江蘇揚(yáng)州市開(kāi)發(fā)區(qū)花園小學(xué) 徐國(guó)明

適時(shí)駐足，數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的一種需要

江蘇揚(yáng)州市開(kāi)發(fā)區(qū)花園小學(xué) 徐國(guó)明

思維是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。培養(yǎng)學(xué)生思維能力需要教師懂得在教學(xué)中給學(xué)生留有適當(dāng)?shù)臅r(shí)間與空間，在知識(shí)的留白處、知識(shí)的困惑處、知識(shí)的斷層處、知識(shí)的延展處駐足，讓學(xué)生潛心體驗(yàn)，沉思默想。這樣，學(xué)生思維才會(huì)向縱深躍進(jìn)，其思維能力的培養(yǎng)，才能真正成為現(xiàn)實(shí)。

數(shù)學(xué)課堂 思維能力 適時(shí)駐足

杜威認(rèn)為：“學(xué)習(xí)就是要學(xué)會(huì)思維，形成清醒的、細(xì)心的、透明的思維習(xí)慣?！弊蕴岢觥昂诵乃仞B(yǎng)”以來(lái)，學(xué)生的思維發(fā)展在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位有了進(jìn)一步凸顯。思維是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，它與知識(shí)、情感共同組成學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的統(tǒng)一體，這些素養(yǎng)都要依靠在教學(xué)環(huán)境中慢慢濡化，是一個(gè)漸進(jìn)和涵養(yǎng)的過(guò)程。其中，思維能力及習(xí)慣的培養(yǎng)需要教師在課堂教學(xué)中懂得適時(shí)駐足，因?yàn)?，倉(cāng)促匆忙的課堂不可能培養(yǎng)卓越而精細(xì)的思考，也難以形成“清醒的、細(xì)心的、透明的思維習(xí)慣”。只有適時(shí)駐足的課堂，學(xué)生才有時(shí)間和空間去進(jìn)行無(wú)限的遐想與深思、深度的體驗(yàn)與探索，這樣，他們的思維才能向縱深躍進(jìn)，其課堂才會(huì)呈現(xiàn)出與眾不同的細(xì)節(jié)，才會(huì)創(chuàng)造出異樣的特質(zhì)。

一、在知識(shí)的留白處駐足，讓思維沉潛

我們?cè)趯徱暯滩牡臅r(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)，教材中有不少的數(shù)學(xué)信息是凝結(jié)在知識(shí)背后的，這些信息學(xué)生往往不易發(fā)現(xiàn)，如果教師不能引領(lǐng)學(xué)生敏銳而準(zhǔn)確地去挖掘這些信息，窺探其背后的意圖，那么，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)注點(diǎn)就只能停留在知識(shí)的表層。因此在教學(xué)中，我們首先要了解教學(xué)素材的本質(zhì)內(nèi)涵和背景，然后在引導(dǎo)學(xué)生理解和把握顯性知識(shí)的同時(shí)，還要深入挖掘其背后的隱性知識(shí)，幫助學(xué)生積累基礎(chǔ)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，滲透數(shù)學(xué)基本思想及思維方法，從而為學(xué)生掌握更多的知識(shí)提供智慧支持。

如蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)p46“周長(zhǎng)是多少”這部分內(nèi)容中，編排了這樣一道題：“你能在方格紙上畫(huà)出周長(zhǎng)是20厘米的長(zhǎng)方形或正方形嗎？能畫(huà)出不同的長(zhǎng)方形嗎？”我是這樣來(lái)安排教學(xué)的：

師：請(qǐng)同學(xué)們先獨(dú)立畫(huà)一畫(huà)，看你能畫(huà)出幾種？等會(huì)兒匯報(bào)交流。

（一段時(shí)間過(guò)后）

生：我畫(huà)出了3種。

師：還有更多種的嗎？

生：我畫(huà)出了5種。

師：你是怎么思考的？你有什么好的方法想和大家分享嗎？

生：我先用20÷2=10，得到長(zhǎng)與寬的和，然后再看哪兩個(gè)數(shù)字相加等于10， 于是得到1+9、2+8、3+7、4+5、5+5這五種畫(huà)法。

