呂艷瑞 李令強

(聊城大學 數(shù)學科學學院，山東 聊城 252059)

模糊子集的(λ,μ)-限制生成的模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)①

呂艷瑞 李令強

(聊城大學 數(shù)學科學學院，山東 聊城 252059)

對環(huán)的任意模糊子集A和一對實數(shù)0≤λ<μ≤1,定義了A的(λ,μ)-限制,構(gòu)造了其生成的模糊子(半)環(huán)與模糊理想.

模糊子環(huán), 模糊理想, 生成模糊子環(huán), 生成模糊理想

0 引言

1965年,為了處理對象信息的不確定性, Zadeh[1]采用隸屬度方法來描述點對集的隸屬關(guān)系,引入了模糊集的概念. 1971年, Rosenfeld[2]把這種方法引入代數(shù), 提出了模糊群的概念. 隨后,人們也把環(huán)和理想等代數(shù)結(jié)構(gòu)推廣到了模糊領域中. 2008年,姚炳學教授在其專著[3]中詳細地介紹了群與環(huán)的模糊理論. 特別的,對任意一對實數(shù)0≤λ<μ≤1,姚炳學教授引入了(λ,μ)-模糊群、(λ,μ)-模糊環(huán)和(λ,μ)-模糊理想等模糊代數(shù)結(jié)構(gòu). Rosenfeld的模糊群可以看做(0,1)-模糊群.所以,(λ,μ)-模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)是一種更廣泛的模糊結(jié)構(gòu).近年來,人們對(λ,μ)-模糊代數(shù)的研究逐漸展開,取得了一些有意義的成果[4-10]. 對環(huán)的任意模糊集A,本文將定義A的(λ,μ)-限制,并構(gòu)造其生成的模糊子(半)環(huán)與模糊理想.

1 預備知識

本文中R=(R,+,·)表示一個環(huán),N為自然數(shù),λ,μ為常數(shù)且0≤λ<μ≤1.若A,B為環(huán)R的模糊子集,定義模糊子集A+B,A-B,A·B,-A如下:?x∈R,

(A+B)(x)=∨{A(y)∧B(z)|x=y+z},(A-B)(x)=∨{A(y)∧B(z)|x=y-z},
(A·B)(x)=∨{A(y)∧B(z)|x=y·z},(-A)(x)=A(-x).

另外,稱A包含于B,記作A?B若:?x∈R,A(x)≤B(x).

定義1[3]設A為環(huán)R的模糊子集.

若A滿足:?x,y∈R,A(x+y)≥A(x)∧A(y),A(-x)≥A(x),則稱A為環(huán)R的模糊子加群;

若A滿足:?x,y∈R,A(x+y)≥A(x)∧A(y),A(xy)≥A(x)∧A(y),則稱A為環(huán)R的模糊子半環(huán);

若A滿足:?x,y∈R,A(x+y)≥A(x)∧A(y),A(xy)≥A(x)∧A(y),A(-x)≥A(x),則稱A為環(huán)R的模糊子環(huán).

定義2[3]設A為環(huán)R的模糊子集. 若任取x,y∈R

A(x+y)∨λ≥(A(x)∧A(y))∧μ,A(xy)∨λ≥(A(x)∧A(y))∧μ,

則稱A為環(huán)R的一個(λ,μ)-模糊子半環(huán).

定義3[3]設A為環(huán)R的模糊子半環(huán). 若任取x,y∈R,A(-x)∨λ≥A(x)∧μ,則稱A為環(huán)R的一個(λ,μ)-模糊子環(huán). 顯然,A為(λ,μ)-模糊子環(huán)的充要條件為:?x,y∈R,

A(x-y)∨λ≥(A(x)∧A(y))∧μ,A(xy)∨λ≥(A(x)∧A(y))∧μ.

定義4[3]設A為環(huán)R的模糊子集. 若任取x,y∈R,

A(x-y)∨λ≥(A(x)∧A(y))∧μ,A(xy)∨λ≥(A(x)∨A(y))∧μ,

則稱A為環(huán)R的一個(λ,μ)-模糊理想.

2 模糊子集的(λ,μ)-限制生成的模糊子(半)環(huán)與模糊理想

定理1 設A為環(huán)R的模糊子(半)環(huán)、模糊理想,則A為R的(λ,μ)-模糊子(半)環(huán)、模糊理想.

