彭卓華
(湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南 湘潭 411201)
矩陣方程組的雙對(duì)稱最小二乘解
彭卓華
(湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南 湘潭 411201)
算法;矩陣方程組;雙對(duì)稱解;最小二乘解
設(shè)R、Rm×n、SRn×n和ARn×n分別表示實(shí)數(shù)、m×n實(shí)矩陣、n×n實(shí)對(duì)稱矩陣和n×n實(shí)反對(duì)稱矩陣集合.In表示n階單位矩陣.Sn(Sn=en,en-1,…,e1)表示n×n反序單位矩陣(ei表示n×n單位矩陣的第i列).AT和tr(A)分別矩陣A的轉(zhuǎn)置和跡. 定義矩陣A和B的內(nèi)積為〈A,B〉=tr(BTA),那么,由這種內(nèi)積生成的范數(shù),顯然就是Frobenius范數(shù),即‖A‖2=〈A,A〉.
定義1.1 矩陣A=(aij)∈Rn×n被稱為雙對(duì)稱矩陣,如果A=AT=SnASn,即aij=aji=an+1-j,n+1-i.用BRn×n表示n階實(shí)雙對(duì)稱矩陣集合.
定義1.2 矩陣A=(aij)∈Rn×n被稱為雙反對(duì)稱矩陣,如果A=AT=-SnASn,即aij=aji=-an+1-j,n+1-i.用SCRn×n表示n階實(shí)雙反對(duì)稱矩陣集合.
求解線性矩陣方程組已經(jīng)成為數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域的熱門課題. 例如,Yuan和Wang[1]利用四元素矩陣的復(fù)表示和Moore-Penrose廣義逆給出了矩陣方程AXB + CYD=E帶有最小范數(shù)的最小二乘η-Hermitian和η-anti-Hermitian解的表達(dá)式.Wang[2]在正則環(huán)上研究了矩陣方程組A1XB1=C1,A2XB2=C2,得到了這個(gè)方程組一般解存在的充分必要條件和表達(dá)式. Wang和Li[3]求出了矩陣方程組A1X1=C1,A2X2=C2,A3X1B1+A4X2B2=C3最大最小秩解和最小范數(shù)解,等等.
迭代法經(jīng)常用于解矩陣方程組.例如,Lin和Wang[4]用迭代法求出了矩陣方程組A1X1B1+A2X2B2=E,C1X1D1+C2X2D2=F的解. Ding等[5]用兩種方法研究了矩陣方程組A1XB1=F1,A2XB2=F2. Ding和Chen[6]利用基于梯度搜索原理的迭代法求解了矩陣方程組
(1)
值得注意的是,矩陣方程組(1)包含了很多的矩陣方程組. 然而有關(guān)它的最小二乘雙對(duì)稱解還沒有相關(guān)的結(jié)論,而且,用上面文獻(xiàn)中提到的算法,不能求得它的最小二乘雙對(duì)稱解. 因此,本文主要研究這個(gè)問題,具體描述如下:
引理2.1[7]若矩陣X∈SRn×n,那么X+SnXSn∈BRn×n,X-SnXSn∈SCRn×n.
引理2.2[7]Rn×n=SRn×n⊕ARn×n=BRn×n⊕SCRn×n⊕ARn×n.
那么?W∈BRmj×mj,則
=〈Υj(Z),W〉.
(2)
引理2.3[8]設(shè)Ω表示有限維內(nèi)積空間,Φ是Ω的一個(gè)子空間,Φ⊥是Φ的正交補(bǔ)空間. ?x∈Ω,總存在y0∈Φ,使得‖x-y0‖‖x-y‖(?y∈Φ).而且,y0為Φ中唯一最小向量的充分必要條件是(x-y0)⊥Φ,即(x-y0)∈Φ⊥.