師：這方法真好！下面請(qǐng)大家用這種方法想一想，如果要畫(huà)周長(zhǎng)是16厘米的長(zhǎng)方形或正方形有多少種畫(huà)法呢？（學(xué)生很快得出4種）

師：如果畫(huà)周長(zhǎng)是24厘米呢？（學(xué)生很快得出6種）

師：請(qǐng)大家仔細(xì)觀察、比較、思考，你發(fā)現(xiàn)畫(huà)的種數(shù)與周長(zhǎng)之間有什么關(guān)系嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)只要用周長(zhǎng)除以4就可得出有多少種畫(huà)法。

師：（佯裝不知）是嗎？

（剛剛沒(méi)有發(fā)現(xiàn)的學(xué)生也用此方法加以驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)果真如此，一時(shí)都表現(xiàn)出了興奮）

師：現(xiàn)在如果讓你說(shuō)出“畫(huà)周長(zhǎng)18cm的長(zhǎng)方形,有幾種畫(huà)法？”你能用剛才的方法求出來(lái)嗎？（學(xué)生對(duì)剛才的方法產(chǎn)生了疑惑）

師：大家有什么問(wèn)題要提嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)18除以4除不盡，有余數(shù)。（其余學(xué)生也這樣認(rèn)為，這引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生探究欲望。）

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家用剛才列舉的方法求出有多少種。

生：我發(fā)現(xiàn)有4種不同畫(huà)法。

師：再用周長(zhǎng)除以4的方法看看呢？

生：我發(fā)現(xiàn)種數(shù)還是與得出的商相同。

師：請(qǐng)你自己再列舉出一些周長(zhǎng)除以4除不盡的例子進(jìn)一步驗(yàn)證，看你發(fā)現(xiàn)了什么？

（學(xué)生饒有興趣地列舉了周長(zhǎng)是14厘米、22厘米等）

最終發(fā)現(xiàn)：求畫(huà)的種數(shù)，都可以用周長(zhǎng)除以4，商是多少就有多少種畫(huà)法，與余數(shù)沒(méi)有關(guān)系。

在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，我以教材為依托，不止于教材，也不局限于教材，創(chuàng)新組織教學(xué)，將教材中編制的習(xí)題視為幫助與指導(dǎo)學(xué)生發(fā)展的有力工具，視為師生交互作用、共同創(chuàng)造的園地，以此不斷創(chuàng)設(shè)探索再探索、認(rèn)識(shí)再認(rèn)識(shí)的情境，引領(lǐng)學(xué)生積極主動(dòng)地思維，讓他們?cè)凇皣L試—觀察—猜想—驗(yàn)證”中發(fā)現(xiàn)了蘊(yùn)含其中的規(guī)律。這樣，有效地促進(jìn)了學(xué)生探究問(wèn)題的意識(shí)和欲望，也讓學(xué)生感悟到了數(shù)學(xué)的本質(zhì)和價(jià)值，感悟到了要想獲得普遍規(guī)律，就需要培養(yǎng)自己深入而又全面地考慮問(wèn)題的思維品質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)化發(fā)展學(xué)生的目標(biāo)。

二、在知識(shí)的困惑處駐足，讓思維敞亮

教學(xué)過(guò)程是境域的、多元的和不確定的，比如：在師生互動(dòng)中常會(huì)出現(xiàn)學(xué)生的一些“真知灼見(jiàn)”，有的甚至“怪異”，與教師預(yù)設(shè)及事實(shí)情況相左或是教師預(yù)想之外的學(xué)習(xí)生成。這時(shí)，我們不妨駐足于此，盡可能地解決學(xué)生所遭遇的問(wèn)題。其間，教師可讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)或數(shù)學(xué)語(yǔ)言的溝通交流，來(lái)暴露他們真實(shí)的思維過(guò)程，讓他們的真知灼見(jiàn)在交流的過(guò)程中綻放。特別是對(duì)其中出現(xiàn)的有些錯(cuò)誤，不妨作為一種資源，有時(shí)可牽而帶之，引而不發(fā)，促進(jìn)學(xué)生自我反省和觀念沖突；有時(shí)可讓學(xué)生之間通過(guò)思維碰撞，巧妙修正，辨析錯(cuò)誤。這樣可以改造學(xué)生已有的疏漏經(jīng)驗(yàn)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握，完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

