8 Proteus,S9 Phoebe,S16 Prometheus.有7個平衡點(diǎn)的包括216 Kleopatra和1580 Betulia.有1個平衡點(diǎn)的包括 1998 KY26和 54509 YORP.有 9個平衡點(diǎn)的包括101955 Bennu[36].

        圖4 若干小行星的平衡點(diǎn)和相對旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的有效勢能在赤道面內(nèi)投影

        圖4 若干小行星的平衡點(diǎn)和相對旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的有效勢能在赤道面內(nèi)投影(續(xù))

        圖4 若干小行星的平衡點(diǎn)和相對旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的有效勢能在赤道面內(nèi)投影(續(xù))

        可見,小天體平衡點(diǎn)與大行星平衡點(diǎn)有很大不同.如果認(rèn)為大行星是球形,那么每個大行星有無窮多個平衡點(diǎn),包括大行星靜止軌道上的所有點(diǎn)和大行星的質(zhì)心;而小天體平衡點(diǎn)是有限多個,可能是1,5,7,9等.如果考慮大行星的精確引力場,那么每個大行星有5個平衡點(diǎn),其中1個在大行星的體內(nèi)質(zhì)心處;而小天體的平衡點(diǎn)可能是5個,也可能是1個、7個、9個或其他數(shù)字,小天體的體內(nèi)平衡點(diǎn)可能是1個,也可能多于1個.

        下面我們首先不想那些高深的數(shù)學(xué)和浩如煙海的天體力學(xué)知識,不受已有的思維方式限制,避免在前人的思維框架下受到束縛.我們心中只是一張白紙,像小孩一樣,面對這些問題,好奇心促使我們想象和猜測其中的奧秘.我們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字都是奇數(shù),那么小天體的平衡點(diǎn)都是奇數(shù)個嗎?對于平面圓形限制性三體問題來說,有5個平衡點(diǎn);在平面圓形限制性三體問題的兩個大天體之間用一個無質(zhì)量細(xì)直棒來連接,那么這兩個大天體就像一個勻速自旋的不規(guī)則體一樣,在它的引力場中有包括兩個大天體質(zhì)心在內(nèi)的7個相對平衡點(diǎn),是奇數(shù).

        我們做一個思想實(shí)驗(yàn),想象一個不規(guī)則天體的外形、大小和轉(zhuǎn)速等參數(shù)發(fā)生改變.例如從 101955 Bennu變?yōu)?580 Betulia,再變?yōu)?620 Geographos,再變?yōu)?998 KY26.那么平衡點(diǎn)的個數(shù)從9變?yōu)?,再變?yōu)?,然后再變?yōu)?.圖5給出了在轉(zhuǎn)速變化下小行星 216 Kleopatra的會發(fā)生撞在一起相互 “融合”的平衡點(diǎn).初始參數(shù)下,小行星216 Kleopatra有7個相對平衡點(diǎn).在小行星轉(zhuǎn)速增大時,平衡點(diǎn)E3和E6首先發(fā)生融合,此時總的平衡點(diǎn)的個數(shù)變?yōu)?,融合后E3和E6這兩個平衡點(diǎn)消失,只剩下5個平衡點(diǎn)[5].轉(zhuǎn)速進(jìn)一步增大,平衡點(diǎn)E1和E5發(fā)生融合湮滅,平衡點(diǎn)個數(shù)從5變?yōu)?再變?yōu)?.轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大,平衡點(diǎn)E2和E7發(fā)生融合湮滅,最后只剩下1個平衡點(diǎn)E4.

        我們分析參數(shù)變化下平衡點(diǎn)的個數(shù)從一個奇數(shù)變?yōu)榱硪粋€奇數(shù)的過程中,首先是兩個平衡點(diǎn)接近并瞬間融合為1個平衡點(diǎn),這融合后的1個平衡點(diǎn)只存在于一瞬間,此后由于參數(shù)的繼續(xù)變化而消失.正如地表的高度有山峰、山谷和馬鞍狀的山脊,它們都屬于平衡點(diǎn),當(dāng)我們鏟平一個山峰的時候,一定會出現(xiàn)山峰和馬鞍狀的山脊合二為一的情況;當(dāng)我們填滿一個山谷的時候,一定會出現(xiàn)山谷和馬鞍狀的山脊合二為一的情況.這種由兩個不同的平衡點(diǎn)瞬間融合產(chǎn)生的1個平衡點(diǎn)的特性應(yīng)當(dāng)同一般的平衡點(diǎn)不同.