(3)
由式(2)知,
算法3.1 任給初始矩陣組(X0,1,…,X0,l)∈BRm1×m1×…×BRml×ml,
Q0,j=P0,j,(j=1,…,l);
k:=0;
Xk+1,j=Xk,j+αkQk,j(j=1,…,l);
Qk+1,j=Pk+1,j+βkQk,j(j=1,…,l);
(4)k:=k+1,轉(zhuǎn)(2).
證明.用數(shù)學(xué)歸納法. 第一步證明,當(dāng)k=1 時(shí),(1)-(3)成立.
因此,當(dāng)k=1 時(shí),(1)-(3)成立.
第二步證明,假定當(dāng)k=s,i 當(dāng)k=s+1,i (4) 由算法3.1知,矩陣Qiv(is,v=1,…,l)可表示為Qiv=Piv+βi-1Qi-1,v=Piv+βi-1Pi-1,v+βi-1βi-2Pi-2,v+…+βi-1…β0P0,v, 于是可得 (5) 當(dāng)k=s+1,i 因此,由第一步和第二步知,引理3.2成立. 引理3.2表明,算法3.1生成的矩陣列{diag(Pi1,…,Pil)}在R(m1+…+ml)×(m1+…+ml)上相互正交. 設(shè)rj表示子空間BRmj×mj的維數(shù),那么存在正整數(shù)kr1+…+rl,使得‖Pkj‖2=0,即,在沒有舍入誤差的情況下,算法3.1至多經(jīng)過r1+…+rl次迭代停止. 因此,由以上討論和引理3.2,可得以下定理. 定理3.1 任給初始矩陣組(X01,…,X0l)∈BRm1×m1×…×BRml×ml,通過算法3.1,至多經(jīng)過r1+…+rl次迭代可得問題A的一個(gè)解. j=1,…,l},其中Hi∈Rpi×hi,i=1,…,t. 顯然,Ψ是BRm1×m1×…×BRml×ml的一個(gè)線性子空間. (6) (7) (8) 其中 殘差范數(shù)為 算法3.1的收斂曲線如下: [1]Yuan S F, Wang Q W. Two special kinds of least squares solutions for the quaternion matrix equation AXB + CXD = E[J]. Electronic Journal of Linear Algebra,2012,(1):257-274. [2]Wang Q W. A system of matrix equations and a linear matrix equation over arbitrary regular rings with identity[J]. Linear Algebra & Its Applications,2004,(6):43-54. [3]Wang Q W, Li C K. Ranks and the least-norm of the general solution to a system of quaternion matrix equations[J]. Linear Algebra & Its Applications,2009,(5-6):1626-1640. [4]Lin Y, Wang Q W. Iterative solution to a system of matrix equations[J]. Abstract and Applied Analysis, 2013, Article ID 124979. [5]Ding J, Liu Y J, Ding F. Iterative solutions to matrix equations of form AiXBi = Fi[J]. Computers and Mathematics with Applications,2010,(11):3500-3507. [6]Ding F, Chen T. On iterative solutions of general coupled matrix equations[J]. SIAM Journal on Control and Optimization,2006,(6): 2269-2284. [7]彭卓華. 幾類相容與不相容約束矩陣方程的迭代法的研究[D].長(zhǎng)沙:湖南大學(xué)博士學(xué)位論文,2007. [8]Wang R S. Functional Analysis and Optimization Theory[M]. Beijing: Beijing University of Aeronautics and Astronautics Press,2003. Least-SquareBisymmetricSolutionsofMatrixEquations PENG Zhuohua (School of Mathematics and Computing Science, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan Hunan 411201, China) algorithm; matrix equations; bisymmetric solution; least squares solution. O241.6 A 1008-4681(2017)05-0001-07 2017-09-06 湖南省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):15A062). 彭卓華(1967— ),男,湖南邵東人,湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院副教授,博士. 研究方向:數(shù)值代數(shù). (責(zé)任編校:晴川)4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)
長(zhǎng)沙大學(xué)學(xué)報(bào)2017年5期