代正亮， 巴斌， 張彥奎， 崔維嘉， 王大鳴

解放軍信息工程大學 信息系統(tǒng)工程學院， 鄭州 450001

回溯降維相干分布式非圓信號DOA快速估計

代正亮*， 巴斌， 張彥奎， 崔維嘉， 王大鳴

解放軍信息工程大學 信息系統(tǒng)工程學院， 鄭州 450001

在相干分布式非圓(CDNC)信號波達方向(DOA)估計中，針對陣列輸出矩陣擴展后維數增加帶來的較大運算量問題，基于降維的多級維納濾波(MSWF)技術，引入回溯優(yōu)化思想，提出了一種快速估計算法。該算法首先利用信號非圓特性擴展陣列輸出矩陣，然后通過MSWF遞推分解快速求出信號子空間，避免了計算陣列協(xié)方差矩陣及特征分解，并且在遞推過程中引入回溯優(yōu)化機制提高了各級匹配濾波器的估計性能，最后由最小二乘(LS)或者總體最小二乘(TLS)得到DOA估計。仿真分析表明，所提算法與相干分布式非圓信號旋轉不變子空間算法(CDNC-ESPRIT)性能相當，但復雜度得到了大幅度降低，相比于基于MSWF的非圓信號快速子空間(NC-MSWF-FS)算法，在較小的復雜度代價下大幅度提升了低信噪比時的估計性能，并且對初始參考信號的選取具有了較強的魯棒性。

相干分布式信源； 非圓信號； 多級維納濾波； 回溯優(yōu)化； 遞推分解

高分辨率的波達方向(Direction of Arrival， DOA)估計技術[1-3]是陣列信號處理的重要研究內容之一。傳統(tǒng)的DOA估計算法都是基于點源模型提出的，但在雷達、聲納和移動通信等應用領域[4]，由于復雜環(huán)境下的散射、反射及衍射等原因導致大量的多徑現象造成信號源在空間發(fā)生一定的角度擴展。此時，基于點源假設的傳統(tǒng)DOA估計算法性能嚴重惡化[5-6]。為解決這一問題，一般采用一定參數化的分布式信源模型結合信源的分布特性進行DOA估計。分布式信源可以分為相干分布源(Coherently Distributed Source， CDS)和非相干分布源兩種類型。迄今為止，針對上述兩種分布式信源模型已發(fā)展出了眾多有效的DOA估計算法。文獻[7]首先將多重信號分類(MUltiple SIgnal Classification， MUSIC)算法推廣到分布式信源，提出了分布式信源參數估計(Distributed Signal Parameter Estimator， DSPE)算法，但該算法需要進行二維譜峰搜索，計算復雜度高；在 DSPE算法的基礎上，文獻[8]利用基于泰勒級數展開的總體最小二乘旋轉不變子空間算法直接求解分布式信源DOA估計，無需譜峰搜索，運算量較小。隨后，又有相關學者相繼提出波束形成類[9]、最大似然類[10]和稀疏重構類[11]等方法。

上述方法都是基于復圓信號特性的假設。然而，在現代通信中存在大量的非圓信號，如雙相移相鍵控(Binary Phase Shift Keying， BPSK) 以及最小移頻鍵控(Minimum-Shift Keying， MSK)等調制信號[12-13]。近年來，利用信號非圓特性提高分布式信源 DOA估計性能的研究引起了相關學者的關注。文獻[14]在分布式信源模型中引入信號的非圓性質，提出了基于稀疏表示的相干分布式非圓信號參數估計，在低信噪比和有限快拍下具有較好的性能，但隨著信噪比的提升，算法性能提升不明顯，同時該算法需要進行多維稀疏重構，導致其復雜度較高。文獻[15]針對相干分布源，提出了基于非圓信號和圓信號混合入射的DSPE算法，估計性能得到了提升，但該方法采用二維譜峰搜索的方式，運算量過大。為了降低復雜度，文獻[16]提出了相干分布式非圓信號旋轉不變子空間(Coherently Distributed Noncircular Source ESPRIT， CDNC-ESPRIT)算法，無需譜峰搜索，可以直接解算出DOA估計。盡管如此，由于利用非圓特性將陣列輸出信號矢量維數進行了擴展，并且現有的這些子空間算法需要計算協(xié)方差矩陣和特征分解，因此復雜度仍有待降低。

