盧志軍 蔡 鉗

(廣東仲元中學(xué),廣東 廣州 511400)

從圖式及變式的角度突破磁場的邊界與動態(tài)問題

盧志軍 蔡 鉗

(廣東仲元中學(xué),廣東 廣州 511400)

帶電粒子在磁場中的運(yùn)動是高考?？嫉闹R點(diǎn),并且是高考的重點(diǎn)之一,磁場的邊界問題更是這類問題的重要區(qū)分點(diǎn)之一．高中階段常見的磁場的邊界有兩種:直線邊界和圓形邊界;而常見的運(yùn)動軌跡的動態(tài)問題也有兩種:速度方向不變但大小變化的問題和速度大小恒定但方向變化的問題．這類問題組合可謂千變?nèi)f化,難度也各異． 如何突破這類問題,教給學(xué)生有效的解決問題的策略,是高中物理教師探索得較多的一個方向．

高中物理教師討論得較多問題之一是:如何確定粒子在磁場中圓周運(yùn)動的圓心?文獻(xiàn)[1]一文中,已詳盡地總結(jié)出確定圓心的10種方法,而本文主要采用比較常用的這3種方法: (1) 過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)做兩速度的垂線,垂線的交點(diǎn)即為圓心; (2) 過入射點(diǎn)的速度垂線和弦(入射點(diǎn)與出射點(diǎn)連線)垂直平分線的交點(diǎn); (3) 過入射點(diǎn)的速度垂線與角(入射速度與出射速度夾角)平分線的交點(diǎn)[1]．以下簡稱“3種方法”．

在對該問題的多年的教學(xué)中,筆者經(jīng)過探索、實踐和總結(jié),歸納出從圖式及其變式的角度對該類問題進(jìn)行教學(xué)． 試圖用一個圖式對一類問題進(jìn)行歸納,并利用該圖式的變式,進(jìn)行拓展,進(jìn)而遷移到其他類型問題的學(xué)習(xí)．

所謂圖式,是人腦中已有知識經(jīng)驗的網(wǎng)絡(luò)． 圖式是各種記憶成分(命題、表象和態(tài)度)的組織,表征的是屬于某一一般概念的一大塊有意義的信息(Anderson,1985)．加涅在《教學(xué)設(shè)計原理》一書中提到“從新呈現(xiàn)的教學(xué)中進(jìn)行學(xué)習(xí)時,學(xué)習(xí)者是帶著他們記憶中已有的各種圖式來面對學(xué)習(xí)任務(wù)的．”[2]

例如像“房子”這個概念圖式,自然會讓人們想到它的特征(房間、墻壁、屋頂和廚房等);又例如“進(jìn)飯店”這樣一個事件圖式,人們自然會聯(lián)想到“坐哪里、看菜單、點(diǎn)菜等”．那么怎樣給帶電粒子在磁場中運(yùn)動的各類邊界問題,創(chuàng)設(shè)各類基本的圖式?筆者認(rèn)為應(yīng)該從一個最基本的邊界問題開始．

一個基本的圖式:帶電粒子在有直線邊界的磁場中,以某一速度做勻速圓周運(yùn)動．

如圖1所示,引導(dǎo)學(xué)生從半徑較小的圓,逐步擴(kuò)大圓的半徑,最后畫出與邊界相切的圓．在上述兩個軌跡圓中,粒子以某一速度出射,恰好從上邊界射出(即與上邊界相切),通過作入射點(diǎn)速度的垂線與兩速度夾角角平分線的交點(diǎn),即可確定圓心．利用幾何關(guān)系,可以證明左圖中出射速度與邊界的夾角和入射速度與邊界的夾角相等(即都是弦切角)．在所有直線邊界問題中,這是一個基本問題,可以以這個問題為基本的圖式,展開對這類問題的研究．

圖1 直線邊界的基本圖式

在上述的基本圖式中,運(yùn)用常用的3種方法與學(xué)生講解確定圓心的問題,讓學(xué)生深刻體會這3種方法的運(yùn)用規(guī)律,并感受到這3種方法就是該圖式的屬性,即學(xué)生看到上述的基本圖式,就自然能想到這3種方法．這樣便成功地在學(xué)生的知識儲備中創(chuàng)建了解決問題的圖式,接下來的工作便是應(yīng)用這個圖式解決復(fù)雜的問題,并力求可以遷移、形成更高層次的解題策略．

從上述的基本圖式出發(fā),進(jìn)行各種復(fù)雜的變式,而在磁場邊界問題的各種變式中,可以歸納出以下幾類變式．

1 單方向的線段邊界問題

利用一個帶電粒子從有界磁場中的某點(diǎn)斜射向邊界,找到能射出邊界的最小速度問題,并進(jìn)行拓展,從一個邊界拓展到兩個邊界,進(jìn)而拓展到多邊界問題．

例1.如圖2所示,一勻強(qiáng)磁場有一水平邊界,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,一帶電粒子質(zhì)量為m,帶電荷量絕對值為q,不計重力,以一速度v0垂直射入磁場,方向與水平成θ=60°角,入射點(diǎn)離邊界距離為d．若要使其不能從邊界飛出,則帶電粒子的速度應(yīng)為多大?