        因此我們猜測在參數(shù)變化下,小天體引力場中的平衡點(diǎn)個數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)的時候,往往會有1個平衡點(diǎn)是融合產(chǎn)生的,它的特性與其他平衡點(diǎn)不同.那么到底哪方面的特性不同呢?我們知道一個力學(xué)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)存在若干個特征值,這些特征值決定了平衡點(diǎn)附近局部運(yùn)動的特性.這里我們回顧特征值的一點(diǎn)知識,繼續(xù)想象.當(dāng)兩個平衡點(diǎn)逐漸接近時,沿著兩個平衡點(diǎn)連線方向的無質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的局部運(yùn)動就會逐漸變?yōu)?“動也不是,不動也不是”的神奇狀況.倘若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動,則運(yùn)動范圍受限,兩個平衡點(diǎn)越來越近;倘若質(zhì)點(diǎn)不運(yùn)動,也不可能,畢竟兩個平衡點(diǎn)的特性有所不同,局部的結(jié)構(gòu)決定了沿著兩個平衡點(diǎn)連線方向的質(zhì)點(diǎn)必須運(yùn)動.隨著兩個平衡點(diǎn)越來越接近,這種矛盾會越來越劇烈,最終當(dāng)兩個平衡點(diǎn)無限接近的時候,沿著兩個平衡點(diǎn)方向的運(yùn)動靜止了,這就對應(yīng)著零特征值的出現(xiàn).因此我們猜測兩個沒有零特征值的平衡點(diǎn)融合產(chǎn)生了一個有零特征值的平衡點(diǎn).在數(shù)學(xué)上,有零特征值的平衡叫做退化平衡點(diǎn),沒有零特征值的平衡叫做非退化平衡點(diǎn).

        圖5 在轉(zhuǎn)速變化下會發(fā)生相互融合的小行星平衡點(diǎn),以小行星216 Kleopatra為例

        通過上述思想實(shí)驗(yàn),我們猜測:小天體引力場中的非退化平衡點(diǎn)的個數(shù)必是奇數(shù).我們嘗試尋找合適的數(shù)學(xué)工具來論證上述猜測是否正確,此時,我們把扔掉的所有的數(shù)學(xué)知識和天體力學(xué)知識一股腦地都撿回來,然后在其中搜索那些可能對于證明我們的猜測是有用的,文獻(xiàn)[5]給出了上述猜測的數(shù)學(xué)證明,證明過程使用了拓?fù)涠壤碚?,對證明過程有興趣的讀者可以進(jìn)一步閱讀.

        下面我們給出文獻(xiàn) [5]的核心結(jié)論.小天體的每個平衡點(diǎn)都有 6個特征值,如果一個小天體引力場中的平衡點(diǎn)個數(shù)為 N,我們把第 i個平衡點(diǎn)記為 Ei,Ei的第 j個特征值記為 λj(Ei),記指標(biāo)文獻(xiàn) [5]提出并證明了下面的恒等式

        從這個恒等式可以知道每一個平衡點(diǎn)都有一個指標(biāo),這個指標(biāo)的值只能是 ?1,0或1.當(dāng)平衡點(diǎn)有零特征值時,指標(biāo)為0.有零特征值的平衡點(diǎn)稱為退化平衡點(diǎn).所以對于非退化平衡點(diǎn)來說,它的指標(biāo)不為0.而且指標(biāo)為1的平衡點(diǎn)的個數(shù)永遠(yuǎn)比指標(biāo)為?1的平衡點(diǎn)的個數(shù)多1個.如果指標(biāo)為?1的平衡點(diǎn)的個數(shù)為k,那么指標(biāo)為1的平衡點(diǎn)的個數(shù)為k+1個,非退化平衡點(diǎn)的個數(shù)則為2k+1.這就說明一個小天體引力場中至少有1個平衡點(diǎn).所以小天體引力場中非退化平衡點(diǎn)的個數(shù)是奇數(shù).對于均質(zhì)球狀的勻速自旋體來說,退化平衡點(diǎn)連接成一個圓,一個例子就是地球靜止軌道.