比如，我們?cè)趫?zhí)教《乘法分配律》這一內(nèi)容時(shí)，往往是先直接向?qū)W生講授什么是乘法分配律，如何用字母表示，然后便給學(xué)生提供模仿與記憶的同類(lèi)題目進(jìn)行鞏固練習(xí)，讓學(xué)生達(dá)到熟練掌握的程度。可是，有一位老師在講《乘法分配律》時(shí)，卻是這樣設(shè)計(jì)的：課堂上教者首先通過(guò)對(duì)“（a+b）×c”與“a×c+b×c”兩種算式進(jìn)行分類(lèi)與比較，再用翻轉(zhuǎn)卡片上的算式等形式，促進(jìn)學(xué)生用左式推出右式。這時(shí)，有學(xué)生提出：“老師，把（a+b）×c中，括號(hào)里的加號(hào)，換成減號(hào)、乘號(hào)、除號(hào)是不是也可以這樣分配呢？”面對(duì)這樣的質(zhì)疑，教師沒(méi)有急于告知，而是抓住了即時(shí)生成的教學(xué)資源，將引導(dǎo)置于學(xué)生的思維路徑中，先列出式子讓學(xué)生猜想。

猜想一：（a-b）×c=a×c-b×c？

猜想二：（a÷b）c=a×c÷b×c？

猜想三：（a×b）×c=a×c×b×c？

猜想四：（a+b+c）×d=？

之后，讓學(xué)生通過(guò)舉例驗(yàn)證，討論交流發(fā)現(xiàn)“（a-b）×c=a×c-b×c”與“（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d”這兩個(gè)等式是成立的，而“（a÷b）×c=a×c÷b×c”與“（a×b）×c=a×c×b×c”這兩個(gè)式子是不成立的。

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為：“學(xué)習(xí)過(guò)程必須含有再創(chuàng)造的側(cè)面，通過(guò)再創(chuàng)造獲得的知識(shí)和能力要比被動(dòng)方式獲得的會(huì)理解得更好，也更容易保持?！痹谶@一教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)質(zhì)疑對(duì)知識(shí)進(jìn)行了再創(chuàng)造，其中，對(duì)于學(xué)生提出的錯(cuò)誤思維，教師沒(méi)有繞開(kāi)，也沒(méi)有強(qiáng)行否定或者想方設(shè)法急于牽引，而是根據(jù)學(xué)生提出的疑問(wèn)，羅列出了四種猜想，向?qū)W生提供了“全景立場(chǎng)”，即不同的觀點(diǎn)，意在讓學(xué)生通過(guò)對(duì)比、比較，形成自己的判斷，發(fā)展自己的理性。最終，學(xué)生通過(guò)激烈的討論和運(yùn)用具體數(shù)字加以驗(yàn)證等辦法解析生成了數(shù)學(xué)模型，獲得對(duì)知識(shí)對(duì)象的深刻認(rèn)識(shí)，對(duì)乘法分配律的本質(zhì)理解更加清晰、通透了。其教學(xué)設(shè)計(jì)順應(yīng)了學(xué)生的思維發(fā)展，培養(yǎng)了學(xué)生結(jié)構(gòu)化的思維方式。與此同時(shí)，又發(fā)展了“批判性思維”“理性”和“創(chuàng)新能力”等核心素養(yǎng)。

三、在知識(shí)的斷層處駐足，讓思維激活

教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)往往都是遵循“前有孕伏，中有突破，后有發(fā)展”的原則進(jìn)行編排的，很多知識(shí)是根據(jù)一定的邏輯,把基本概念、基本原理、基本方法連接起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)完整的知識(shí)體系。學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)具有完整體系的新知時(shí)，一開(kāi)始，由于知識(shí)經(jīng)驗(yàn)缺乏，知識(shí)學(xué)習(xí)還不系統(tǒng)，知識(shí)框架還不完善，所以，即便知識(shí)不斷向前推進(jìn)，但學(xué)生往往還是習(xí)慣之前的思維方式和學(xué)習(xí)方法，很難適應(yīng)新的分析、歸納等能力的要求，這樣就容易出現(xiàn)知識(shí)的斷層，在知識(shí)的斷層處學(xué)生會(huì)產(chǎn)生迷茫與困惑。這時(shí)就需要一切教學(xué)方法和手段都必須順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展規(guī)律,使用“搭腳手架式”的方法來(lái)幫助學(xué)生消除能力與知識(shí)的斷層現(xiàn)象，整體地建構(gòu)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生理解。

