汪 波 黃建玲 牛 豐

城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)末班車銜接優(yōu)化模型*

汪 波1，2黃建玲1，2牛 豐3

（1.北京市交通信息中心，100073，北京；2.綜合交通運(yùn)行監(jiān)測與服務(wù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，100073，北京；3.中國鐵路總公司，100844，北京//第一作者，教授級高級工程師）

城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營結(jié)束階段，末班車在路網(wǎng)換乘站內(nèi)能否實(shí)現(xiàn)合理地銜接，最能體現(xiàn)出以人為本的客運(yùn)服務(wù)以及科學(xué)高效的運(yùn)營秩序。根據(jù)城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)特點(diǎn)，提出了城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)末班車銜接編制的原則。從站間列車運(yùn)行時(shí)間約束、線間列車換乘銜接、末班列車線間銜接目標(biāo)等角度，研究了軌道交通網(wǎng)絡(luò)末班車銜接優(yōu)化量化方法，建立了網(wǎng)絡(luò)末班列車銜接優(yōu)化模型。以北京軌道交通城區(qū)1號線、2號線和5號線局部路網(wǎng)為實(shí)例，編制了網(wǎng)絡(luò)末班列車的優(yōu)化時(shí)刻表。算例結(jié)果表明，模型及其優(yōu)化算法可行，對路網(wǎng)運(yùn)輸計(jì)劃編制工作有較強(qiáng)的實(shí)用性。

城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)；末班車計(jì)劃；列車銜接；多目標(biāo)線性規(guī)劃

由于城市軌道交通（以下簡為“軌道交通”）網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，制定和優(yōu)化首、末班車的銜接具有很大的難度，需要結(jié)合網(wǎng)絡(luò)實(shí)際運(yùn)營情況進(jìn)行詳細(xì)分析。在路網(wǎng)換乘站內(nèi)，相比首班車銜接，末班車是否能合理銜接對乘客出行的影響更大。

1 軌道交通網(wǎng)絡(luò)末班車確定原則

軌道交通網(wǎng)絡(luò)換乘站不同線路任何兩個(gè)方向間都存在換乘可能，n條線路相交換乘站銜接的換乘方向數(shù)為4n（n-1）。即：2線換乘車站有8個(gè)換乘方向，3線換乘車站的換乘方向?qū)⒍噙_(dá)24個(gè)［1-2］。由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，以及列車運(yùn)行的連續(xù)性，一條線路的末班車開出后，在某換乘站某換乘方向上，乘客能換乘他線列車，但是在該換乘站的其他換乘方向、列車運(yùn)行依次經(jīng)過的其他換乘站，乘客不一定能成功換乘［2］。為降低軌道交通網(wǎng)絡(luò)末班車銜接的難度，可根據(jù)城市居民生活特征、道路交通運(yùn)行情況及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，事先確定如下末班車銜接的原則。

（1）末班車時(shí)段，軌道交通客流流向主要是市內(nèi)往郊區(qū)方向，末班車銜接應(yīng)滿足市區(qū)乘客向市郊方向出行。

（2）根據(jù)客流規(guī)律確定各區(qū)域末班車的發(fā)車時(shí)間范圍。以北京軌道交通為例，末班車發(fā)車時(shí)間不應(yīng)早于 22：30，市區(qū)線不宜晚于24：00，市郊線不宜晚于 23：00。

（3）合理確定特殊線路與路網(wǎng)其他線的銜接方案，如機(jī)場線、新開通線路可暫不考慮與路網(wǎng)其他列車的末班車銜接［3］。

2 軌道交通網(wǎng)絡(luò)末班車銜接的影響因素

末班車的制定除需考慮列車出發(fā)、到達(dá)等時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)外，還要考慮各線列車間乘客的換乘走行時(shí)間，形成良好換乘。這些時(shí)間要素構(gòu)成了影響軌道交通網(wǎng)絡(luò)末班車能否銜接的重要因素。

軌道交通末班車制定的影響因素主要有各線列車的末班車到達(dá)和發(fā)車時(shí)刻、區(qū)間運(yùn)行時(shí)間、站停時(shí)間以及各換乘站不同換乘方向的乘客換乘走行時(shí)間等。具體表示如下。

