姜 宇 李俊峰 (西安衛(wèi)星測控中心宇航動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710043)(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

小天體平衡點(diǎn)之謎1)

姜 宇?,2)李俊峰?,3)?(西安衛(wèi)星測控中心宇航動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710043)?(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

為了解釋小天體平衡點(diǎn)個數(shù)的內(nèi)在規(guī)律，介紹了小天體引力場中平衡點(diǎn)的一個守恒量，解釋了小天體非退化平衡點(diǎn)個數(shù)是奇數(shù)的原因.通過若干個有代表性的小天體的形狀和相對旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的有效勢能在赤道面內(nèi)投影,形象生動地介紹了具體的小天體平衡點(diǎn)的個數(shù)情況.給出了觀測到的小天體基本都有奇數(shù)個平衡點(diǎn)的數(shù)學(xué)解釋.

小天體，平衡點(diǎn)，引力勢

平衡點(diǎn)[12]是力學(xué)中的一個基本的概念，對于一個物體的運(yùn)動來說，當(dāng)它處在平衡點(diǎn)位置的時候，所受的合外力是零，但未必是穩(wěn)定的.例如一個小球處在光滑碗的碗底和碗沿上，合外力都為零，碗底和碗沿都是這個小球運(yùn)動的平衡點(diǎn).對于這個小球來說，碗沿上的每一個點(diǎn)都是它的平衡點(diǎn)，碗底也是它的一個平衡點(diǎn)，因而光滑碗中的小球運(yùn)動有無窮多個平衡點(diǎn).

1 大行星的平衡點(diǎn)

在太空中，也存在著類似的平衡點(diǎn)[1]，比如地球靜止軌道上的衛(wèi)星，相對于地球表面來說是靜止不動的，這樣的衛(wèi)星就處在地球引力場中的相對平衡點(diǎn)上，雖然在慣性空間來看，地球和地球靜止軌道上的衛(wèi)星都是運(yùn)動的，但它們之間卻是相對靜止的.火星等其他大行星也有靜止軌道.不失一般性，以火星為例，火星靜止軌道上的衛(wèi)星相對于火星表面來說是靜止不動的，火星靜止軌道上的點(diǎn)就是火星的相對平衡點(diǎn).大行星由于質(zhì)量較大，引力足以克服固體應(yīng)力，使大行星達(dá)到流體靜力學(xué)平衡，因此大行星都近似為球形.大行星的平衡點(diǎn)包括其靜止軌道上所有點(diǎn)，以及大行星的質(zhì)心.

地球上有山脈和河流，地球赤道半徑和兩極半徑有所不同.其他大行星如火星表面有峽谷、火山與隕石坑，木星等氣態(tài)行星的外形為兩極扁而赤道鼓.如果考慮大行星的精確的引力場，嚴(yán)格地來說，大行星靜止軌道上只有4個點(diǎn)是平衡點(diǎn).因此，大行星的平衡點(diǎn)實(shí)際上共有5個.

此外，太陽--木星系統(tǒng)中存在特洛伊小行星，這些小行星所處的位置是日--木系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，這樣的平衡點(diǎn)相對于太陽和木星連線是靜止不動的.

2 小天體的平衡點(diǎn)

太陽系中，目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并獲得永久編號的小天體有幾十萬個，這些小天體質(zhì)量較小，自身引力不足以克服固體應(yīng)力，不能達(dá)到流體靜力學(xué)平衡，具有不規(guī)則的幾何外形.通常來說，絕大多數(shù)小天體都是勻速自旋的.在這些勻速自旋的小天體的引力場中，也存在著相對平衡點(diǎn)[35].本文所述的小天體都是指勻速自旋的.一個天體的平衡點(diǎn)是其有效勢的臨界點(diǎn)，也就是有效勢的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn).有效勢在數(shù)值上等于引力勢能和旋轉(zhuǎn)勢能之和.以小行星6489 Golevka為例，我們來看引力勢能和旋轉(zhuǎn)勢能是如何組合成有效勢的，取小天體固連坐標(biāo)系，原點(diǎn)為小天體質(zhì)心.圖1給出了小行星6489 Golevka赤道面的引力勢能的影像圖和立體圖，圖2給出了該小行星的旋轉(zhuǎn)勢能的相應(yīng)圖像.從圖1和圖2的立體圖可見，引力勢能和旋轉(zhuǎn)勢能的開口方向相反.引力勢能的立體圖像一座山，且越遠(yuǎn)的地方海拔越接近零.而旋轉(zhuǎn)勢能的立體圖則像一個邊緣無窮延伸的一只大碗一樣，越遠(yuǎn)的地方數(shù)值越大，中心位置處的數(shù)值最小.圖3給出了小行星6489 Golevka赤道面的有效勢的影像圖和立體圖.有效勢作為引力勢能和旋轉(zhuǎn)勢能之和，從圖1～圖3可見，有效勢大致的開口方向和旋轉(zhuǎn)勢能的開口方向相同，但引力勢能和旋轉(zhuǎn)勢能相加后使得中心附近有一定凸起，就像一個盆地中央有一座小山一樣.

