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(北侖明港中學(xué)，浙江 寧波 315806)

2017年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ第23題的11種證法及其感悟*

●甘大旺

(北侖明港中學(xué)，浙江 寧波 315806)

文章指出2017 年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ第23 題第2) 小題的測(cè)試區(qū)分度較強(qiáng)，探究此題不同于參考答案的其他 11 種證法，其中簡(jiǎn)述兩個(gè)數(shù)學(xué)史結(jié)論，最后因勢(shì)利導(dǎo)地得出3 個(gè)概括、深化、類(lèi)比的定理．

排序不等式; 切比雪夫不等式; 琴生不等式; 拉格朗日乘數(shù)法

2017年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ由21道必考題和兩道選考題構(gòu)成，其中理科卷和文科卷的最后一道選考題(即全卷最后一題)是相同的，即：

題目已知a>0，b>0，a3+b3=2，證明：

1) (a+b)(a5+b5)≥4；

2)a+b≤2.

第1)小題比較簡(jiǎn)單，第2)小題對(duì)考生的測(cè)試區(qū)分度明顯強(qiáng)于第1)小題.命題組提供第2)小題的證明思路是展開(kāi)(a+b)3后運(yùn)用均值不等式，這屬于通法[1].下面探索第2)小題的其他11種證法.

證法1要證明a+b≤2，只要證

23≥(a+b)3=a3+b3+3(a2b+ab2),

即

8≥2+3(a2b+ab2)，

亦即

a2b+ab2≤2=a3+b3，

即

(a-b)2(a+b)≥0.

由a>0且b>0,知上式顯然成立，故

a+b≤2.

證法2將方法1(分析法)改寫(xiě)成反證法.

假設(shè)a+b>2，則

23<(a+b)3=a3+b3+3(a2b+ab2)，

即

8<2+3(a2b+ab2)，

亦即

8<2+3(a2b+ab2)，

從而

a2b+ab2>2=a3+b3，

移項(xiàng)分解，得

-(a-b)2(a+b)<0，

于是

a+b<0，

這與已知條件a>0，b>0矛盾.因此假設(shè)不成立，故a+b≤2.

證法3假設(shè)a+b>2，即b>2-a，則

b3>(2-a)3=8-12a+6a2-a3.

又a3+b3=2，從而

2>8-12a+6a2=2+6(1-a)2，

于是

0>(1-a)2，

這是自相矛盾的.因此，假設(shè)不成立，故a+b≤2.

證法4由a>0,b>0,得

0<4ab≤(a+b)2，

從而 2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=

(a+b)[(a+b)2-3ab]≥

于是

(a+b)3≤8，

故

a+b≤2.

證法5不妨取0

ab2+ba2≤a·a2+b·b2=a3+b3.

又2ab≤a2+b2(均值不等式)，從而

(a+b)3= (a2+2ab+b2)(a+b)≤

2(a2+b2)(a+b)=

2(a3+b3+ab2+a2b)≤

2(a3+b3+a3+b3)=

4(a3+b3)=8,

故

a+b≤2.

預(yù)備知識(shí)1[2]俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫在代數(shù)學(xué)上提出一個(gè)不等式：

(其中a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3…≤bn，n-1∈N+，兩處“≤”取到等號(hào)的充要條件是a1=a2=a3=…=an且b1=b2=b3…=bn).

證法6不妨取0

(a+b)3= (a+b)(a+b)(a+b)≤

2(a2+b2)(a+b)=4(a3+b3)=8,

故

a+b≤2.

證法7取函數(shù)f(x)=x3(其中x>0)，則一階導(dǎo)數(shù)f′(x)=3x2，二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=6x>0，從而f(x)在(0,+∞)內(nèi)上凹.運(yùn)用琴生不等式得

從而

故

a+b≤2.

證法8由a3+b3=2(其中a>0且b>0)解得

從而

則

故

a+b≤2.

則

圖1

在圖1所示的直角坐標(biāo)系aOb中，函數(shù)b=g(a)的圖像，即曲線段a3+b3=2(其中a>0且b>0)關(guān)于直線b=a對(duì)稱(chēng)，于是該曲線段與平行直線系a+b=m(其中m為截距參數(shù))有公共點(diǎn)的充要條件是

故

a+b≤2.

證法10根據(jù)已知條件作均值代換a3=1-x,b3=1+x(不妨設(shè)a≤b而取0≤x<1)，則

因此，函數(shù)h(x)在定義域[0,1)上單調(diào)遞減，即

故

a+b≤2.

預(yù)備知識(shí)2[3]為了探求二元函數(shù)f(x,y)在約束條件φ(x,y)=0下的極值點(diǎn)，出生于意大利的法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日借用偏導(dǎo)數(shù)發(fā)現(xiàn)了“乘數(shù)法”——如果二元函數(shù)f(x,y)在約束條件φ(x,y)=0下連續(xù)并存在偏導(dǎo)數(shù)，取函數(shù)L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，那么目標(biāo)函數(shù)f(x,y)的所有極值點(diǎn)(x0,y0)適合于方程組

證法11依題意，不妨取拉格朗日函數(shù)L(a,b)=a+b+λ(a3+b3-2)，其中a>0且b>0，則列方程組

消去乘數(shù)λ,解得a=b=1.

此時(shí)，二元函數(shù)u(a,b)=a+b的唯一極值是

a+b=1+1=2.

于是，運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法知，2是a+b的最大值，故a+b≤2.

回眸上述題意及證題思路，得到以下3個(gè)定理：

定理1如果兩個(gè)正數(shù)a與b滿(mǎn)足an+bn=c，其中兩個(gè)常數(shù)c>0,n∈N+且n≥2，那么

當(dāng)a=b時(shí)，上述不等式取到等號(hào).

進(jìn)一步推廣定理1的結(jié)論，可以驗(yàn)證得到：

定理2如果兩個(gè)正數(shù)a與b滿(mǎn)足am+bm=c，其中兩個(gè)常數(shù)c>0,m>1，那么

當(dāng)a=b時(shí)，上述不等式取到等號(hào).

對(duì)定理2進(jìn)行類(lèi)比思考，可以得到：

定理3如果兩個(gè)正數(shù)a與b滿(mǎn)足am+bm=c，其中兩個(gè)常數(shù)c>0,m∈(0,1)，那么

當(dāng)a=b時(shí)，上述不等式取到等號(hào).

[1] 甘大旺.通法與特技的相對(duì)性及啟示[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1997(2)：11-12.

[2] 甘大旺.切比雪夫不等式及其兩個(gè)推論[J].數(shù)學(xué)通訊,2016(12)：59-61.

[3] 甘大旺.拉格朗日乘數(shù)法的初等應(yīng)用[J].寧波教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2017,19(1)：134-137.

2017-09-08

甘大旺(1959-)，男，湖北咸寧人，湖北省特級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122． 3

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