證明文獻[3]利用模糊集的截集證明了該結(jié)論,我們直接用定義來證明. 以模糊子半環(huán)為例, 其它情形類似. 任取x,y∈R,由A為R的模糊子半環(huán)得

A(x+y)∨λ≥(A(x)∧A(y))∨λ=(A(x)∨λ)∧(A(y)∨λ)
≥(A(x)∧μ)∧(A(y)∧μ)=A(x)∧A(y)∧μ.
A(xy)∨λ≥(A(x)∧A(y))∨λ=(A(x)∨λ)∧(A(y)∨λ)
≥(A(x)∧μ)∧(A(y)∧μ)=A(x)∧A(y)∧μ.

綜上,A為R的(λ,μ)-模糊子半環(huán).

定理2 設A為環(huán)R的模糊子集, 則如下定義的模糊子集(A)

是環(huán)R的一個模糊子半環(huán), 當然也是(λ,μ)-模糊子半環(huán).

證明任取x,y∈R,有

因此,(A)是R的模糊子半環(huán).

定義6 設A為環(huán)R的模糊子集, 稱(A)為A的(λ,μ)-限制生成的模糊子半環(huán).

定理6 設A為環(huán)R的模糊子集, 則如下定義的模糊集[A]

是環(huán)R的一個模糊理想, 當然也是(λ,μ)-模糊理想.

證明任取x,y∈R,有

同理可得,[A](xy)≥[A](y),故[A](xy)≥[A](x)∨[A](y).綜上,[A]是R的模糊理想.

所以

定義8 設A是環(huán)R的模糊子集, 稱[A]為A的(λ,μ)-限制生成的模糊理想.

3 結(jié)語

本文對環(huán)的任意模糊子集A,構(gòu)造了包含其(λ,μ)-限制的最小模糊子(半)環(huán)和模糊理想.值得注意的是,任意一族(λ,μ)-模糊子(半)環(huán)和(λ,μ)-模糊理想的交仍然是(λ,μ)-模糊子(半)環(huán)和(λ,μ)-模糊理想,且最大的模糊子集,即取常值1的模糊子集是(λ,μ)-模糊子(半)環(huán)和(λ,μ)-模糊理想. 所以, 對環(huán)的任意模糊子集A, 存在包含A的最小的(λ,μ)-模糊子(半)環(huán)和(λ,μ)-模糊理想. 我們將在稍后的工作中對此展開討論.

[1] Zadeh L A. Fuzzy sets[J]. Inform and Control， 1965, 8(1): 338-353.

[2] Rosenfeld A. Fuzzy groups[J]. Math Anal Appl， 1971, 35: 512-517.

[3] 姚炳學.群與環(huán)上的模糊理論[M].北京:科學出版社,2008.

[4] Yao B X .(λ,μ)- fuzzy normal subgroups and(λ,μ)-fuzzy quotient subgroups[J]. The Journal of Fuzzy Mathematics, 2005, 13: 695-705.

[5] Yao B X .(λ,μ)-fuzzy subrings and(λ,μ)-fuzzy ideals[J]. The Journal of Fuzzy Mathematics, 2007, 15:981-987.

[6] 劉俊蘭,姚炳學.模糊同態(tài)下的(λ,μ)-模糊子環(huán)[J]. 聊城大學學報:自然科學版,2010,23(1): 14-16.

[7] 李玉瑛,王緒柱.(λ,μ)-模糊子群的運算[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2014,28(2):46-51.

[8] 郝翠霞,姚炳學.(λ,μ)-商模糊子群及其同構(gòu)定理[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2015,29(1): 35-42.

[9] 周峰,姚炳學.(λ,μ)-模糊軟環(huán)與(λ,μ)-模糊軟理想[J].河南科技大學學報:自然科學版,2015, 36(5):97-99.

[10] 王爽.環(huán)上的(λ,μ)-模糊n偽理想與(λ,μ)-模糊擬理想[J].聊城大學學報:自然科學版, 2016,29(3):5-7.

TheFuzzyAlgebraicStructureGeneratedby(λ,μ)-RestrictionofFuzzySubsets

LV Yan-rui LI Ling-qiang

(School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng 252059, China)

For arbitrary fuzzy subsetofAof a ring and a pair of real numbers (λ,μ) with 0≤λ<μ≤1, the notion of restriction ofAis defined; and then the fuzzy subrings (subsemi-rings) and fuzzy ideals generated by the restriction are constructed, respectively.

fuzzy subring，fuzzy iedal，(λ,μ)-fuzzy subring，(λ,μ)-fuzzy ideal

2017-05-08

國家自然科學基金項目(11501278)資助

李令強，E-mail：lilingqiang@126.com.

O153

A

1672-6634(2017)03-0012-05