圖1 小行星6489 Golevka赤道面的引力勢能的影像圖和立體圖

圖2 小行星6489 Golevka赤道面的旋轉(zhuǎn)勢能的影像圖和立體圖

圖3 小行星6489 Golevka赤道面的有效勢的影像圖和立體圖

我們可以換個角度來理解引力勢能和旋轉(zhuǎn)勢能的相加成為有效勢.做一個“填坑游戲”.已經(jīng)畫出了旋轉(zhuǎn)勢能的立體圖，旋轉(zhuǎn)勢能的立體圖像一個無限延伸的碗一樣，在旋轉(zhuǎn)勢能上加引力勢能就相當(dāng)于在碗的中心填一鏟子土.原來的大碗只有一個平衡點(diǎn)，就在碗底的中央，是碗的最低點(diǎn).而加上一鏟子土以后，原來的唯一的平衡點(diǎn)依然是平衡點(diǎn)，只不過從最低點(diǎn)(最小值點(diǎn))變成了局部極大值點(diǎn)，同時在局部極大點(diǎn)周圍產(chǎn)生了若干個其他平衡點(diǎn).

也可以從旋轉(zhuǎn)勢能和引力勢能的梯度來理解平衡點(diǎn).如果記V(r)=W(r)+U(r)為有效勢，其中W(r)為旋轉(zhuǎn)勢能，U(r)為引力勢能，為小天體引力場中的位置矢量.平衡點(diǎn)就是滿足▽V(r)=0的點(diǎn)，也就是 ▽W(xué)(r)=?▽U(r)的點(diǎn).因此平衡點(diǎn)就是滿足旋轉(zhuǎn)勢能的梯度和引力勢能的梯度大小相等、方向相反的點(diǎn)，換句話說，平衡點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)勢能的梯度和引力勢能的梯度勢均力敵的點(diǎn).事實(shí)上，旋轉(zhuǎn)勢能的梯度大小就等于離心力，引力勢能的梯度的大小就等于萬有引力.平衡點(diǎn)就是引力與離心力相等的點(diǎn).

3 平衡點(diǎn)有幾個

由于不同的小天體的自旋速度、形狀等各異，所以不同的小天體的平衡點(diǎn)的位置和穩(wěn)定性不同，就連平衡點(diǎn)的個數(shù)也可能不同[2].那么這幾十萬個小天體的平衡點(diǎn)到底有多少個？有沒有什么規(guī)律呢？我們可以通過畫出小天體旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系來看的有效勢能來了解平衡點(diǎn)的個數(shù).圖 4是一些小行星的平衡點(diǎn)和相對旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的有效勢能在赤道面內(nèi)投影圖，體內(nèi)的平衡點(diǎn)可以從有效勢在赤道面內(nèi)的投影圖中看出.我們可以看到這幾個小行星的平衡點(diǎn)個數(shù)為9,7,5和1.目前已知的小天體中，有5個平衡點(diǎn)的包括 4 Vesta,243 Ida,433 Eros,951 Gaspra,1620 Geographos,1996 HW1,2063 Bacchus,2867 Steins,4769 Castalia,6489 Golevka,25143 Itokawa,52760，彗核 1P/Halley,9P/Tempel1,103P/Hartley2以及大行星的衛(wèi)星 J5 Amalthea,M1 Phobos,N8 Proteus,S9 Phoebe,S16 Prometheus.有7個平衡點(diǎn)的包括216 Kleopatra和1580 Betulia.有1個平衡點(diǎn)的包括 1998 KY26和 54509 YORP.有 9個平衡點(diǎn)的包括101955 Bennu[36].

