王榮橋， 劉飛， 胡殿印,*， 李達

1.北京航空航天大學 能源與動力工程學院， 北京 100083 2.先進航空發(fā)動機協(xié)同創(chuàng)新中心， 北京 100083 3.航空發(fā)動機結(jié)構(gòu)強度北京市重點實驗室， 北京 100083

基于貝葉斯理論的低循環(huán)疲勞壽命模型不確定性量化

王榮橋1,2,3， 劉飛1， 胡殿印1,2,3,*， 李達1

1.北京航空航天大學 能源與動力工程學院， 北京 100083 2.先進航空發(fā)動機協(xié)同創(chuàng)新中心， 北京 100083 3.航空發(fā)動機結(jié)構(gòu)強度北京市重點實驗室， 北京 100083

為量化低循環(huán)疲勞壽命模型中的不確定性因素，利用貝葉斯理論，采用經(jīng)典的模型校準形式確立了壽命模型的不確定性量化形式，并結(jié)合正態(tài)性檢驗對誤差項進行驗證；應用馬爾可夫鏈-蒙特卡羅(MCMC)算法獲得了模型參數(shù)后驗分布的抽樣樣本，在小子樣試驗數(shù)據(jù)條件下確定了低循環(huán)疲勞壽命的95%不確定性區(qū)間，較好地覆蓋了壽命的分散性；對參數(shù)樣本進行了相關(guān)性分析，并將異方差回歸概率模型與貝葉斯概率模型進行了比較。最后，利用Morris全局靈敏度分析方法獲得了Manson-Coffin模型參數(shù)的全局靈敏度指標；同時，驗證了在模型參數(shù)對先驗信息敏感，或者說在先驗信息影響極大的情況下，采用無信息先驗處理方法的合理性。

貝葉斯理論； 不確定性量化； 低循環(huán)疲勞； 概率模型； 全局靈敏度

渦輪盤作為航空發(fā)動機的關(guān)鍵限壽件，長期處于高溫、高轉(zhuǎn)速的工作環(huán)境，易引起低循環(huán)疲勞失效。渦輪盤結(jié)構(gòu)的低循環(huán)疲勞在壽命表現(xiàn)上存在很大分散性，原因在于載荷、尺寸誤差等外在隨機因素帶來的不確定性，以及材料組織不均勻、內(nèi)部缺陷隨機分布造成的結(jié)構(gòu)壽命的固有分散屬性[1]。此外，針對疲勞問題建立壽命預測模型時，存在物理建模不準確導致的認知不確定性問題。分散性問題和物理建模不準確問題可分別歸結(jié)為壽命模型的模型參數(shù)不確定性和模型不確定性問題。因此，開展低循環(huán)疲勞壽命模型的不確定性量化研究，是進行渦輪盤結(jié)構(gòu)設(shè)計的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

低循環(huán)疲勞壽命的分散性常用概率模型來量化，并且采用結(jié)構(gòu)可靠性求解方法預估在指定置信度水平下的概率壽命[2-3]。目前，國內(nèi)外學者已經(jīng)提出了多種低循環(huán)疲勞壽命概率模型[4-7]。這些模型大多引入假設(shè)特定分布特征的隨機變量，含有一定程度的主觀性，從而造成預測壽命與實際壽命存在偏差。同時，由于試驗周期長、費用高等原因，低循環(huán)疲勞試驗獲得的樣本數(shù)據(jù)量偏少，從而導致基于概率統(tǒng)計理論的疲勞壽命概率模型預測可信度不高。

貝葉斯(Bayes)理論結(jié)合了先驗信息，利用專家信息和已有試驗數(shù)據(jù)作為問題的信息補充，適于處理小樣本問題[8]；另一方面，貝葉斯理論可以有效地確定模型參數(shù)的后驗分布，克服假設(shè)參數(shù)分布特征的缺點。為此，本文選取基于Manson-Coffin形式的低循環(huán)疲勞壽命模型，依據(jù)量化模型不確定性的校準公式，并結(jié)合Bayes理論和馬爾可夫鏈-蒙特卡羅(Markov Chain-Monte Carlo, MCMC)算法獲得模型參數(shù)的聯(lián)合后驗分布，從而量化模型參數(shù)的不確定性。最后，開展了模型參數(shù)的靈敏度分析以確定主要影響因素。