（1） tarr，up，ij表示第 i條線上行方向的末班列車到第j站的時(shí)刻，其中，up代表上行（下同）；

（2） tarr，down，ij表示第 i條線下行方向的末班列車到第j站的時(shí)刻，其中，down代表下行（下同）；

（3） Δtrun，up，ij為第 i條線上行方向列車從第 j-1站到第j站的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間；

（4） Δtrun，down，ij為第 i條線下行方向列車從第 j-1站到第j站的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間；

（5）Δtstop，ij表示第 i條線的列車在第 j站的站停時(shí)間（上下行相等）；

（6） tdepart，up，ij表示第 i條線上行方向的末班列車在第j站的發(fā)車時(shí)刻；

（7） tdepart，down，ij表示第 i條線下行方向的末班列車在第j站的發(fā)車時(shí)刻；

（8）ΔTi表示第i條線的發(fā)車時(shí)間間隔；

（9）Δttrans，jp表示第j站兩條線之間某換乘方向p的乘客換乘走行時(shí)間。

列車到站時(shí)間、站停時(shí)間、運(yùn)行時(shí)間及離站時(shí)間有以下關(guān)系：

為便于研究，本文引入車站換乘冗余時(shí)間概念，其含義為乘客在換乘站某換乘方向平p經(jīng)過換乘走行后，仍可實(shí)現(xiàn)換乘的富余時(shí)間，用Δtjp表示。以路網(wǎng)中A線上行方向換乘B線下行方向?yàn)槔瑩Q乘冗余時(shí)間可表示為：

本文中，各線始發(fā)站末班車時(shí)間為列車發(fā)車時(shí)刻，中間站末班車時(shí)間為列車到達(dá)時(shí)刻。

3 軌道交通網(wǎng)絡(luò)末班車銜接優(yōu)化模型

設(shè)軌道交通網(wǎng)絡(luò)有 A、B、C、D、E、F 共 6條線，各線間僅有兩兩換乘車站，共9個(gè)換乘站（見圖1），換乘站的集合為S。則：

圖1 軌道交通網(wǎng)絡(luò)示意圖

以地鐵A線與D線的換乘站“1”為例，兩線相交共有8個(gè)換乘方向，見圖2。首班車情況下，不管列車的銜接情況如何，乘客總能等到換乘A線列車的到來。而對于末班車來說，當(dāng)錯(cuò)過換乘線列車時(shí)將無法再乘到車，因此二者之間有一定的區(qū)別。

圖2 換乘站換乘銜接方向示意圖

3.1 站間列車運(yùn)行時(shí)間約束

通常情況下，軌道交通列車出發(fā)后在站間的運(yùn)行時(shí)間及在每站的站停時(shí)間都是固定的。例如，當(dāng)D線上行列車到達(dá)換乘站1的時(shí)刻確定后，列車到達(dá)換乘站2、換乘站3的時(shí)刻均可通過下式計(jì)算：

同樣，對于D線下行的列車有：

記L為路網(wǎng)中線路的集合，本例中L=｛A，B，C，D，E，F(xiàn)｝。

記Si為路網(wǎng)中i線上的換乘站。則有：

D 線上的換乘站的集合為 SD，SD=｛1，2，3｝，則有：

其中，i∈L； j， j-1∈Si。

3.2 線間列車換乘銜接約束

研究線間列車換乘銜接是網(wǎng)絡(luò)末班車銜接優(yōu)化的重點(diǎn)，本文以圖2中換乘方向（3）、（6）的情況為例進(jìn)行研究。由A線上行列車與D線下行方向列車換乘銜接關(guān)系，兩種情況可以表示為：

銜接情況如圖3所示。

從圖 3中可以看出，由于 Δt1（3）＞ 0，所以 A 線上行方向列車可成功換乘D線下行方向列車；而Δt1（6）＜0，表示乘客無法由D線下行方向列車成功換乘A線上線方向列車。