圖4 若干小行星的平衡點(diǎn)和相對旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的有效勢能在赤道面內(nèi)投影

圖4 若干小行星的平衡點(diǎn)和相對旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的有效勢能在赤道面內(nèi)投影(續(xù))

圖4 若干小行星的平衡點(diǎn)和相對旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的有效勢能在赤道面內(nèi)投影(續(xù))

可見，小天體平衡點(diǎn)與大行星平衡點(diǎn)有很大不同.如果認(rèn)為大行星是球形，那么每個大行星有無窮多個平衡點(diǎn)，包括大行星靜止軌道上的所有點(diǎn)和大行星的質(zhì)心；而小天體平衡點(diǎn)是有限多個，可能是1,5,7,9等.如果考慮大行星的精確引力場，那么每個大行星有5個平衡點(diǎn)，其中1個在大行星的體內(nèi)質(zhì)心處；而小天體的平衡點(diǎn)可能是5個，也可能是1個、7個、9個或其他數(shù)字，小天體的體內(nèi)平衡點(diǎn)可能是1個，也可能多于1個.

下面我們首先不想那些高深的數(shù)學(xué)和浩如煙海的天體力學(xué)知識，不受已有的思維方式限制，避免在前人的思維框架下受到束縛.我們心中只是一張白紙，像小孩一樣，面對這些問題，好奇心促使我們想象和猜測其中的奧秘.我們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字都是奇數(shù)，那么小天體的平衡點(diǎn)都是奇數(shù)個嗎？對于平面圓形限制性三體問題來說，有5個平衡點(diǎn)；在平面圓形限制性三體問題的兩個大天體之間用一個無質(zhì)量細(xì)直棒來連接，那么這兩個大天體就像一個勻速自旋的不規(guī)則體一樣，在它的引力場中有包括兩個大天體質(zhì)心在內(nèi)的7個相對平衡點(diǎn)，是奇數(shù).

我們做一個思想實(shí)驗(yàn)，想象一個不規(guī)則天體的外形、大小和轉(zhuǎn)速等參數(shù)發(fā)生改變.例如從 101955 Bennu變?yōu)?580 Betulia，再變?yōu)?620 Geographos，再變?yōu)?998 KY26.那么平衡點(diǎn)的個數(shù)從9變?yōu)?，再變?yōu)?，然后再變?yōu)?.圖5給出了在轉(zhuǎn)速變化下小行星 216 Kleopatra的會發(fā)生撞在一起相互 “融合”的平衡點(diǎn).初始參數(shù)下，小行星216 Kleopatra有7個相對平衡點(diǎn).在小行星轉(zhuǎn)速增大時，平衡點(diǎn)E3和E6首先發(fā)生融合，此時總的平衡點(diǎn)的個數(shù)變?yōu)?，融合后E3和E6這兩個平衡點(diǎn)消失，只剩下5個平衡點(diǎn)[5].轉(zhuǎn)速進(jìn)一步增大，平衡點(diǎn)E1和E5發(fā)生融合湮滅，平衡點(diǎn)個數(shù)從5變?yōu)?再變?yōu)?.轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，平衡點(diǎn)E2和E7發(fā)生融合湮滅，最后只剩下1個平衡點(diǎn)E4.

我們分析參數(shù)變化下平衡點(diǎn)的個數(shù)從一個奇數(shù)變?yōu)榱硪粋€奇數(shù)的過程中，首先是兩個平衡點(diǎn)接近并瞬間融合為1個平衡點(diǎn)，這融合后的1個平衡點(diǎn)只存在于一瞬間，此后由于參數(shù)的繼續(xù)變化而消失.正如地表的高度有山峰、山谷和馬鞍狀的山脊，它們都屬于平衡點(diǎn)，當(dāng)我們鏟平一個山峰的時候，一定會出現(xiàn)山峰和馬鞍狀的山脊合二為一的情況；當(dāng)我們填滿一個山谷的時候，一定會出現(xiàn)山谷和馬鞍狀的山脊合二為一的情況.這種由兩個不同的平衡點(diǎn)瞬間融合產(chǎn)生的1個平衡點(diǎn)的特性應(yīng)當(dāng)同一般的平衡點(diǎn)不同.