1 模型不確定性量化的校準形式

模型校準是為了調(diào)整模型中的參數(shù)，從而保證模型預測與試驗數(shù)據(jù)的一致性[9]。模型校準公式將物理模型和真實系統(tǒng)輸出聯(lián)系起來，考慮到觀測誤差、模型不確定性、剩余不確定性(完全相同輸入條件下，物理過程有差異性結(jié)果)等不確定性因素，通過進一步的數(shù)學處理以獲得準確的預測結(jié)果。

模型參數(shù)可分為2類：① 可控輸入?yún)?shù)X，作為物理過程的狀態(tài)參量，通常是已知的；② 校準輸入?yún)?shù)θ，描述了模型應用的特定情境[10]。模型校準的一般形式[11]為

Ye=F(X,θ)+ε

(1)

式中：Ye為狀態(tài)X時的測量值；F為模型函數(shù)；ε為誤差項，綜合包含了觀測誤差、剩余不確定性等因素，一般認為ε～N(0,ΣYe),ΣYe為觀測誤差間的協(xié)方差矩陣。

本文選取工程上常用的Manson-Coffin形式的低循環(huán)疲勞壽命模型，其表達式為[12]

(2)

Manson-Coffin模型分為彈性和塑性2部分，相應地，可以將其分解為2個模型分別進行不確定性量化，即

(3)

(4)

式中：εm1和εm2為模型誤差項，表示試驗測量值與模型輸出的偏差。在概率模型建模及不確定性量化分析中，誤差項及模型參數(shù)、疲勞壽命均視為隨機變量。

已有研究表明[12]，當誤差水平εm1和εm2一定時，若應變水平降低，則低循環(huán)疲勞壽命的標準差以及變異系數(shù)會增大，即壽命的分散性將增大。從式(3)可以看出，在誤差水平εm1一定的情況下，有

(5)

參數(shù)b<0，可見壽命Nf與變量Δεe/2-εm1滿足負指數(shù)函數(shù)關(guān)系，具有單調(diào)遞減下凹的性質(zhì)，通過圖解法和蒙特卡羅模擬方法，分析可知兩者的變異系數(shù)具有正相關(guān)性。Δεe/2-εm1的變異系數(shù)表示為

(6)

式中：Std.為標準差；Mean為均值；D(εm1)為方差。當應變水平Δεe減小，而誤差εm1不變，那么Δεe/2-εm1變異系數(shù)增大，意味著壽命分散性也會增大。這說明采用的模型校準形式和誤差項假設(shè)在定性上是合理的，而且也符合應變測量誤差的物理意義。

本文的研究對象為渦輪盤典型材料GH720Li高溫合金，試驗應變比R=-1，溫度為650 ℃，試驗數(shù)據(jù)見文獻[13]。首先對GH720Li合金低循環(huán)疲勞壽命模型校準式(1)中誤差項的分布形式進行研究[14]。利用最小二乘法確定εm1和εm2的樣本數(shù)據(jù)，利用Shapiro-Wilk(S -W)方法對其正態(tài)分布假設(shè)進行檢驗，結(jié)果見表1。

表1 誤差項正態(tài)分布檢驗Table 1 Normal distribution test for error terms

樣本量(樣本自由度df)在3～2 000之間，εm1和εm2的正態(tài)性檢驗P值(顯著性水平Sig)均大于檢驗水平0.05，說明εm1和εm2服從正態(tài)分布的假設(shè)是合理的。

2 模型參數(shù)不確定性的貝葉斯推理

在Bayes理論中，事件的觀察者對于事件的初始認知被量化為概率的補充部分，通過不斷地添加客觀信息，實現(xiàn)對認知狀態(tài)的更新。

根據(jù)Bayes公式，在數(shù)據(jù)D下模型參數(shù)θ的后驗概率密度為

(7)

式中：π(θ)為模型參數(shù)θ的先驗分布；P(D|θ)為似然函數(shù)。

根據(jù)模型評估式(1)，若誤差項滿足ε～N(0,ΣYe)，則參數(shù)校準的后驗分布為

(8)

對于低循環(huán)疲勞壽命模型Manson-Coffin式(3)～式(4)參數(shù)校準的后驗分布為

f(θm1|D)～

(9)

f(θm2|D)～

(10)

式(9)～式(10)的后驗分布為非線性多元聯(lián)合分布函數(shù)，采用MCMC算法進行抽樣，利用蒙特卡羅方法在馬爾可夫鏈平穩(wěn)分布過程中抽樣得到目標分布的樣本。Metropolis-Hasting采樣算法流程為[15]