多級維納濾波(Multi-Stage Wiener Filters， MSWF)是一種低復雜度的降維技術[17]，被廣泛應用在信號處理領域。它以簡單的乘加過程代替了復雜的特征分解，利用其正交分解的特性可以快速估計信號或噪聲子空間。文獻[18]將MSWF應用到陣列的子空間分解中，并指出經前向遞推分解得到的匹配濾波器可作為信號子空間基的估計值，但要求目標的訓練序列或信號波形是先驗已知的，在實際環(huán)境中實用性不高。文獻[19-20]在點源模型下提出了一類基于MSWF的非圓信號快速子空間(NC-MSWF-FS)算法，運算量大幅度降低，并且通過觀測數據構造初始參考信號，無須信號波形等先驗信息，但該方法由于參考信號不可避免地引入噪聲，MSWF遞推分解過程中的匹配濾波器是次優(yōu)的，導致算法在低信噪比時性能較差。

本文考慮相干分布式非圓信號，首先利用信號非圓特性擴展陣列輸出矩陣，然后基于回溯優(yōu)化的MSWF技術遞推分解快速求出信號子空間，最后由最小二乘(Least Squares, LS)或總體最小二乘(TLS)得到DOA估計。通過仿真實驗將本文算法與TLS-ESPRIT算法、文獻[16]中的CDNC-ESPRIT算法和NC-MSWF-FS算法進行比較，并對4種算法進行了復雜度分析，體現了本文算法的優(yōu)越性。

1 數學模型

假設兩個完全相同均勻線陣組成的平面?zhèn)鞲衅麝嚵?，這兩個子陣分別記為Zx和Zy，每個子陣都有M個陣元，陣元間距為d，子陣之間相差已知的位移矢量大小為δ，示意圖如圖 1所示。有K個遠場窄帶相干分布式非圓信號從θk(k=1,2,…,K)方向入射到該陣列上，波長為λ。

圖1 雙均勻線陣Fig.1 Double uniform linear array

兩個子陣Zx和Zy的輸出信號矢量分別為[5]

(1)

(2)

對于相干分布源，角信號密度函數可以表示為

sk(θ,t;μk)=sk(t)gk(θ;μk)

(3)

式中：sk(t)為第k個復隨機信號源；gk(θ;μk)為相應的確定性角度加權函數，通常為高斯分布或均勻分布。進一步地，有

(4)

(5)

(6)

表示成矩陣形式為

C≈BΦ

(7)

將子陣Zx和Zy的輸出加以合并，構成整個陣列的輸出信號矢量z(t)為

(8)

Z=DS+Nz

(9)

式中：

由上述分析知，陣列廣義流型矩陣D具有旋轉不變性，即

J1DΦ=J2D

(10)

式中：J1=[IM0M×M]和J2=[0M×MIM]分別為RM×2M的選擇矩陣。

2 DOA快速估計算法

為有效提高估計精度和降低運算復雜度，算法在利用信號非圓特性擴展陣列輸出矩陣的基礎上，基于回溯優(yōu)化的MSWF技術遞推分解快速產生信號子空間，避免了通過復雜度較高的協(xié)方差矩陣特征分解獲得信號子空間，最后由最小二乘或總體最小二乘求解出各個相干分布源DOA估計。圖 2為整體算法流程。

圖2 整體算法流程Fig.2 Integrated algorithm flow

2.1 陣列輸出矩陣擴展

本文考慮接收信號為最大非圓率信號的情況，則接收信號矩陣S可以表示為[13]

S=ΨS0

(11)

式中：S0為實信號矩陣；Ψ=diag(ejφ1/2,ejφ2/2,…,ejφK/2)，其中φk為第k個相干分布源的非圓相位。

利用信號的非圓特性，可構造擴展的陣列輸出矩陣Z(nc)∈C4M×N：

(12)

由式(10)知，廣義陣列流型矩陣D具有旋轉不變性，據此可以得到擴展后的廣義陣列流型矩陣D(nc)也具有旋轉不變性[21]：

(13)

根據式(12)可知，利用擴展的陣列輸出矩陣可以虛擬加倍陣元個數，進而可提高陣列的分辨精度，但運算量也隨著陣列輸出矩陣擴展后維數的增加而加大。

2.2 基于回溯優(yōu)化的MSWF產生信號子空間

對得到的擴展陣列輸出矩陣Z(nc)，傳統(tǒng)的CDNC-ESPRIT算法通過計算協(xié)方差矩陣和特征分解雖然能得到準確可靠的信號子空間估計，但運算量相當大。而MSWF是一種有效的降維濾波技術，文獻[18]證明了利用MSWF技術的前向多級遞推分解特性可以快速獲得觀測數據的信號或噪聲子空間，避免了計算協(xié)方差矩陣和特征分解，可大幅度降低運算量。

