路志英+任一墨+葛路琨

摘 要：光伏發(fā)電功率預測的準確與否是太陽能光伏發(fā)電是否能夠有效地并入當前電網(wǎng)從而大大地提高太陽能利用率的關(guān)鍵.分位數(shù)回歸是一種能夠給出輸出量的詳細完整分布，從而便于分析與研究的回歸模型.樣條就是僅在節(jié)點處平滑連接的多項式函數(shù)，樣條估計具有簡單易行和計算速度快的優(yōu)點.本文通過建立基于樣條估計的分位數(shù)回歸模型，在光伏面板發(fā)電功率數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，擬合光伏功率曲線，通過計算殘差平方和和確定系數(shù)進行對擬合效果的評估.結(jié)果表明，該模型利用已有的光伏面板發(fā)電功率數(shù)據(jù)，可以在給出功率預測值的完整分布的同時，準確有效地分析相關(guān)因素對光伏發(fā)電功率的影響，展現(xiàn)不同分位點的回歸擬合效果，從而有效地提高光伏系統(tǒng)對太陽能的利用率，避免光伏發(fā)電在接入電網(wǎng)時所產(chǎn)生的不利影響.

關(guān)鍵詞：光伏功率預測；分位數(shù)回歸；樣條估計法；概率預測；曲線擬合

中圖分類號：TM721 文獻標志碼：A

Photovoltaic Power Regression Model Based on Spline Estimationand Quantile Regression

LU Zhiying，REN Yimo，GE Lukun

（School of Electrical and Information Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

Abstract：A quantile regression model was established based on spline estimation. Based on the output data of photovoltaic panel，the curve of power was fitted，which was compared with ordinary least squares regression model and simple quantile regression model. The results show that the quantile regression model can give much more accurate and effective analysis on the influence of relative factors on the output power of photovoltaic panels，improve the efficiency of solar energy，provide the complete distribution of output power，and reduce the negative impact of photovoltaic panel when connected to the grid.

Key words：photovoltaic power prediction；quantile regression；spline estimation；probability prediction；curve fitting

當代社會已經(jīng)公認太陽能是一種具有強大競爭力的綠色能源.利用太陽能的有效方式之一是光伏發(fā)電，目前我國的光伏發(fā)電系統(tǒng)正在由獨立系統(tǒng)發(fā)展到大規(guī)模并網(wǎng)[1].由于受各種因素的影響，光伏系統(tǒng)進行發(fā)電的功率是不穩(wěn)定的，在接入電網(wǎng)時會造成一些不利影響[2-3]，因此人們在使用光伏發(fā)電時常持有謹慎的態(tài)度，從而影響太陽能以及光伏發(fā)電的應(yīng)用范圍.

在短期光伏功率預測的領(lǐng)域，國內(nèi)外學者對光伏出力的相關(guān)影響因素和新方法新理論進行了一定的分析和研究.文獻[4]利用天氣類型指數(shù)的方法來進行光伏短期出力預測；文獻[5]利用了機器學習的方法之一局部支持向量回歸來進行微網(wǎng)光伏發(fā)電的預測；文獻[6]總結(jié)了目前大多數(shù)已有的短期太陽能光伏發(fā)電預測方法的思路，建立預測公式或模型，對光伏電站發(fā)電量進行預測.

分位數(shù)回歸（Quantile Regression，QR）是一種利用自變量的多個分位數(shù)（例如四分位、中位、百分位等）來得到因變量完整的條件分布的方法，可以得到更詳細的描述變量的統(tǒng)計分布.

樣條是指一種采用分段定義的簡單方便的多項式參數(shù)曲線，樣條估計在許多曲線估計的領(lǐng)域中都得到了大量的應(yīng)用.

通過建立基于樣條估計的分位數(shù)回歸模型，在光伏面板出力功率數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，可以準確地擬合光伏出力曲線，并與OLS模型以及簡單分位數(shù)回歸模型的擬合效果進行比較與分析.結(jié)果表明，基于樣條估計的分位數(shù)回歸模型能夠更加準確地擬合光伏出力曲線，得到光伏出力數(shù)據(jù)的條件分布的完整分布，在詳細地描述光伏出力的分布的指導下可以有效地提高光伏系統(tǒng)對太陽能的利用率.

