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(泉州市第五中學(xué),福建 泉州 362000) (泉州市實(shí)驗中學(xué),福建 泉州 362000)

探究一道導(dǎo)數(shù)試題的命題手法及應(yīng)用*

●楊蒼洲●崔紅光

(泉州市第五中學(xué),福建 泉州 362000) (泉州市實(shí)驗中學(xué),福建 泉州 362000)

文章通過探究一道導(dǎo)數(shù)壓軸試題的命題手法，得到一種“以直代曲”的命題方法，并應(yīng)用此方法命制出兩道具有一定難度的導(dǎo)數(shù)試題．

命題手法; 以直代曲; 試題命制

在學(xué)校的一次單元測試中，命題教師選用了一個網(wǎng)題作為試卷的壓軸題．大部分學(xué)生和教師都感覺本題難以下手，過后在研究網(wǎng)絡(luò)提供的試題答案時，也因為答案的神來之筆而感覺到一頭霧水．為了徹底研究清楚此類試題的解題方法，筆者對試題的命題手法進(jìn)行探究．只要探明命題者的命題思路，順著命題思路進(jìn)行解題，解題就顯得自然、流暢[1]．

1 題目展示

例1已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)．

1)若函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x-1相切，求實(shí)數(shù)a的值；

2)當(dāng)1

2 命題手法探究

筆者首先思考，命題者如何構(gòu)造出第2)小題中的不等式？接著思考，第1)小題對第2)小題是否有承上啟下的作用？帶著這個疑問，結(jié)合平時的解題、命題經(jīng)驗，筆者開始了試題命題手法的探究之旅．

f(x)=(x+1)lnx+(c-1)x+d,

其中c,d可以根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)整．

第二步：設(shè)定函數(shù)在拐點(diǎn)處的切線．命題者設(shè)定函數(shù)在拐點(diǎn)(1,0)處的切線為y=x-1，則由f′(1)=1，f(1)=0,可知c=0,d=1，此時，

f(x)=(x+1)lnx-(x-1)．

由此，命題者找到了試題的背景函數(shù)．

第三步：進(jìn)行合理設(shè)問．一道試題的幾個設(shè)問往往具有一定的相關(guān)性，設(shè)問與設(shè)問之間呈現(xiàn)層層遞進(jìn)的關(guān)系．第1)小題常常是第2)小題的臺階，為第2)小題的解答提供方向,埋下伏筆．

命題者在題干中引入?yún)?shù)a，使函數(shù)變?yōu)?/p>

f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),

并在第1)小題中提供條件“函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x-1相切”,從而求出實(shí)數(shù)a的值．

圖1

第1)小題的設(shè)置，除了考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義外，也引導(dǎo)解題者去探究“當(dāng)a=1時，曲線y=f(x)與直線y=x-1的位置關(guān)系”，從中發(fā)現(xiàn)“當(dāng)x>1時，曲線y=f(x)在直線y=x-1的上方；當(dāng)0

令g(x)=x-1．觀察圖像(如圖1)，命題者發(fā)現(xiàn)：當(dāng)01時，f(x2)>g(x2)．由此可得

f(x2)-f(x1)>g(x2)-g(x1).

為了證明此不等式，可把問題轉(zhuǎn)化為證明不等式

f(x2)-g(x2)>f(x1)-g(x1),

可以構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，證明“當(dāng)x>1時，h(x)的最小值[h(x)]min”恒大于“當(dāng)0

此問題的難度不大，不足以壓軸．因此，命題者再次進(jìn)行試題變形．

本題的命題思路是：通過比較自變量x在直線x=1兩側(cè)時，函數(shù)f(x)的函數(shù)值與其切線對應(yīng)函數(shù)值的大小，從而構(gòu)造出待證不等式．基于此，命題者從各個角度進(jìn)行編制嘗試．

實(shí)際上，當(dāng)1

f(x)>g(x)>0，

f(x-1)

從而可構(gòu)造不等式

f(x)-f(x-1)>g(x)-g(x-1)，

即[(x+1)lnx-(x-1)]-[xln(x-1)-(x-2)]>(x-1)-(x-2).