因此我們猜測在參數(shù)變化下，小天體引力場中的平衡點(diǎn)個數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)的時候，往往會有1個平衡點(diǎn)是融合產(chǎn)生的，它的特性與其他平衡點(diǎn)不同.那么到底哪方面的特性不同呢？我們知道一個力學(xué)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)存在若干個特征值，這些特征值決定了平衡點(diǎn)附近局部運(yùn)動的特性.這里我們回顧特征值的一點(diǎn)知識，繼續(xù)想象.當(dāng)兩個平衡點(diǎn)逐漸接近時，沿著兩個平衡點(diǎn)連線方向的無質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的局部運(yùn)動就會逐漸變?yōu)?“動也不是，不動也不是”的神奇狀況.倘若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動，則運(yùn)動范圍受限，兩個平衡點(diǎn)越來越近；倘若質(zhì)點(diǎn)不運(yùn)動，也不可能，畢竟兩個平衡點(diǎn)的特性有所不同，局部的結(jié)構(gòu)決定了沿著兩個平衡點(diǎn)連線方向的質(zhì)點(diǎn)必須運(yùn)動.隨著兩個平衡點(diǎn)越來越接近，這種矛盾會越來越劇烈，最終當(dāng)兩個平衡點(diǎn)無限接近的時候，沿著兩個平衡點(diǎn)方向的運(yùn)動靜止了，這就對應(yīng)著零特征值的出現(xiàn).因此我們猜測兩個沒有零特征值的平衡點(diǎn)融合產(chǎn)生了一個有零特征值的平衡點(diǎn).在數(shù)學(xué)上，有零特征值的平衡叫做退化平衡點(diǎn)，沒有零特征值的平衡叫做非退化平衡點(diǎn).

圖5 在轉(zhuǎn)速變化下會發(fā)生相互融合的小行星平衡點(diǎn)，以小行星216 Kleopatra為例

通過上述思想實(shí)驗(yàn)，我們猜測：小天體引力場中的非退化平衡點(diǎn)的個數(shù)必是奇數(shù).我們嘗試尋找合適的數(shù)學(xué)工具來論證上述猜測是否正確，此時，我們把扔掉的所有的數(shù)學(xué)知識和天體力學(xué)知識一股腦地都撿回來，然后在其中搜索那些可能對于證明我們的猜測是有用的，文獻(xiàn)[5]給出了上述猜測的數(shù)學(xué)證明，證明過程使用了拓?fù)涠壤碚?，對證明過程有興趣的讀者可以進(jìn)一步閱讀.

下面我們給出文獻(xiàn) [5]的核心結(jié)論.小天體的每個平衡點(diǎn)都有 6個特征值，如果一個小天體引力場中的平衡點(diǎn)個數(shù)為 N，我們把第 i個平衡點(diǎn)記為 Ei，Ei的第 j個特征值記為 λj(Ei)，記指標(biāo)文獻(xiàn) [5]提出并證明了下面的恒等式

從這個恒等式可以知道每一個平衡點(diǎn)都有一個指標(biāo)，這個指標(biāo)的值只能是 ?1,0或1.當(dāng)平衡點(diǎn)有零特征值時，指標(biāo)為0.有零特征值的平衡點(diǎn)稱為退化平衡點(diǎn).所以對于非退化平衡點(diǎn)來說，它的指標(biāo)不為0.而且指標(biāo)為1的平衡點(diǎn)的個數(shù)永遠(yuǎn)比指標(biāo)為?1的平衡點(diǎn)的個數(shù)多1個.如果指標(biāo)為?1的平衡點(diǎn)的個數(shù)為k，那么指標(biāo)為1的平衡點(diǎn)的個數(shù)為k+1個，非退化平衡點(diǎn)的個數(shù)則為2k+1.這就說明一個小天體引力場中至少有1個平衡點(diǎn).所以小天體引力場中非退化平衡點(diǎn)的個數(shù)是奇數(shù).對于均質(zhì)球狀的勻速自旋體來說，退化平衡點(diǎn)連接成一個圓，一個例子就是地球靜止軌道.