MSWF技術的基本思想是對觀測信號進行多次正交投影分解，每次分解都得到兩個相互正交的子空間，一個子空間平行于上一次觀測信號與參考信號的互相關矢量，另一個則與之正交，然后對正交于互相關矢量的子空間再用相同的方法繼續(xù)分解，以此類推，經過K(K<4M)次分解后可得到一個4M×K維矩陣，從而實現將觀測信號投影到某一降維子空間。

將擴展陣列輸出矩陣Z0=Z(nc)作為MSWF初始觀測信號，利用滿秩矩陣T1=[h1B1]對初始觀測信號進行正交投影分解，可以得到兩個子空間，一個子空間平行于h1，另一個子空間與h1正交，即為

(14)

初始參考信號d0的選取對信號子空間求解精度的影響很大，當信號波形未知時，可通過初始觀測信號Z0來構造，一般有兩種方式：Z0的第一行元素或者若干行元素的平均值，即

(15)

(16)

式中：e=[1 0 … 0]；m為行數。但由于實際應用中觀測信號并不是無噪的，因此初始參考信號不可避免地引入噪聲，進而使得MSWF遞推分解過程中的各級匹配濾波器滲透了噪聲子空間特征矢量，即是次優(yōu)的，導致算法在低信噪比時性能較差。

本文針對此問題對MSWF的遞推分解過程進行改進：在每級維納濾波中，首先由前一級觀測信號和參考信號的歸一化互相關矢量得到次優(yōu)匹配濾波器；然后引入回溯機制，利用該次優(yōu)匹配濾波器通過投影的方法重新計算新的參考信號，實現參考信號的優(yōu)化處理，從而再次通過前一級觀測信號和新的參考信號的歸一化互相關矢量得到優(yōu)化后的匹配濾波器?？紤]到多次回溯優(yōu)化可進一步提升低信噪比時算法的估計性能，但不必要的重復優(yōu)化會帶來復雜度的增加，因此在回溯優(yōu)化中，添加了一個優(yōu)化終止判斷過程，當優(yōu)化后的參考信號與本次優(yōu)化前的參考信號之間十分接近時，即兩者的差值向量2-范數小于設定的閾值時，可停止回溯優(yōu)化，否則繼續(xù)優(yōu)化。

本文基于回溯優(yōu)化的MSWF技術產生信號子空間的具體步驟為

步驟2 通過前一級觀測信號和參考信號的歸一化互相關矢量得到次優(yōu)匹配濾波器ht，有

(17)

(18)

(19)

步驟4 更新參考信號和觀測信號，有

(20)

(21)

t=t+1，遞推終止條件t>K，K為信源數。不滿足終止條件，返回步驟2繼續(xù)遞推。

(22)

2.3 LS或TLS求解中心波達角

(23)

式中：Γ=TΦT-1，進而可以通過最小二乘準則或者總體最小二乘準則求解出Γ。

Γ的特征值是Φ的對角元素，得到矩陣Γ就可以利用其特征值估計出DOA：

(24)

2.4 算法步驟

根據上述分析可以將本文估計相干分布式非圓信號DOA的方法歸納為以下步驟。

步驟1 對陣列輸出信號根據式(12)進行擴展，得到擴展陣列輸出矩陣Z(nc)。

步驟2 獲取MWSF初始觀測信號Z0=Z(nc)和初始參考信號d0。

步驟4 由2.3節(jié)中最小二乘或總體最小二乘準則求解出K個相干分布源DOA估計值。

3 仿真實驗

3.1 仿真分析

本文研究的是非圓信號下的相干分布式信源DOA估計算法，擬采用角信號密度函數為高斯分布的相干分布式BPSK信號作為發(fā)射信號。仿真實驗采用如圖 1所示的陣列結構，陣元間距d=λ/2，兩個子陣間距δ=λ/10。實驗中假設噪聲為高斯白噪聲。為了驗證本文算法的實用性和魯棒性，采用蒙特卡羅實驗將本文算法與TLS-ESPRIT、CDNC-ESPRIT和NC-MSWF-FS算法進行對比分析。