1 數(shù)據(jù)資料

1.1 原始數(shù)據(jù)

本文數(shù)據(jù)來源于The Global Energy Forecasting Competition 2014 （GEFCom2014），是對三塊光伏面板的相關(guān)影響因素進行逐小時采集得到的.數(shù)據(jù)包括12個相關(guān)因素，包括風速、氣溫、氣壓、輻照、降水等，以及相對應(yīng)的光伏出力數(shù)據(jù)（標幺值），相關(guān)因素的具體描述如表1所示.

1.2 數(shù)據(jù)集的劃分

影響光伏發(fā)電系統(tǒng)的短期發(fā)電量預測結(jié)果的因素很多，關(guān)系也相當復雜.文獻[7]和文獻[8]列舉出如太陽光照強度、太陽入射角度、光伏電站的位置、轉(zhuǎn)換效率、大氣壓、溫度、安裝角度、時間、季節(jié)等等的影響因素.文獻[9]和文獻[10]指出了光伏發(fā)電系統(tǒng)，其發(fā)電量時間序列本身具有高度自相關(guān)性的特點.

本文對原始數(shù)據(jù)集進行劃分.首先除去夜晚光伏出力明顯為0的情況（世界時9～20時），然后利用某天的前30天共計360組小時發(fā)電量數(shù)據(jù)作為訓練集，該天12組小時發(fā)電量數(shù)據(jù)作為測試集，劃分原始數(shù)據(jù)集.endprint

2 分位數(shù)回歸

2.1 分位數(shù)回歸的基本概念

經(jīng)典回歸的目的在于估計因變量的均值.當回歸假設(shè)成立時，這一方法是有效的，也就是說經(jīng)典回歸的隨機項需要來自均值為0且同方差的正態(tài)分布，即正態(tài)性假設(shè)和方差齊性假設(shè)[11-12].

實際中上述兩個假設(shè)往往是難以成立的，因此文獻[13]和文獻[14]首先提出了分位數(shù)回歸的概念，放松了兩個回歸假設(shè)，對于隨機項不需要假設(shè)的具體分布，從而使分位數(shù)回歸廣泛地應(yīng)用于經(jīng)濟、醫(yī)學、生物等領(lǐng)域.分位數(shù)回歸為研究者提供了一個無法從經(jīng)典回歸中獲得的新視角，有助于分析因變量條件分布的完整特征，可以在更加寬松的條件下挖掘到更加豐富的信息[15-16].

2.2簡單分位數(shù)回歸的模型

設(shè)X為實值隨機變量，分布函數(shù)為F（x）=P（X≤x），則對任意0<τ<1，有

F-1（τ）=inf{x：F（x）≥τ}（1）

式中：F-1（τ）即為X的τ分位數(shù)；inf（x）表示集合x的下確界.

常用Q（τ）表示X的τ分位數(shù)，則Q（0.5）表示中位數(shù).在實際問題研究中，中位數(shù)可以和均值共同來反映數(shù)據(jù)所包含的位置等信息.

對于Y的一組隨機樣本Y1，Y2，…，Yn，樣本均值是β=arg min∑ni=1（yi-β）2的最優(yōu)解；樣本中位數(shù)則是Q（0.5）=arg minβ∈R∑ni=1|yi-β|的最優(yōu)解.

當模型為線性模型Y=XTβ+ξ時，假設(shè)ξ的分布為F，那么回歸分位數(shù)β（τ）的值，等價于如下函數(shù)的解：

minβ∑（i|Y≥XTiβ）τ|Yi-XTiβ|+

∑（i|Y≥XTiβ）（1-τ）|Yi-XTiβ|（2）

在樣本觀測值（xi1，xi2，…，xip，yi），i=1，2，…，n上，可以求得參數(shù)β=（β0+F-1（τ），β1，…，βp）T在第τ分位處的估計為：

（τ）=arg minβ∈Rp+1∑ni=1ρτ（yi-xTiβ）（3）

那么對應(yīng)的樣本Y的條件τ（0<τ<1）的分位數(shù)估計為：

τ（Y|X）=XT（τ）（4）

顯然分位數(shù)回歸方法并不需要預先對分布作假設(shè)，并且對離群點的干擾較不敏感，因而比普通最小二乘回歸更穩(wěn)健.通過選取不同的τ值 ，分位數(shù)回歸可以得到Y(jié)不同的分布，而不僅僅像經(jīng)典回歸只得到Y(jié)的條件期望[17-19].