對于一般的不規(guī)則天體，文獻(xiàn)[5]給出了參數(shù)變化下，平衡點(diǎn)個數(shù)可以從7個依次變?yōu)?,5,4,3,2,1的算例.當(dāng)平衡點(diǎn)個數(shù)為偶數(shù)的時候，出現(xiàn)了奇數(shù)個退化平衡點(diǎn)，因此非退化平衡點(diǎn)的個數(shù)依然是奇數(shù).并且平衡點(diǎn)個數(shù)為偶數(shù)只發(fā)生在參數(shù)漫長變化過程中的一瞬間.

因此我們知道，小天體引力場中的平衡點(diǎn)個數(shù)可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)，甚至可以是無窮多個.小天體引力場中的平衡點(diǎn)的個數(shù)最少為1個.最少有1個非退化的平衡點(diǎn).一個勻速自旋的不規(guī)則體引力場中的非退化平衡點(diǎn)個數(shù)一定是奇數(shù).此外，對于目前已知的小天體來說，由于小天體都具有不規(guī)則的幾何外形，且能達(dá)到使得平衡點(diǎn)個數(shù)為偶數(shù)的情況的參數(shù)只是參數(shù)漫長變化過程中的一瞬間，因此我們觀測到的絕大多數(shù)小天體的平衡點(diǎn)個數(shù)都是奇數(shù)個，都沒有退化平衡點(diǎn).本文介紹的結(jié)論，對于一切勻速自旋體產(chǎn)生的引力場都成立.

4 結(jié)束語

天體力學(xué)中關(guān)于限制性三體問題的優(yōu)秀文獻(xiàn)汗牛充棟，但卻沒有文獻(xiàn)質(zhì)疑和解釋平衡點(diǎn)個數(shù)的奇偶性問題.本文介紹的解決問題思路可以推廣到其他的領(lǐng)域，那就是我們在面臨一個新事物的時候，可以嘗試著拋棄已有的理論、知識、方法和思維定式，像一個嬰兒一樣看世界，猜測其中可能的奇妙之處.在發(fā)現(xiàn)或猜想出可能的規(guī)律之后再把原來學(xué)過和沒學(xué)過的理論、知識、方法撿回來，嘗試著論證相關(guān)發(fā)現(xiàn)或猜想.

近年來，人類發(fā)射了若干個針對小天體的探測器，開展對太陽系小天體的科學(xué)探測.未來我們對小天體的了解越來越多，對于小天體附近的軌道、小天體結(jié)構(gòu)等蘊(yùn)含的力學(xué)問題的認(rèn)識也將越來越深刻.

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2 陳立群.穩(wěn)定性漫談.力學(xué)與實(shí)踐,2015,37(1):148-151

3 Jiang Y,Baoyin HX,Li JF,et al.Orbits and manifolds near the equilibrium points around a rotating asteroid.Astrophysics and Space Science,2014,349(1):83-106

4 Wang XY,Jiang Y,Gong SP.Analysis of the potential field and equilibrium points of irregular-shaped minor celestial bodies.Astrophysics and Space Science,2014,353(1):105-121

5 Jiang Y,Baoyin HX,Li HN.Collision and annihilation of relative equilibrium points around asteroids with a changing parameter.Monthly Notices of the Royal Astronomical Society,2015,452(4):3924-3931

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O317

A

10.6052/1000-0879-16-257

2016-08-09收到第1稿，2016-08-13收到修改稿.

1)國家自然科學(xué)基金(11572166)和國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973)(2012CB720000)資助項(xiàng)目.

2)姜宇，博士，主要研究方向?yàn)楹教靹恿W(xué)與控制.E-mail：jiangyuxian china@163.com

3)李俊峰，教授，主要研究方向?yàn)樯羁仗綔y器動力學(xué)、軌跡設(shè)計(jì)與控制.E-mail:lijunf@tsinghua.edu.cn

姜宇，李俊峰.小天體平衡點(diǎn)之謎.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(5):509-515

Jiang Yu,Li Junfeng.The mystery of equilibrium points around minor celestial bodies.Mechanics in Engineering,2017,39(5):509-515

(責(zé)任編輯:胡 漫)