1) 初始化馬可爾夫鏈，選定初始點Xs0，確定預選分布q(Ys|Xs)。

2) 假設(shè)當前時刻為t，進行條件抽樣，得到新的點yst，滿足yst～q(Ys|Xst)。

3) 從均勻分布采樣u～U(0,1)，若u

4) 轉(zhuǎn)到2)，繼續(xù)抽樣。

預選分布q(Ys|Xs)代表抽樣過程中設(shè)計的馬爾可夫過程，本文選取正態(tài)分布作為預選分布，通過馬爾可夫鏈-蒙特卡羅算法得到了參數(shù)抽樣樣本。

模型參數(shù)的樣本直接反映了其分布特性，可以通過核密度函數(shù)法擬合其概率密度函數(shù)，并對樣本進行統(tǒng)計分析以量化模型參數(shù)的不確定性。

3 GH720Li合金低循環(huán)疲勞壽命模型的不確定性量化

3.1 模型參數(shù)后驗分布的抽樣分析

貝葉斯先驗信息來源于經(jīng)驗、歷史文獻資料、積累的客觀數(shù)據(jù)等。先驗信息的選擇是重要的，應該盡可能包括所有已知的關(guān)于參數(shù)的信息。在先驗信息獲取困難或者可信程度不高的情況下，應當采用無信息先驗，對試驗數(shù)據(jù)進行初步處理并作為先驗信息的補充亦是一個可行的方法。

由專家經(jīng)驗及文獻[16-17]得到GH720Li高溫合金Manson-Coffin模型參數(shù)的先驗信息見表2。

對式(9)～式(10)中參數(shù)的后驗分布采用MCMC抽樣方法獲得其樣本。其中,Manson-Coffin公式彈性部分的參數(shù)樣本結(jié)果見圖1和圖2。

表2 Manson-Coffin模型中參數(shù)的先驗分布

Table 2 Priority distribution of parameters in Manson-Coffin model

ModelparameterProbabilitydistributionMeanStandarddeviationbGaussian-0.080.01σ'f/MPaGaussian131821.97E/GPaGaussian199.23.32cGaussian-0.550.05ε'fGaussian0.050.01

的抽樣結(jié)果如圖3和圖4所示。

這樣，得到的Manson-Coffin公式模型參數(shù)校準的統(tǒng)計結(jié)果如表3所示，97.5%和2.5%分別為上、下界。

圖1 參數(shù)b抽樣樣本統(tǒng)計Fig.1 Sample statistics of parameter b

圖2 參數(shù)/E抽樣樣本統(tǒng)計Fig.2 Sample statistics of parameter /E

圖3 參數(shù)抽樣樣本統(tǒng)計Fig.3 Sample statistics of parameter

圖4 參數(shù)c抽樣樣本統(tǒng)計Fig.4 Sample statistics of parameter c

表3 Manson-Coffin模型參數(shù)校準結(jié)果Table 3 Calibration of parameter in Manson-Coffin model

ParameterMeanStandarddeviation2.5%97.5%b-0.08240.0023-0.0869-0.0780σ'f/E 0.00980.0001 0.0096 0.0101c-0.40100.0605-0.5269-0.2909ε'f 0.02410.0107 0.0104 0.0503

3.2 參數(shù)的相關(guān)性分析

3.2.1 相關(guān)性來源及解釋

C=

(11)

(12)

圖5 參數(shù)與c的相關(guān)關(guān)系 Fig.5 Correlation relationship between parameter and c

3.2.2 “退化”模型

(13)

回歸方法可以用更少的隨機變量數(shù)量建立低循環(huán)疲勞壽命的概率模型。建立應變疲勞壽命概率模型的常用方法是同方差回歸及異方差回歸方法，見文獻[12]和文獻[18]。同方差回歸是異方差回歸的特殊情況。異方差回歸方法考慮到壽命分散性隨應力(應變)降低而增大的事實，能夠更為準確地描述試驗數(shù)據(jù)[19]。采用異方差回歸方法處理Manson-Coffin模型，隨機變量數(shù)量可以縮減到2個，結(jié)果如式(14)～式(15)所示。

(14)

(15)

異方差回歸方法與本文的貝葉斯方法是建立概率模型的2種不同的體系，各有優(yōu)缺點。異方差回歸方法中，模型參數(shù)可以用數(shù)量更少的隨機變量μ1和μ2解析表示出來，這是貝葉斯方法做不到的。另一方面，根據(jù)式(14)～式(15)消去μ1和μ2，可得