3 基于樣條估計的分位數(shù)回歸

3.1 樣條估計

簡單的分位數(shù)回歸模型是建立在線性模型的假設(shè)上的，屬于參數(shù)模型，模型僅用一些參數(shù)表示，但是限制較多，需要預先假定回歸函數(shù)和樣本的分布形式，從而造成了模型的泛化能力弱，穩(wěn)健性較差的后果.在這種情況下可以采用比較自由，受約束少的非參數(shù)模型，對于數(shù)據(jù)的分布不作太大要求，從而使得模型的泛化能力強，穩(wěn)健性高[20].因此本文通過采用樣條函數(shù)進行樣條估計，擬合非參數(shù)回歸模型，放松參數(shù)模型的限制[21-22].

樣條函數(shù)估計是一種全局逼近估計從而近似逼近非參數(shù)模型的方法，估計效果取決于樣條節(jié)點個數(shù)和位置的選擇[23].樣條光滑法具有簡單易行和計算速度快的優(yōu)點[24].為此，本文構(gòu)建了基于樣條估計的分位數(shù)回歸模型，即分別采用B樣條和自然B樣條進行樣條估計，建立分位數(shù)回歸模型，從而達到更好的分位數(shù)回歸效果[25].

3.2 B樣條估計和自然B樣條估計

B樣條函數(shù)是由B樣條基函數(shù)的線性組合構(gòu)成，有許多的定義方法.可以采用deBoor-Cox遞推公式定義三次B樣條基函數(shù)，其具體形式為：

B4i（x）=

（ξi+4-ξi）（x-ξi）3S4i（ξi），x∈[ξi，ξi+1]；

（ξi+4-ξi）（x-ξi）3S4i（ξi）+（x-ξi+1）3S4i（ξi+1），x∈[ξi+1，ξi+2]；

（ξi+4-ξi）（ξi+3-x）3S4i（ξi+3）+（ξi+4-x）3S4i（ξi+4），x∈[ξi+2，ξi+3]；

（ξi+4-ξi）（ξi+4-x）3S4i（ξi+4），x∈[ξi+3，ξi+4]；

0，x∈[ξi，ξi+4]；

（5）

式中：

S4i（x）=（x-ξi）（x-ξi+1）（x-ξi+2）（x-

ξi+3）（x-ξi+4），ξi：i=1，…，m（6）

是樣本區(qū)間上的節(jié)點序列.

B樣條估計方法對結(jié)點（knots）之間的估計是比較準確，但對邊界的擬合效果較差.此時可以引入在自變量最小值和最大值處各增加一個結(jié)點，用線性模型擬合邊界位置的樣本點的思想，從而改善B樣條估計方法對邊界的擬合效果，此時稱為自然B樣條.

3.3 基于B樣條估計的分位數(shù)回歸

對于式（7）這樣一個非參數(shù)模型：

yi=g（xi）+εi，i=1，2，…，n（7）

Y=（y1，y2，…，yn）′是因變量；X=（x1，x2，…，xn）′是自變量；誤差ε=（ε1，ε2，…，εn）′的分布未知.

為了一般化，假設(shè)ε的密度函數(shù)處處不為0.那么在三次B樣條估計下，非參數(shù)模型可以近似為：

g（xi）=∑mj=-3θjB4j（xj）（8）

基于B樣條下的分位數(shù)回歸估計方程：

（*τ，QRτ）=arg minb*τ，Θ∑ni=1ρτ（yi-b*τ-

∑mj=-3θjB4j（xi））（9）

這里*τ是ε的100τ%分位數(shù)估計.

那么分位數(shù)模型的Y|X的分位數(shù)回歸的100τ%條件分位數(shù)估計是：endprint

X′+*τ，=（-3，…，m）′，

X′=B4-3（x1）…B4m（x1）

B4-3（xn）…B4m（xn）（10）

4 實驗結(jié)果與分析

本文基于GEFCom2014所給出的光伏出力的相關(guān)數(shù)據(jù)，在1.2節(jié)構(gòu)建的訓練集與測試集的基礎(chǔ)上，針對2012年5月份該塊光伏面板出力數(shù)據(jù)，分別構(gòu)造兩種基于樣本的分位數(shù)回歸模型和簡單分位數(shù)回歸模型以及普通最小二乘回歸模型，利用殘差和確定系數(shù)為指標，對結(jié)果進行比較與分析.