定義均方根誤差(Root Mean Square Error， RMSE)為

k=1,2,…,K

(25)

定義DOA估計誤差為

(26)

根據式(26)計算出Δθq,1、Δθq,2，圖4為DOA估計誤差的分布圖。定義DOA估計誤差的均值為

(27)

其他參數不變的條件下，令SNR=0 dB，得

圖3 DOA估計值分布(SNR=15 dB， K=2) Fig.3 Distribution of DOA estimation (SNR=15 dB,K=2)

圖4 DOA估計誤差值分布(SNR=15 dB， K=2) Fig.4 Distribution of DOA estimation error (SNR=15 dB, K=2)

到DOA估計值分布圖如圖5所示。由圖5可以看出雖然隨著信噪比的下降，DOA估計值分布趨于發(fā)散，但其均值仍接近真實值。因此本文算法在低信噪比下依舊有著較強的魯棒性。

仿真2 算法性能對比：將本文算法與TLS-ESPRIT、CDNC-ESPRIT和NC-MSWF-FS算法性能進行對比。假設信源數K=3，波達方向分別為(-20°,5°,15°)，對應角度擴展分別為(3°,4°,5°)，分別繪制這些算法的RMSE曲線與信噪比的關系，曲線如圖6所示。從圖中可以看出本文算法與CDNC-ESPRIT算法的估計性能近似相同，但明顯優(yōu)于TLS-ESPRIT算法。這是因為本文算法與 CDNC-ESPRIT算法均利用信號非圓特性擴展了陣列接收矩陣，虛擬增大了陣元數，擴展了陣元孔徑，從而提高了估計性能。NC-MSWF-FS算法雖然也利用了信號非圓特性，但由于初始參考信號中噪聲的影響導致MSWF遞推分解得到的信號子空間在低信噪比時精度較差，而本文算法在MSWF遞推分解過程中引入了回溯優(yōu)化機制，所以本文算法在低信噪比時性能明顯優(yōu)于NC-MSWF-FS算法。

圖5 DOA估計值分布(SNR=0 dB， K=2) Fig.5 Distribution of DOA estimation (SNR=0 dB,K=2)

圖6 不同算法均方根誤差與信噪比的關系Fig.6 Relationship between RMSE and SNR of different algorithm

仿真3 初始參考信號的影響：在相同仿真條件下，為比較MSWF不同初始參考信號對本文算法和NC-MSWF-FS算法各自估計性能的影響，選取初始參考信號為初始觀測信號矩陣Z0第1行元素、前M行元素平均值、前2M行元素平均值、前3M行元素平均值和前4M行元素平均值這5種情況，繪制各自的RMSE曲線與信噪比SNR的關系，如圖7所示，固定信噪比為0 dB，繪制各自的RMSE曲線與快拍數的關系，如圖 8所示。由圖7、圖 8可以看出NC-MSWF-FS算法的估計性能受初始參考信號的影響波動較大，魯棒性較差，并且這5種選取方式下的估計性能在低信噪比時均低于CDNC-ESPRIT算法，而本文算法的估計性能受初始參考信號的影響波動很小，并且5種選取方式下的估計性能都與CDNC-ESPRIT算法非常接近，因此本文算法對初始參考信號的選取具有很強的魯棒性，初始參考信號的任意選取不會導致本文算法在低信噪比時性能的下降。

圖7 不同初始參考信號下均方根誤差與信噪比的關系Fig.7 Relationship between RMSE and SNR of different initial reference signals

圖8 不同初始參考信號下均方根誤差與快拍數的關系Fig.8 Relationship between RMSE and number of snapshots of different initial reference signals

3.2 復雜度分析

TLS-ESPRIT算法的計算復雜度主要包括兩部分：估計一個2M階的陣列協(xié)方差矩陣和對該陣列協(xié)方差矩陣進行特征分解，復雜度為O(4M2N+8M3)；總體最小二乘準則計算DOA估計，復雜度為O(4K2M+11K3)。文獻[16]提出的CDNC-ESPRIT算法的計算復雜度主要包括兩部分：估計一個4M階的陣列協(xié)方差矩陣和對該陣列協(xié)方差矩陣進行特征分解，復雜度為O(16M2N+64M3)；總體最小二乘準則計算DOA估計，復雜度為O(8K2M+11K3)。NC-MSWF-FS算法采用MSWF技術獲取信號子空間，無須計算陣列協(xié)方差矩陣及特征分解，計算復雜度包括：用MSWF技術估計信號子空間，復雜度為O(12KMN)；總體最小二乘準則計算DOA估計，復雜度為O(4K2M+11K3)。本文算法在MSWF遞推分解過程中引入了回溯優(yōu)化機制，復雜度為O(12(h+1)KMN+4K2M+11K3)(h≥1為回溯優(yōu)化次數)。表1為4種算法復雜度對比表。圖9 為4種算法的歸一化運行時間對比。