令TA1、TA′1分別表示列車在1站的到達(dá)時(shí)間矢量，則：

以ΔTR1表示乘客在1站各個(gè)換乘方向的換乘走行時(shí)間矢量，則：

以ΔTX表示乘客在1站各個(gè)換乘方向的換乘冗余時(shí)間矢量，則：

以ΔTS1為各列車在1站的站停時(shí)間矢量，則：

綜上，車站1各換乘方向列車的銜接關(guān)系方程為：

圖1中其他8個(gè)換乘站可用同樣的方法表示。針對路網(wǎng)換乘站末班車銜接關(guān)系的方程為：

圖3 車站1部分末班車換乘銜接方向示意圖

3.3 軌道交通網(wǎng)絡(luò)末班車銜接優(yōu)化模型表述

一個(gè)兩線的換乘站共有8個(gè)換乘方向，不可能保證每個(gè)換乘方向的要求都能得到同等程度的滿足，可根據(jù)8個(gè)方向的客流分布、銜接方向性質(zhì)等實(shí)際情況，確定8個(gè)方向的重要程度［4-5］。

按照上述討論的順序，依次標(biāo)識換乘車站j中8個(gè)方向的權(quán)重為ωj（1），ωj（2），…，ωj（8），以矢量表示為：

從3.2節(jié)分析可得到以下結(jié)論：當(dāng)Δtjp＜0時(shí)，表明在換乘站j的p換乘方向換乘失敗，當(dāng)Δtjp＞0時(shí)，表明在換乘站j的p換乘方向換乘成功；若要保證重要（客流量較大）的換乘方向換乘成功，則其相反方向一定不能換成成功（如圖2所示（1）、（6）兩個(gè)換乘方向），如果 ω1（1）≥ 0，那么 ω1（6）=0。

記δjp為0、1變量，表示首班車各換乘方向是否能夠換乘成功。當(dāng)δjp=1時(shí)，表明在換乘站j的p換乘方向換乘成功；當(dāng)δjp=0時(shí)，表明在換乘站j的p換乘方向換乘失敗。即：

若考慮換乘站j的各個(gè)換乘方向p的重要度不同，可將δjp乘以其權(quán)重ωjp，以此來盡量保證重要的換乘方向能夠換乘成功。

軌道交通路網(wǎng)末班車優(yōu)化的目標(biāo)有兩個(gè)。首先，盡量保證主要換乘方向能夠換乘成功；此外，在實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)后，需盡量減少乘客在末班車之間換乘的等待時(shí)間，即讓列車盡可能在差不多的時(shí)間到達(dá)某換乘站，這樣將會(huì)節(jié)約列車的運(yùn)營成本。軌道交通網(wǎng)絡(luò)的末班車銜接優(yōu)化模型為：

式中：

ΔTXj——乘客在第j個(gè)換乘站從到達(dá)換乘站臺(tái)候車至上車離開的乘客等待冗余時(shí)間矢量，j表示路網(wǎng)的換乘站，j∈S；

TA，j，TA′j——第j個(gè)換乘站各線列車的到達(dá)時(shí)刻矢量，j∈S；

ΔTRj——乘客在第j個(gè)換乘站的換乘走行時(shí)間；

ΔTSj——某次列車在換乘站j的站停時(shí)間，j∈S；

tarr，up，ij，tarr，down，ij——分別表示i線上行、下行列車到達(dá)j站的時(shí)刻，i表示路網(wǎng)中的某條線路，i∈L，j∈Si，∪Si=S；

Δtstop，ij——i線列車在j站的站停時(shí)間，i∈L，j∈S；

Δtrun，ij——i線列車從j站前一站到j(luò)站的運(yùn)行時(shí)間，i∈L，j∈S。

4 軌道交通網(wǎng)絡(luò)末班車銜接案例分析

選擇北京軌道交通1、2、5號線及其5個(gè)換乘站進(jìn)行末班車的銜接分析。3條線及換乘站的分布如圖4所示。

圖4 1、2、5號線網(wǎng)絡(luò)及末班車主要換乘方向示意圖

記 L 為路網(wǎng)中線的集合，L=｛1，2，5｝；S 為路網(wǎng)換乘站的集合，S=｛F，D，J，Y，C｝，其中 F 為復(fù)興門站，D為東單站，J為建國門站，Y為雍和宮站，C為崇文門站。箭頭為主要考慮銜接方向。