4.1 模型評價指標

4.1.1 殘差與殘差平方和

1）殘差.數(shù)據(jù)集合中第i個樣本的殘差ei計算公式為：

ei=yi-i（11）

式中：yi是第i個樣本的觀測值（實際值），i是對應(yīng)的預測值.

殘差反映了用回歸方程預測引起的誤差.

2）殘差平方和.殘差平方和（residual sum of squares，RSS）就是把每個殘差平方之后加起來所得到的值，表示隨機誤差的效應(yīng).一組數(shù)據(jù)的殘差平方和越小，其擬合的程度越好.

4.1.2 確定系數(shù)

度量回歸直線的擬合程度統(tǒng)計量是確定系數(shù)R2，R2的計算公式如下：

R2（y，）=1-∑nsamplesi=1（yi-i）2∑nsamplesi=1（yi-）2（12）

式中：yi是第i個樣本的觀測值，i是對應(yīng)的預測值，nsamples是樣本的個數(shù)，=1nsamples∑nsamplesi=1yi是真實值的均值.

R2的值越接近于1表示其回歸擬合的效果越好，自變量對因變量的解釋程度越高，自變量的變動占總變動的百分比高，真實值在回歸線附近越密集.

4.2 實驗結(jié)果

4.2.1 回歸結(jié)果示意圖

對于2012年5月1日00：00～23：00的光伏面板出力數(shù)據(jù)，各模型的回歸結(jié)果如圖1所示，其中分位數(shù)為從0.05～0.95每隔0.05選擇一次.

從圖1可以看出，中位數(shù)回歸模型的回歸效果要優(yōu)于普通最小二乘回歸模型；在中位數(shù)回歸模型中，樣條估計的效果要優(yōu)于簡單模型的效果，自然B樣條模型又較B樣條模型更加光滑.

為了進一步比較兩種樣條模型，在圖2中作出了一日內(nèi)模型在不同分位數(shù)上的回歸結(jié)果.

4.2.2 殘差平方和與擬合優(yōu)度

對于2012年5月份某日的光伏發(fā)電功率值，為了度量回歸模型的擬合能力，計算回歸模型的預測值與實際值之間的殘差平方和以及確定系數(shù)的值，計算結(jié)果如圖3所示.

圖3顯示了中位數(shù)回歸模型以及均值回歸模型均不能達到令人滿意的曲線擬合效果；在4種回歸模型中，自然B樣條中位數(shù)回歸模型的擬合效果略優(yōu).因此下一步選擇計算該模型在一日中各個時刻上各個分位數(shù)點的殘差大小，從而比較不同分位數(shù)點的模型擬合效果.計算結(jié)果如圖4和圖5所示.

4.3 結(jié)果分析

從圖1不難看出：相對于均值回歸模型，中位數(shù)回歸模型對于該日的光伏發(fā)電功率有著較好擬合效果.這是由于分位數(shù)回歸方法不需要對分布作假設(shè)，并且對異常點不敏感，從而比均值回歸模型更穩(wěn)健，泛化能力更強.圖2顯示了分位數(shù)回歸模型選取不同的分位數(shù)的值，得到光伏發(fā)電功率的完整條件分布的能力，不像最小二乘回歸那樣只得到其條件期望，使得預測的信息更加豐富.

從圖1和圖2同樣還可以比較得出，樣條估計能夠更好地增強分位數(shù)回歸效果，并且自然B樣條估計在增加節(jié)點的同時，使樣條在邊界更加的光滑，改善B樣條估計方法對邊界的擬合效果.

從圖3中可以看出，對于日光伏發(fā)電功率，單純的中位數(shù)回歸模型以及普通最小二乘回歸模型均不能達到很好的曲線擬合效果.這是由于已有的特征（即相關(guān)影響因素）對于一日各個時刻的光伏發(fā)電功率的影響機制在不同時刻是不同的，因此會造成各個時刻的回歸結(jié)果的好壞差距，從而影響日光伏發(fā)電功率曲線擬合的效果.

從圖4和圖5中可以看出，一日中各個時刻上各個分位數(shù)點的回歸擬合效果是不同的.因此可以在該實驗的基礎(chǔ)上繼續(xù)進行研究，尋找影響各個時刻各個分位數(shù)點回歸效果的因素，找出不同時刻回歸擬合效果較好的分位數(shù)點，從而便于模型在實際中對光伏發(fā)電功率進行預測.簡單地看來，在一天的01：00～03：00時刻，0.8及0.9分位數(shù)上的回歸模型對光伏出力功率曲線的擬合效果較好；在07：00～09：00時刻，0.5及0.4分位數(shù)上的回歸模型擬合效果較好；在09：00時刻之后，0.6及0.7分位數(shù)上的回歸模型擬合效果較好.