        對于一般的不規(guī)則天體,文獻(xiàn)[5]給出了參數(shù)變化下,平衡點(diǎn)個數(shù)可以從7個依次變?yōu)?,5,4,3,2,1的算例.當(dāng)平衡點(diǎn)個數(shù)為偶數(shù)的時候,出現(xiàn)了奇數(shù)個退化平衡點(diǎn),因此非退化平衡點(diǎn)的個數(shù)依然是奇數(shù).并且平衡點(diǎn)個數(shù)為偶數(shù)只發(fā)生在參數(shù)漫長變化過程中的一瞬間.

        因此我們知道,小天體引力場中的平衡點(diǎn)個數(shù)可以是奇數(shù),也可以是偶數(shù),甚至可以是無窮多個.小天體引力場中的平衡點(diǎn)的個數(shù)最少為1個.最少有1個非退化的平衡點(diǎn).一個勻速自旋的不規(guī)則體引力場中的非退化平衡點(diǎn)個數(shù)一定是奇數(shù).此外,對于目前已知的小天體來說,由于小天體都具有不規(guī)則的幾何外形,且能達(dá)到使得平衡點(diǎn)個數(shù)為偶數(shù)的情況的參數(shù)只是參數(shù)漫長變化過程中的一瞬間,因此我們觀測到的絕大多數(shù)小天體的平衡點(diǎn)個數(shù)都是奇數(shù)個,都沒有退化平衡點(diǎn).本文介紹的結(jié)論,對于一切勻速自旋體產(chǎn)生的引力場都成立.

        4 結(jié)束語

        天體力學(xué)中關(guān)于限制性三體問題的優(yōu)秀文獻(xiàn)汗牛充棟,但卻沒有文獻(xiàn)質(zhì)疑和解釋平衡點(diǎn)個數(shù)的奇偶性問題.本文介紹的解決問題思路可以推廣到其他的領(lǐng)域,那就是我們在面臨一個新事物的時候,可以嘗試著拋棄已有的理論、知識、方法和思維定式,像一個嬰兒一樣看世界,猜測其中可能的奇妙之處.在發(fā)現(xiàn)或猜想出可能的規(guī)律之后再把原來學(xué)過和沒學(xué)過的理論、知識、方法撿回來,嘗試著論證相關(guān)發(fā)現(xiàn)或猜想.

        近年來,人類發(fā)射了若干個針對小天體的探測器,開展對太陽系小天體的科學(xué)探測.未來我們對小天體的了解越來越多,對于小天體附近的軌道、小天體結(jié)構(gòu)等蘊(yùn)含的力學(xué)問題的認(rèn)識也將越來越深刻.

        1 劉延柱.關(guān)于地月系統(tǒng)的拉格朗日點(diǎn).力學(xué)與實(shí)踐,2015,37(6):765-768

        2 陳立群.穩(wěn)定性漫談.力學(xué)與實(shí)踐,2015,37(1):148-151

        3 Jiang Y,Baoyin HX,Li JF,et al.Orbits and manifolds near the equilibrium points around a rotating asteroid.Astrophysics and Space Science,2014,349(1):83-106

        4 Wang XY,Jiang Y,Gong SP.Analysis of the potential field and equilibrium points of irregular-shaped minor celestial bodies.Astrophysics and Space Science,2014,353(1):105-121

        5 Jiang Y,Baoyin HX,Li HN.Collision and annihilation of relative equilibrium points around asteroids with a changing parameter.Monthly Notices of the Royal Astronomical Society,2015,452(4):3924-3931

        6 Chanut GGT,Winter CO,Amarante A,et al.3D plausible orbital stability close to asteroid(216)Kleopatra.Monthly Notices of the Royal Astronomical Society,2015,452(2):1316-1327

        O317

        A

        10.6052/1000-0879-16-257

        2016-08-09收到第1稿,2016-08-13收到修改稿.

        1)國家自然科學(xué)基金(11572166)和國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973)(2012CB720000)資助項(xiàng)目.

        2)姜宇,博士,主要研究方向?yàn)楹教靹恿W(xué)與控制.E-mail:jiangyuxian china@163.com

        3)李俊峰,教授,主要研究方向?yàn)樯羁仗綔y器動力學(xué)、軌跡設(shè)計(jì)與控制.E-mail:lijunf@tsinghua.edu.cn

        姜宇,李俊峰.小天體平衡點(diǎn)之謎.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(5):509-515

        Jiang Yu,Li Junfeng.The mystery of equilibrium points around minor celestial bodies.Mechanics in Engineering,2017,39(5):509-515

        (責(zé)任編輯:胡 漫)

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