(16)

3.3 低循環(huán)疲勞壽命的不確定性量化

GH720Li高溫合金的低循環(huán)疲勞壽命確定性模型為

(2Nf)-0.487 4

(17)

確定性模型中的參數(shù)值與表2和表3中的數(shù)據(jù)均相差較大。確定性模型采用最小二乘法，要求充分擬合試驗數(shù)據(jù)，使得誤差平方和最小。但表2數(shù)據(jù)屬于先驗信息，不依賴于試驗數(shù)據(jù)，表3為后驗信息，是先驗信息和試驗數(shù)據(jù)的綜合，因此與確定性模型的數(shù)值偏差較大。另一個原因是，高維非線性最小二乘方法往往采用數(shù)值迭代算法求解，很難得到最優(yōu)解，同時存在大量的局部最優(yōu)解，式(17)中的參數(shù)值只是眾多局部最優(yōu)解中的一組。

確定性模型預測壽命分散帶如圖6所示，圖中：Npred為預測壽命；Ntest為試驗壽命。圖6中確定性模型的壽命分散帶ΔN=2.38，如上文所說，確定性模型的求解方法是對試驗數(shù)據(jù)的充分擬合，必然獲得最小的壽命分散帶。確定性模型適合于評價理論模型的優(yōu)劣，但在工程應用上表達不確定性因素的能力有限，適用性降低。

可以看到，預測壽命的不確定區(qū)間大部分在2倍誤差帶以內(nèi)，預測均值的最大分散帶為ΔN=2.697，說明低循環(huán)疲勞壽命模型的不確定性量化結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)吻合良好。預測壽命不確定性區(qū)間較好地覆蓋了試驗壽命，僅有一個試驗數(shù)據(jù)的預測結(jié)果在2倍分散帶以外，一方面原因在于低應力條件下試驗壽命的分散性偏大，而且在中高周疲勞壽命的預測中，Manson-Coffin模型的適用性降低；另一方面，不確定區(qū)間隨壽命增加呈增大趨勢，但是在低應力高壽命范圍下的不確定區(qū)間不足以表達壽命的真實分散性，不確定性量化方法仍然有改進的空間。

圖6 確定性Manson-Coffin模型疲勞壽命預測 Fig.6 Fatigue life prediction based on deterministic Manson-Coffin model

圖7 疲勞壽命模型預測的不確定性區(qū)間 Fig.7 Uncertainty intervals of fatigue life prediction model

(18)

采用異方差回歸處理疲勞試驗數(shù)據(jù)，根據(jù)式(16)得到的參數(shù)樣本結(jié)果為

(19)

由式(19)，異方差回歸導出的概率模型滿足Manson-Coffin模型對數(shù)線性化的特點；對比式(12)和式(18)，塑性部分參數(shù)樣本的斜率為正，存在矛盾，說明采用異方差回歸方法建立概率模型是有問題的。圖8中，直線簇為將式(12)取對數(shù)后代入試驗數(shù)據(jù)畫出的，異方差回歸參數(shù)樣本明顯超出直線簇的包絡(luò)區(qū)域，區(qū)域外的點為異常樣本。

經(jīng)過同樣的計算流程，采用異方差回歸的低循環(huán)疲勞壽命概率模型得到的不確定性量化結(jié)果，如圖9所示。

對比圖7與圖9可見，異方差回歸方法預測的不確定性區(qū)間長度普遍增加，在低壽命區(qū)基本覆蓋2倍壽命分散帶，不確定性區(qū)間應用價值降低；隨著應力水平降低，不確定性區(qū)間長度呈現(xiàn)快速發(fā)散狀態(tài)，說明異方差回歸方法建立的概率模型具有非正常的不穩(wěn)定特點，主要原因在于塑性部分參數(shù)樣本斜率為正，與Manson-Coffin公式的物理模型產(chǎn)生矛盾，從而導致樣本異常。

圖8 參數(shù)的原始樣本和“退化”樣本Fig.8 Original and degraded samples of parameters

圖9 退化疲勞壽命模型預測的不確定性區(qū)間 Fig.9 Uncertainty intervals of degraded fatigue life model prediction

4 靈敏度分析

靈敏度分析是確定模型參數(shù)的不確定性對模型輸出不確定性影響大小的一種分析方法，是模型參數(shù)校準過程中的重要工具[20]。全局靈敏度分析在輸出參數(shù)的所有范圍內(nèi)，衡量模型輸出對參數(shù)的靈敏度指標[21]。其中，Morris方法由于計算量小、易于操作，得到廣泛應用。