5 結(jié) 論

本文通過建立基于樣條估計的分位數(shù)回歸模型，對GEFCom2014所提供的光伏發(fā)電數(shù)據(jù)進行擬合，由此得到以下結(jié)論：

1）基于樣條估計的分位數(shù)回歸模型相對于普通二乘回歸模型以及簡單分位數(shù)回歸模型對日光伏發(fā)電功率的擬合效果更好.

2）分位數(shù)回歸模型能夠得到光伏發(fā)電功率預測值的完整分布，可以有效地增加光伏系統(tǒng)對太陽能的利用率，盡力減少接入電網(wǎng)的光伏系統(tǒng)對電網(wǎng)的不利影響.

3）分位數(shù)回歸模型在呈現(xiàn)厚尾、非對稱的情況的光伏發(fā)電功率數(shù)據(jù)，可以有效地實現(xiàn)與分析光伏出力與相關(guān)影響因素的關(guān)系.在本文進行的實驗中，不難看出，不同分位數(shù)下對光伏出力的回歸效果是不同的，因此實際上，在不同時刻內(nèi)選取不同分位數(shù)上的回歸，可以實現(xiàn)光伏發(fā)電功率的有效回歸與預測.

4）分位數(shù)回歸模型在給出光伏發(fā)電功率預測值完整分布的同時，可以更加準確有效地分析相關(guān)因素對光伏出力功率的影響.

參考文獻

[1] 劉偉，彭冬，卜廣全，等.光伏發(fā)電接入智能配電網(wǎng)后的系統(tǒng)問題綜述[J].電網(wǎng)技術(shù)，2009，33（19）：1-6.endprint

LIU Wei，PENG Dong，BU Guangquan，et al.A survey on system problems in smart distribution network with grid-connected photovoltaic generation[J].Power System Technology，2009，33（19）：1-6.（In Chinese）

[2] 陳煒，艾欣，吳濤，等.光伏并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)對電網(wǎng)的影響研究綜述[J].電力自動化設(shè)備，2013，33（2）：26-32.

CHEN Wei，AI Xin，WU Tao，et al.Influence of grid-connected photovoltaic system on power network[J].Electric Power Automation Equipment，2013，33（2）：26-32.（In Chinese）

[3] ALQUTHAMI T，RAVINDRA H，F(xiàn)ARUQUE M O，et al.Study of photovoltaic integration impact on system stability using custom model of PV arrays integrated with PSS/E[C]// North American Power Symposium. IEEE Xplore，2010：1-8.

[4] 袁曉玲，施俊華，徐杰彥.計及天氣類型指數(shù)的光伏發(fā)電短期出力預測[J].中國電機工程學報，2013，33（34）：57-64.

YUAN Xiaoling，SHI Junhua，XU Jieyan.Short-term power forecasting for photovoltaic generation considering weather type index[J].Proceedings of the CSEE，2013，33（34）：57-64.（In Chinese）

[5] 黃磊，舒杰，姜桂秀，等.基于多維時間序列局部支持向量回歸的微網(wǎng)光伏發(fā)電預測[J].電力系統(tǒng)自動化，2014，38（5）：19-24.

HUANG Lei，SHU Jie，JIANG Guixiu，et al.Photovoltaic generation forecast based on multidimensional time-series and local support vector regression in micro grids[J].Automation of Electric Power Systems，2014，38（5）：19-24.（In Chinese）

[6] 崔洋，孫銀川，常俾林.短期太陽能光伏發(fā)電預測方法研究進展[J].資源科學，2013，35（7）：1474-1481.

CUI Yang，SUN Yinchuan，CHANG Zhuolin.A review of short-term solar photovoltaic power generation prediction methods[J].Resources Science，2013，35（7）：1474-1481.（In Chinese）

[7] 陳維，沈輝，劉勇.光伏陣列傾角對性能影響實驗研究[J].太陽能學報，2009，30（11）：1519-1522.

CHEN Wei，SHEN Hui，LIU Yong.The effect of tilt angle on performance of photovoltaic systems [J].Acta Energiae Solaris Sinica，2009，30（11）：1519-1522.（In Chinese）

[8] 劉曉艷，祁新梅，鄭壽森，等.局部陰影條件下光伏陣列的建模與分析[J].電網(wǎng)技術(shù)，2010，34（11）：192-197.