表1 不同算法復雜度對比表Table 1 Comparison of different algorithm complexity

圖9 歸一化運行時間與陣元數的關系Fig.9 Relationship between normalized operating time and number of arrays

由表 1、圖 9可以看出，TLS-ESPRIT算法和CDNC-ESPRIT算法復雜度隨陣元數M增加呈指數級增加。而本文算法的復雜度在陣元數較大時遠低于CDNC-ESPRIT算法，并且相較于NC-MWSF-FS算法復雜度增加較小。根據以上分析，可以得出這樣的結論：本文算法相比于CDNC-ESPRIT算法，在保持估計精度的同時大幅度降低了復雜度，而相比于NC-MWSF-FS算法，在較小復雜度的代價下取得了性能的較大提升。

4 結 論

在相干分布式非圓信號DOA估計中，針對利用信號非圓特性帶來的較大運算量和降維的MSWF技術受初始參考信號選取影響較大的問題，本文提出來一種基于回溯優(yōu)化降維的DOA快速估計算法。該算法具有如下優(yōu)勢：

1) 與 CDNC-ESPRIT算法相比，本文算法直接通過遞推分解快速求出信號子空間，避免了計算協(xié)方差矩陣及其特征分解運算，在保持估計精度的同時大幅度降低了運算復雜度。

2) 相比于傳統(tǒng)的MSWF算法，本文算法在遞推分解過程中引入了回溯優(yōu)化機制提高了各級匹配濾波器的估計性能，在較小復雜度的代價下取得了性能的較大提升，并且對初始參考信號的選取具有很強的魯棒性。

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(責任編輯： 蘇磊)

*Corresponding author. E-mail: xinxidailiang@outlook.com

Fast DOA estimation for coherently distributed noncircular sources by backtracking reduced dimension

DAI Zhengliang*, BA Bin, ZHANG Yankui, CUI Weijia, WANG Daming

InstituteofInformationSystemEngineering,PLAInformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450001,China

In the estimation of Direction of Arrival (DOA) for coherently distributed noncircular (CDNC) signals, the increase of dimension caused by array output matrix extension can bring a large amount of computation. For the problem, a fast estimation algorithm based on the Multi-Stage Wiener Filter (MSWF) technology is proposed by introducing the idea of backtracking optimization. The proposed algorithm first uses the noncircularity of the signal to extend the array output matrix. The signal subspace is then obtained by using the recursive decomposition characteristic of the MSWF, so as to avoid the computation of the covariance matrix and the characteristic decomposition of the matrix. In the recursive decomposition process, the backtracking optimization mechanism is introduced to improve the estimation performance of the matched filter. The DOA estimation can be obtained by the Least Squares (LS) or the Total Least Squares (TLS). Simulation results show that the performance of the proposed algorithm with a much lower complexity is comparable with the rotation invariant subspace algorithm based on CDNC (CDNC-ESPRIT). Compared to the fast noncircular signal subspaced algorithm based on the MSWF (NC-MSWF-FS), the proposed algorithm can effectively improve performance at lower complexity cost in low signal to noise ratio. The simulation also shows that the proposed algorithm is more robust to the initial reference signal.

coherently distributed source； noncircular source； multi-stage Wiener filter (MSWF)； backtracking optimization； recursive decomposition

2016-12-07； Revised： 2017-02-06； Accepted： 2017-03-15； Published online： 2017-03-23 17:50

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170323.1750.010.html

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V19； TN911.72

A

1000-6893(2017)09-321034-10

2016-12-07； 退修日期： 2017-02-06； 錄用日期： 2017-03-15； 網絡出版時間： 2017-03-23 17:50

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170323.1750.010.html

國家自然科學基金(61401513)

*通訊作者.E-mail: xinxidailiang@outlook.com

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10.7527/S1000-6893.2017.321034