例如，對(duì)蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)意義”這部分內(nèi)容有一位教師是這樣來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)的：

師：你對(duì)分?jǐn)?shù)已經(jīng)了解了一些什么？（讓學(xué)生默想片刻）

師：請(qǐng)你自己表述這幅圖的涂色部分。

生1：這幅圖的涂色部分用1表示。

師：（師故作疑惑）唉——，涂色部分明明是一個(gè)圓，為什么用表示呢？

生：我們也可以把4個(gè)圓看成一個(gè)整體，平均分成4份，其中的一份就是這個(gè)圓的。

師：你是怎么表示的？這三幅圖在表示的時(shí)候有什么地方相同？

學(xué)生歸納：把一些物體看作一個(gè)整體，把它平均分成4份，其中的1份就表示這個(gè)整體的。

生：因?yàn)樗鼈冸m然分的份數(shù)一樣，但是這個(gè)整體的個(gè)數(shù)不一樣，所以幾個(gè)表示的個(gè)數(shù)也就不一樣。

師：你認(rèn)為還可以表示更多的個(gè)數(shù)嗎？你是如何想的？

生：我發(fā)現(xiàn)還可以表示更多的個(gè)數(shù)，只要整體個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)就可以了。

師：（故作遲疑）唉，這個(gè)整體的個(gè)數(shù)可以更少嗎？可以比1少嗎？

生：半個(gè)物體也可以，只要是平均分成4份，其中的1份就是半個(gè)的。

師追問(wèn)：0.2千克的你會(huì)表示嗎？

師：哇！原來(lái)如此神奇！究竟表示什么意義呢？

學(xué)生歸納總結(jié)。

……

在這一知識(shí)的教學(xué)中，教師準(zhǔn)確地捕捉到了學(xué)生知識(shí)理解的斷層，那就是從理解一個(gè)物體的是個(gè)，走向一個(gè)整體的可以是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、個(gè)、個(gè)……在知識(shí)的斷層處，教師給了學(xué)生充分研學(xué)的時(shí)間，讓他們?cè)谒季S錘煉中發(fā)生、加深、延伸。為了使學(xué)生自主獲取分?jǐn)?shù)概念的深度構(gòu)建，在整體視野下認(rèn)識(shí)知識(shí)的本質(zhì)聯(lián)系和結(jié)構(gòu)，故教師將知識(shí)問(wèn)題化、問(wèn)題層次化，用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)。通過(guò)適時(shí)的追問(wèn)、質(zhì)疑、點(diǎn)撥，使學(xué)生在個(gè)性表征、合作交流、多元碰撞、理性思辨、抽象概括、解釋運(yùn)用中，積累了豐滿的直觀表象，然后，引導(dǎo)學(xué)生一步一步從直觀理解走向?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)概念本質(zhì)的理解，提高了他們的學(xué)習(xí)與思辨能力。

四、在知識(shí)的延展處駐足，讓思維發(fā)散

教學(xué)中，新知講授結(jié)束，并不表示學(xué)生所有的相關(guān)認(rèn)知都已經(jīng)解決，有時(shí)還會(huì)生發(fā)出新觀點(diǎn)，產(chǎn)生新的認(rèn)知沖突，而新的觀點(diǎn)，新的認(rèn)知沖突，又會(huì)生長(zhǎng)新的思維，拓展新的知識(shí)，迸發(fā)出新的問(wèn)題，催生學(xué)生對(duì)新知疑問(wèn)的化解，促使學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決方法的探尋，進(jìn)而賦予數(shù)學(xué)知識(shí)以生長(zhǎng)的力量。

比如，我在教學(xué)蘇教版四年級(jí)下冊(cè)“運(yùn)算律”時(shí)是這樣設(shè)計(jì)的：

教師出示：6+5=5+6

師：口算等號(hào)兩邊的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)什么？

生：等號(hào)兩邊都等于11。

師：觀察等號(hào)兩邊的算式，你有什么問(wèn)題想問(wèn)嗎？

生：我想問(wèn)：“是不是在加法中，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和都不會(huì)變？”