1、2、5號線的運(yùn)行時(shí)間及換乘站站停時(shí)間如表1～6所示。

取任何站內(nèi)線線間的乘客換乘走行時(shí)間為120 s。模型先計(jì)算保證各主要換乘方向能換乘的最優(yōu)解，再計(jì)算此條件下的最優(yōu)方案（乘客等待時(shí)間最少）。

本文采用軌道交通網(wǎng)絡(luò)末班車優(yōu)化銜接模型，運(yùn)用lingo9.0算得相對列車末班車時(shí)刻表，如表7所示。

表1 1號線運(yùn)行時(shí)間

表2 1號線換乘站站停時(shí)間

表3 2號線運(yùn)行時(shí)間

表4 2號線換乘站站停時(shí)間

表5 5號線運(yùn)行時(shí)間

表6 5號線換乘站站停時(shí)間

由表7可知，1號線的上行方向始發(fā)時(shí)刻最早，即蘋果園站的始發(fā)時(shí)刻最早。根據(jù)末班車確定原則，末班車發(fā)車時(shí)間不早于10∶30∶00，所以定1號線末班車蘋果園站的發(fā)車時(shí)刻為10∶30，其他車站末班車時(shí)刻如表8及圖5所示。

表7 末班車始發(fā)及到達(dá)各換乘站相對時(shí)刻表

表8 末班車始發(fā)及到達(dá)各換乘站時(shí)刻表

根據(jù)表8可算出末班車主要換乘方向銜接結(jié)果，如表9所示。當(dāng)最大候車時(shí)間＞0時(shí)，表明該方向可實(shí)現(xiàn)末班車的換乘。

5 結(jié)語

軌道交通網(wǎng)絡(luò)中線路和換乘站的增加，帶來了各線之間列車銜接困難的問題，體現(xiàn)在每天的首末班車時(shí)段，即存在首班車等待過久、末班車不能換乘，尤其是保證各線間末班車的換乘銜接變得非常困難。

本文提出軌道交通網(wǎng)絡(luò)末班車原則，應(yīng)結(jié)合各換乘站不同方向的換乘量，先確定路網(wǎng)中需銜接的換乘站和換乘方向，再確定線路各站的末班車時(shí)間。一個(gè)2線換乘站有多個(gè)換乘方向，不可能保證每個(gè)換乘方向的要求都能得到同等程度的滿足，若要保證重要（客流量較大）的換乘方向換乘成功，則其相反方向一般不能換乘成功。

圖5 末班車列車時(shí)刻表

表9 末班車主要換乘方向銜接結(jié)果

本文建立了在整個(gè)軌道交通路網(wǎng)中盡量實(shí)現(xiàn)多換乘方向換乘成功和減少總換乘時(shí)間為目標(biāo)的多目標(biāo)線性規(guī)劃模型。并采用該模型對北京軌道交通局部網(wǎng)絡(luò)末班車時(shí)間進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)置。實(shí)際數(shù)據(jù)和計(jì)算表明，該網(wǎng)絡(luò)末班車制定模型是可行的，可以擴(kuò)展到更大規(guī)模軌道交通網(wǎng)絡(luò)，以及含有 3線、4線換乘站的末班車時(shí)間求解。

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Optimum Model of Last Train Connection for Urban Mass Transit Network

WANG Bo，HUANG Jianling，NIU Feng

At the end of everyday rail transit operation，the rational connection of last trains at interchange stations on rail transit network can reflect directly the people-oriented service level，and the efficient operation order.Firstly，based on the complexity of urban rail transit network，the principles in last train connection system are proposed.Secondly，from angles of inter-station running time constraint，interchange connection and objectives of last train linkage on different lines，the optimum quantitative method for last train linkage is studied，and an optimization model is set up.Taking parts of Beijing rail transit Line 1，Line 2 and Line 5 as the research targets，an optimized timetable for last trains in network is produced.The algorithm result shows that the model and optimization algorithm is feasible and practical for the network transport planning.

urban rail transit network； last train planning；train connection；multi-objective linear programming

U292.4

10.16037/j.1007-869x.2017.10.002

First-author′s address Beijing Transportation Information Center，100073，Beijing，China

*北京市自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（8171003）

2016-01-26）