也可以進(jìn)行如下變形：當(dāng)1

f(x)>g(x)>0，

可得

(x+1)lnx-(x-1)>x-1,

即

(x+1)lnx>2(x-1),

從而

當(dāng)0

f(x-1)

可得

xln(x-1)-(x-2)

即

由式(1)和式(2)可構(gòu)造不等式

此不等式即為題目的待證不等式．

至此我們探究出此類試題的命題思想：以直代曲和比較大?。?/p>

3 基于此手法的試題命制

基于上述試題命題手法的探究，筆者談?wù)勅绾芜\(yùn)用此方法進(jìn)行試題的命制．

圖2

筆者擬構(gòu)造一個拐點(diǎn)在原點(diǎn)、單調(diào)遞增，且與直線y=x相切的函數(shù)f(x)．根據(jù)設(shè)想，可知所設(shè)定的函數(shù)需滿足f(0)=0，f′(0)=1，f″(0)=0．現(xiàn)設(shè)定f″(x)=(x+1)ex-1，則

f′(x)=xex-x+1，

作出函數(shù)f(x)的圖像，并作出曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線y=x，其圖像如圖2所示．第1)小題擬在題干中引入?yún)?shù)，以“曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線y=x”為條件，求解參數(shù)的值；第2)小題擬在第1)小題的前提下，基于研究函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像的特征提煉不等關(guān)系，設(shè)置問題．經(jīng)過反復(fù)推敲、琢磨，成題如下.

1)若函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x相切，求實(shí)數(shù)a的值；

分析1)設(shè)切點(diǎn)為(x0,f(x0))，由已知可得

f′(x)=xex-ax+1,

依題意可得

(4)

由式(3)和式(4)得x0=0,a=1或x0=2,a=e2，即a=1或a=e2．

2)因為a

g′(x)=x(ex-1)．

當(dāng)x>0時，ex-1>0，g′(x)>0；當(dāng)x<0時，ex-1<0，g′(x)>0．故當(dāng)x∈R時，g′(x)≥0，g(x)單調(diào)遞增．又g(0)=0，從而當(dāng)00，即

亦即

(5)

由0

從而

g(-x)<0，

即

得

(6)

由式(5)和式(6)得

即原不等式成立．

我們運(yùn)用“以直代曲”的手法命制了例2，通過同樣的手法，可以得到下述的例3．例3的命題過程不再贅述，試題及其解答一并展示如下，供讀者賞析.有興趣的讀者可以嘗試推演筆者的命題心路，學(xué)習(xí)命題方法．

例3已知函數(shù)f(x)=ex-1-xlnx-x+1．

1)當(dāng)a≤-1時，證明：關(guān)于x的方程f(x)=ax+1-a有且只有一個實(shí)根；

2)當(dāng)0

分析1)令F(x)=f(x)-(ax+1-a)=

ex-1-xlnx-(a+1)x+a，

得

F(1)=0，F(xiàn)′(x)=ex-1-lnx-a-2．

下面證明：ex≥x+1．令h(x)=ex-(x+1)，則

h′(x)=ex-1.

由h′(x)=0得x=0，當(dāng)x∈(-∞,0)時,h′(x)<0；當(dāng)x∈(0,+∞)時，h′(x)>0,則h(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減，在[0,+∞)上單調(diào)遞增，故h(x)的最小值為h(0)=0，因此

ex≥x+1.

對上述不等式變形可得

ex+1≥x，

即

lnx≤x-1,

因此當(dāng)a≤-1時，

F′(x)= ex-1-lnx-a-2≥

x-(x-1)-a-2≥-a-1≥0，

故F(x)單調(diào)遞增，且F(1)=0，此時F(x)在定義域內(nèi)有一個零點(diǎn)，即原方程有一個根．

2)由第1)小題可知，當(dāng)a=-1時，

F(x)=f(x)-(ax+1-a)=ex-1-xlnx-1,

F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又F(1)=0，從而當(dāng)0

ex-1-1

則

又10，即

ex-1>(x+1)ln(x+1)>0，

則

故

[1] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M]．北京：人民教育出版社,2003．

[2] 楊蒼洲．2015年高考湖北文科卷壓軸試題的命題手法探究[J]．中學(xué)生理科應(yīng)試，2017(4)：2-3．

2017-07-05

楊蒼洲(1979-)，男，福建泉州人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003 - 6407(2017)11-27-03