方 林 許新勝 陶士金

(1. 安徽師范大學(xué)物電學(xué)院,安徽 蕪湖 241000; 2. 安徽省巢湖市第四中學(xué),安徽 巢湖 238000; 3. 合肥市教科院物理教研室,安徽 合肥 230071)

基于一道高考題談兩種競(jìng)賽方法的運(yùn)用

方 林1,2許新勝2陶士金3

(1. 安徽師范大學(xué)物電學(xué)院,安徽 蕪湖 241000; 2. 安徽省巢湖市第四中學(xué),安徽 巢湖 238000; 3. 合肥市教科院物理教研室,安徽 合肥 230071)

本文通過對(duì)一道高考題的另兩種不同解法(即系統(tǒng)牛頓第二定律、摩擦角圖解法)的歸納總結(jié),以期達(dá)到拓寬對(duì)高考及競(jìng)賽題的解答思路及對(duì)其他力學(xué)問題的解答有啟發(fā)作用的效果．

高考; 斜面; 加速度; 彈簧; 摩擦力

圖1

(1) 求物塊處于平衡位置時(shí)彈簧的長(zhǎng)度;

(2) 選物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),沿斜面向下為正方向建立坐標(biāo)軸,用x表示物塊相對(duì)于平衡位置的位移,證明物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);

(3) 求彈簧的最大伸長(zhǎng)量;

(4) 為使斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài),動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)滿足什么條件(假設(shè)滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力)?

由于本題主要難點(diǎn)在第(4)問,限于篇幅,我們略去前3問,重點(diǎn)剖析第(4)問的思路,給出另兩種解法．

另解1(系統(tǒng)牛頓第二定律):

中學(xué)階段運(yùn)用牛頓第二定律解題時(shí),研究對(duì)象往往選取單個(gè)物體或保持相對(duì)靜止的幾個(gè)物體所組成的整體．實(shí)際上,牛頓第二定律對(duì)幾個(gè)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體所組成的系統(tǒng)(即質(zhì)點(diǎn)組)也適用．系統(tǒng)牛頓第二定律的表達(dá)式為F外=m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan,即系統(tǒng)受到的合外力等于系統(tǒng)內(nèi)各物體的質(zhì)量與其加速度乘積的矢量和.該式為矢量方程，可以在某一方向上列出分量式.

下面運(yùn)用這種方法來處理第(4)小問．

根據(jù)物塊實(shí)際運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),按物塊的加速度沿斜面向下和向上兩種情形分別進(jìn)行討論．

圖2

如圖2所示,當(dāng)物塊的加速度方向沿斜面體向下時(shí),設(shè)物塊運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為a,可將其分解為水平向左的加速度ax和豎直向下的加速度ay,

則對(duì)系統(tǒng),根據(jù)牛頓第二定律,

水平方向有f=max+M·0=macosα；

豎直方向有Mg+mg-FN=may+M·0=masinα.

而要使斜面體保持不動(dòng),需滿足f≤fm=μFN,即μ(Mg+mg-may)≥max.

物塊沿斜面體運(yùn)動(dòng)的加速度的最大值

圖3

如圖3所示,當(dāng)物塊的加速度方向沿斜面體向上時(shí),設(shè)此時(shí)的加速度為a′,現(xiàn)將其分解為水平向右的加速度ax′和豎直向上的加速度ay′,

則對(duì)系統(tǒng),根據(jù)牛頓第二定律,

水平方向有f′=max′+M·0=ma′cosα

豎直方向有FN′-Mg+mg=may′+M·0=ma′sinα.

而要使斜面體保持不動(dòng),需滿足f′≤fm′=μFN′,即μ(Mg+mg+may′)≥max′.

綜合以上分析可知

說明:運(yùn)用系統(tǒng)牛頓第二定律來分析該問,打破了常規(guī)思路,巧妙地將有相對(duì)滑動(dòng)的兩個(gè)物體當(dāng)成整體來研究,接著分別在水平和豎直方向?qū)ο到y(tǒng)列出牛頓第二定律求解,這樣就避開了用隔離法分析時(shí)所必需的物體間繁雜的受力分析．由此可見,當(dāng)物體間受力較多或受力不清晰(如摩擦力方向不確定)時(shí)可以選系統(tǒng)作為研究對(duì)象來簡(jiǎn)化問題．

另解2(摩擦角):

圖4

因靜摩擦力0

本題第(4)問,也可以采用摩擦角知識(shí)結(jié)合圖像法來分析．

下面按彈簧為壓縮(圖5)和拉伸(圖6)兩種情況分析第(4)問,分別作出斜面體的受力分析示意圖如圖5和圖6,其中N為物塊沿斜面運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)斜面體的壓力(為恒力),T為彈簧對(duì)斜面的作用力,R為地面施加于斜面的摩擦力f與支持力FN的合力,即全反力．對(duì)比分析圖5和圖6,不難發(fā)現(xiàn),彈簧彈力越大,摩擦角φ(或φ′)就越大．

圖5

圖6

當(dāng)彈簧被壓縮時(shí),根據(jù)平衡條件,對(duì)斜面,在豎直方向有Mg+Ncosα=Rcosφ+Tsinα,

水平方向有Rsinφ=Nsinα+Tcosα，

再隔離m,

沿斜面方向,由牛頓第二定律得

T+mgsinα=ma,

垂直斜面方向,由平衡條件得

N=mgcosα,

由題意,為使斜面始終處于靜止?fàn)顟B(tài),應(yīng)滿足f≤fm=μFN.

故動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)滿足μ≥tanφm.

彈簧拉伸時(shí),根據(jù)平衡條件

對(duì)斜面,豎直方向有

Mg+Ncosα+T′sinα=Rcosφ′,

水平方向有

T′cosα=Nsinα+Rsinφ′，

再隔離m,

沿斜面方向,由牛頓第二定律得

T′-mgsinα=ma,

垂直斜面方向,由平衡條件得N=mgcosα,故

由上述分析可知,為使斜面始終處于靜止?fàn)顟B(tài),動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)滿足μ≥tanφm′.

綜上,因tanφm>tanφm′,故

說明:在高中物理自主招生及競(jìng)賽時(shí)常會(huì)遇到相關(guān)摩擦的靜力學(xué)問題,這類題的計(jì)算量往往比較大,相比常規(guī)思路而言(整體法、隔離法解題),運(yùn)用摩擦角和全反力知識(shí)解題,將會(huì)有更大優(yōu)勢(shì)．

綜上,對(duì)比兩種不同方法,我們不難發(fā)現(xiàn):系統(tǒng)牛頓第二定律的研究對(duì)象是物塊和斜面體(含彈簧)組成的整體,這樣就不用考慮物塊和斜面體間的相互作用力(內(nèi)力),只需考慮系統(tǒng)所受外力來分析問題了．而摩擦角法的研究對(duì)象是斜面體,雖然是用隔離法分析問題,但通過全反力的等效替代,減少了斜面體受力的個(gè)數(shù),再作出斜面體的受力分析圖(常見的為三角形,本題為多邊形),就可以直觀地找到臨界狀態(tài),進(jìn)而迅速求出對(duì)應(yīng)受力的極值．

1 方林. 2014年安徽高考?jí)狠S題的三種不同解法[J].物理教學(xué)，2015(3):69-70.

2 方林.推陳出新,能力提升——對(duì)2013年安徽高考理綜卷第20題的評(píng)析[J].物理教師，2013(12):73-74.

2017-04-12)