師：這名同學(xué)通過(guò)一個(gè)例子非常好地提出了自己的猜想，那么，怎么進(jìn)一步驗(yàn)證這個(gè)猜想？

生：可以再舉例驗(yàn)證。

師：好方法！下面自己列舉一些例子來(lái)驗(yàn)證。

生1：12+15=15+12，我發(fā)現(xiàn)等號(hào)兩邊的結(jié)果是相等，所以交換12和15的位置和不變。

生2：13+14=14+13，我也發(fā)現(xiàn)等號(hào)兩邊的結(jié)果是相等的，所以交換13和14的位置和不變。

……

師：看來(lái)，“在加法里，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”這個(gè)猜想是對(duì)的。我們把這一結(jié)論叫作“加法交換律”。

師：剛才我們是通過(guò)一個(gè)特例，得到一個(gè)猜想，通過(guò)驗(yàn)證猜想得到加法交換律。其實(shí)，許多數(shù)學(xué)結(jié)論還可以由一個(gè)結(jié)論通過(guò)聯(lián)想得出新的猜想，再通過(guò)驗(yàn)證而得出。

師：由“加法交換律”，你能聯(lián)想到什么新的猜想？

生：加法有交換律，那么減法里有交換律嗎？乘法、除法呢？

（學(xué)生又把這些聯(lián)想作為新的猜想，通過(guò)驗(yàn)證得出乘法里有交換律，而減法、除法里沒(méi)有交換律）

師：由“在加法里，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”，你還能聯(lián)想到什么？

生：在加法里，交換三個(gè)加數(shù)、四個(gè)加數(shù)、多個(gè)加數(shù)的位置，和也不變嗎？

（接下來(lái)學(xué)生將其作為新的猜想加以驗(yàn)證，又獲得了新的數(shù)學(xué)結(jié)論）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。鑒于此，我在這一教學(xué)過(guò)程中，并沒(méi)有止步于對(duì)加法交換律的教學(xué)，而是不斷引導(dǎo)學(xué)生提出 “聯(lián)想”性問(wèn)題，讓知識(shí)得到了延展。隨著知識(shí)的延展，使知識(shí)顯現(xiàn)出了一種結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該幫助學(xué)生建立融會(huì)貫通的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這才是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的歸宿。同時(shí)，隨著知識(shí)的延展，伴隨著學(xué)生思維的參與，他們的經(jīng)驗(yàn)有了創(chuàng)造性的生長(zhǎng)。由一個(gè)特例得到猜想，到得出數(shù)學(xué)結(jié)論；再由新的數(shù)學(xué)結(jié)論引出新的聯(lián)想，生成新的猜想，得到新的數(shù)學(xué)結(jié)論。這樣，學(xué)生不但掌握了加法交換律和乘法交換律，而且隨著數(shù)學(xué)本身結(jié)構(gòu)的自然生長(zhǎng)，學(xué)生獲得了結(jié)構(gòu)化的思維方式，感悟到了貫穿其中的數(shù)學(xué)思想方法。此外，通過(guò)思辨他們又獲得了知識(shí)的辯證思考，對(duì)思維全面性和深刻性的豐富體驗(yàn)，讓他們獲得了數(shù)學(xué)的真理感。就這樣，讓他們?cè)谡n堂上建構(gòu)起了完滿而深刻的數(shù)學(xué)意義。

綜上，數(shù)學(xué)課堂教師要懂得適時(shí)駐足，這是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的需要。只有適時(shí)駐足，學(xué)生的思維才能得以沉潛、敞亮、激活、發(fā)散，他們才會(huì)逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理，進(jìn)而由“理性思維”逐步走向“理性精神”。當(dāng)然，這需要教師有一種智慧，這種智慧表現(xiàn)在對(duì)教材的深度研讀，表現(xiàn)在全面了解學(xué)生對(duì)所教知識(shí)的期許，表現(xiàn)在對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維活動(dòng)的深入了解和科學(xué)分析，在此基礎(chǔ)上留出適當(dāng)?shù)臅r(shí)間與空間讓學(xué)生去想、去說(shuō)、去做，以便充分理解和內(nèi)化新知，以便個(gè)體化知識(shí)的慢慢積累與慢慢生長(zhǎng)，以便學(xué)生的思維向縱深漫溯。?