LIU Xiaoyan，QI Xinmei，ZHENG Shousen，et al. Model and analysis of photovoltaic array under partial shading[J].Power System Technology，2010，34（11）：192-197.（In Chinese）

[9] 楊德全.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的光伏發(fā)電系統(tǒng)發(fā)電功率預測[D].北京：華北電力大學，2014.

YANG Dequan.Generation forecasting for photovoltaic system based on artificial neural networks[D].Beijing： North China Electric Power University，2014.（In Chinese）

[10]趙杰.光伏發(fā)電并網(wǎng)系統(tǒng)的相關(guān)技術(shù)研究[D].天津：天津大學，2012.

ZHAO Jie.Study on related technologies of grid-connected photovoltaic power system[D].Tianjin： Tianjin Unversity，2012.（In Chinese）

[11]GREENE W H. Econometric analysis[M]. 7th ed.Beijing：Chinese People's Publishing House，2013：5.endprint

[12]BHATTI H A， RIENTJES T， HAILE A T， et al. Evaluation of bias correction method for satellite-based rainfall data[J]. Sensors， 2016， 16（6）：884-886.

[13]KOENKER R，BASSETT G. Regression quantiles[J].Econometrica，1978，46（1）：33-50.

[14]郝令昕，丹尼爾.分位數(shù)回歸模型[M].上海：格致出版社，2012：30-45.

HAO L X， DANNIEL Q. Quantile regression model[M].Shanghai： Truth & Wisdom Press，2012：30-45.（In Chinese）

[15]陳建寶，丁軍軍.分位數(shù)回歸技術(shù)綜述[J].統(tǒng)計與信息論壇，2008，23（3）：89-96.

CHEN Jianbao，DING Junjun.A review of technologies on quantile regression[J].Statistics & Information Forum，2008，23（3）：89-96.（In Chinese）

[16]李育安.分位數(shù)回歸及應(yīng)用簡介[J].統(tǒng)計與信息論壇，2006，21（3）：35-38.

LI Yuan.An introduction to quantile regression and its application[J].Statistics & Information Forum，2006，21（3）：35-38.（In Chinese）

[17]張利.線性分位數(shù)回歸模型及其應(yīng)用[D].天津：天津大學，2009.

ZHANG Li.Linear quantile regression model and its application[J].Tianjin： Tianjin Uinversity，2009.（In Chinese）

[18]HALLOCK K F，KOENKER R W.Quantile regression[J].Journal of Economic Perspectives，2001，15（4）：143-156.

[19]喬艦， 李再興. 分位數(shù)回歸的理論再說明及實例分析[J]. 統(tǒng)計與決策， 2012（19）：104-107.

QIAO Jian， LI Zaixing. Reanalysis of the theory of quantile regression and case analysis[J].Statistics and Decision， 2012（19）：104-107.（In Chinese）

[20]約翰·福克斯， 王驍. 非參數(shù)回歸：平滑散點圖[M]. 上海人民出版社， 2015： 15-30.

FOX J， WANG Xiao. Non parametric regression： smoothing scatter plots[M]. Shanghai： Shanghai People's Publishing House， 2015： 15-30.（In Chinese）

[21]KOOPERBERG C.Flexible smoothing with B-splines and penalties： comment[J].Statistical Science，1996，11（2）：110-112.

[22]BALAIN B，JAISWAL A，TRIVEDI J M，et al.The Oswestry risk index： an aid in the treatment of metastatic disease of the spine [J].2013，Bone joint，95-B（2）：210-216.

[23]劉昕明.兩類非參數(shù)分位數(shù)回歸模型的研究[D].北京：北京化工大學，2013.

LIU Xinming.The research of two kinds of nonparametric quantile regression model[D].Beijing： Beijing University of Chemical Technology，2013.（In Chinese）

[24]楊玉嬌.基于樣條函數(shù)的兩類回歸模型的研究[D].上海：華東師范大學，2013.

YANG Yujiao.Spline analysis for two regression models[D].Shanghai： East China Normal University，2013. （In Chinese）

[25]BüHLMANN P，MCNEIL A J.An algorithm for nonparametric GARCH modelling[J].Computational Statistics & Data Analysis，2002，40（4）：665-683.endprint