Morris方法采用OAT(One factor at A Time)方式確定各個參數(shù)的基礎(chǔ)效應，并進行基礎(chǔ)效應的統(tǒng)計分析。用均值衡量參數(shù)對輸出變量(如壽命)的靈敏度指標，以方差衡量各參數(shù)之間的相互作用。參數(shù)θi的一個基礎(chǔ)效應計算式為

(20)

各參數(shù)θi的量綱不同時，應采用相對靈敏度分析[22]，此時基礎(chǔ)效應計算公式為

(21)

式中：Δ為θi的微小變化量。

圖10 不同應變下各參數(shù)靈敏度指標Fig.10 Sensitivity index of parameters with different strains

5 結(jié) 論

1) 貝葉斯理論相比于傳統(tǒng)概率方法，具有先驗信息優(yōu)勢，可以利用歷史數(shù)據(jù)(包括試驗數(shù)據(jù))和專家經(jīng)驗作為信息補充。在試驗數(shù)據(jù)不易獲得(小樣本)的情況下，可得到較為準確的結(jié)果。

2) 將量化模型不確定性的校準公式應用到貝葉斯理論框架中，利用馬爾可夫鏈-蒙特卡羅方法對模型參數(shù)后驗分布進行抽樣，從而得到模型參數(shù)的不確定性量化結(jié)果。

3) 在GH720Li高溫合金低循環(huán)疲勞壽命模型的不確定性量化分析中，95%不確定性區(qū)間可以很好地表達試驗壽命的分散性；通過對比發(fā)現(xiàn)，異方差回歸概率模型存在不合理性。

4) 參數(shù)的全局靈敏度分析結(jié)果表明，壽命模型塑性部分的參數(shù)靈敏度相對較小，并且與應力水平正相關(guān)。

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(責任編輯： 張晗)

*Corresponding author. E-mail: hdy@buaa.edu.cn

Uncertainty quantification in low cycle fatigue life model based on Bayesian theory

WANG Rongqiao1,2,3, LIU Fei1, HU Dianyin1,2,3,*, LI Da1

1.SchoolofEnergyandPowerEngineering,BeihangUniversity,Beijing100083,China2.CollaborativeInnovationCenterofAdvancedAero-Engine,Beijing100083,China3.BeijingKeyLaboratoryofAero-EngineStructureandStrength,Beijing100083,China

To quantify the uncertainties in the model for low cycle fatigue life prediction, the classic model calibration method is applied using Bayesian theory, and the error term was verified by the normality test. Posterior distribution of the model parameter samples is obtained by Markov Chain-Monte Carlo (MCMC) simulation. An application is presented where a 95% interval of fatigue life prediction well describes the dispersity in real tests with small data samples. Correlation analysis of the samples of parameters is conducted to establish the heteroscedastic regression model. Comparison of the two models shows that the heteroscedastic regression model is questionable in uncertainty quantification performance. Morris global sensitivity analysis method is applied to quantify the sensitivity of the parameters in Manson-Coffin model, indicating that the non-informative prior is reasonable if posterior distribution is sensitive to the prior.

Bayesian theory; uncertainty quantification; low cycle fatigue; probabilistic model; global sensitivity

2016-10-08； Revised： 2016-12-26； Accepted： 2017-05-31； Published online: 2017-06-02 16:55

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170602.1655.002.html

s： National Natural Science Foundation of China (51675024, 51305012, 51375031); Aeronautical Science Foundation of China (2014ZB51)

V231.95； O346.2+3

A

1000-6893(2017)09-220832-10

2016-10-08;

2016-12-26; 錄用日期： 2017-05-31; 網(wǎng)絡(luò)出版時間： 2017-06-02 16:55

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170602.1655.002.html

國家自然科學基金(51675024, 51305012, 51375031); 航空科學基金(2014ZB51)

*通訊作者.E-mail: hdy@buaa.edu.cn

王榮橋， 劉飛， 胡殿印， 等. 基于貝葉斯理論的低循環(huán)疲勞壽命模型不確定性量化[J]. 航空學報， 2017, 38(9): 220832. WANG R Q, LIU F, HU D Y, et al. Uncertainty quantification in low cycle fatigue life model based on Bayesian theory[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(9): 220832.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.220832