圖2

帶電粒子若帶正電將向左偏轉(zhuǎn),帶電粒子若帶負(fù)電將向右偏轉(zhuǎn),軌跡如圖3所示．

如果能夠引導(dǎo)學(xué)生畫出如圖3所示的兩個與邊界相切的圓,那么該問題就解決了．問題是,如何能夠讓學(xué)生想到邊界圓就是這樣,這就需要從第一個基本的圖式開始,如圖4所示,引導(dǎo)學(xué)生從小到大畫圓,逐步擴(kuò)充到與邊界相切．

圖3

當(dāng)學(xué)生完成圖4的作圖后,不難發(fā)現(xiàn),圖4實際上就是第一個圖式的變式．當(dāng)學(xué)生在第一個圖式中得到足夠的作圖訓(xùn)練,并能夠熟練地確定軌跡圓的圓心后,例1便順利得到解決．下列例2將在例1的基礎(chǔ)上增加兩個線段邊界,以增加問題的難度,從而也試圖提高學(xué)生解決此類問題的能力,并在學(xué)生腦中建立一個穩(wěn)固的解題策略的圖式及其變式．

圖4

圖5

例2.一質(zhì)量為m、帶正電q的粒子(不計重力)從O點(diǎn)處沿+y方向以初速v0射入一個邊界為矩形的勻強(qiáng)磁場中,磁場方向垂直于xy平面向里,磁場的邊界分別為y=0、y=a、x=-1.5a,x=1.5a,如圖5所示,改變磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小,粒子可從磁場的不同邊界面射出、并且射出磁場后偏離原來速度方向的角度θ會隨之改變．試討論粒子可以從哪幾個邊界面射出,從這幾個邊界面射出時磁感強(qiáng)度B的大小及偏轉(zhuǎn)角度θ各在什么范圍內(nèi)?

圖6

在經(jīng)歷了第一個圖式的訓(xùn)練及例1的變式應(yīng)用之后,學(xué)生遇到圖5所示的邊界問題,應(yīng)該能夠自發(fā)的想到作一個如圖6所示的軌跡圖,逐步地擴(kuò)大軌跡圓,使得它和各個邊界相切,并確定軌跡圓的圓心,如果能夠做到這一步,那么這個問題便可以順利地解決了．

直線邊界問題,如果要再進(jìn)一步提升,那便是帶電粒子以不確定的速度方向射向直線邊界,形成一系列動態(tài)變化的圓的問題．

2 多方向的直線邊界問題

圖7

如圖7所示,一帶正電的粒子從點(diǎn)S沿不同方向射出粒子,粒子速度大小相同,且粒子在磁場中運(yùn)動的半徑與點(diǎn)S到擋板的距離l相等．求粒子能夠到達(dá)擋板ab的區(qū)域長度．

圖8

在經(jīng)歷了上述一系列問題的解決過程,學(xué)生看到問題從大腦已儲備的圖式反饋回來的信息應(yīng)該是作軌跡圖．然而這個作圖與之前問題的區(qū)別是速度的方向發(fā)生了變化,但軌跡圓的半徑恒定,這種變式的跨度應(yīng)該在學(xué)生可以接受的范圍之內(nèi),若對前面講述的方法能夠掌握熟練的同學(xué),自然地會琢磨著畫一系列轉(zhuǎn)動的圓,如圖8所示．若能畫出這一系列旋轉(zhuǎn)的圓,利用軌跡2和軌跡4便可以求出打在擋板上的范圍．

同樣的方法,可以應(yīng)用在解決例題3,如下題所示．

圖9

例3.如圖9,真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場,磁場方向垂直于紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.60T,磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab,板面與磁場方向平行,在距ab的距離l=16cm處,有一個點(diǎn)狀的α放射源S,它向各個方向發(fā)射α粒子,α粒子的在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑都是R=10cm.現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動的α粒子,求擋板上被α粒子打中的區(qū)域的長度．

α粒子帶正電,故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動,以S點(diǎn)為圓心,以R=10cm為半徑畫一個圓,該圓即為所有粒子做圓周運(yùn)動的圓心所在的曲線．于是,可以以該圓上某點(diǎn)為圓心,以R=10cm為半徑畫圓,如圖10所示,讓這些軌跡圓逆時針轉(zhuǎn)動,不難發(fā)現(xiàn)圖中圓P和Q分別是打在ab板上區(qū)域的左右臨界圓．

圖10

在解決了直線邊界問題,如果要對這類問題往更高層次變式、拓展,提高學(xué)生解決問題的思維能力,讓學(xué)生思維得到全面發(fā)展,那么把磁場邊界改為圓形邊界,便是教學(xué)的突破點(diǎn)．

3 圓形邊界問題

3.1 粒子從圓形磁場外邊界某點(diǎn)射入磁場的問題

如圖11所示,帶電粒子以某一速度入射到圓形邊界的磁場中．

圖11 圓形磁場邊界的基本圖式

圖11展示的是圓形磁場中的兩類基本問題: (1) 粒子速度沿著磁場圓的直徑正對圓心入射; (2) 粒子從圓形磁場邊界某點(diǎn)以任一方向速度入射．這兩種情景確定圓心的方法都是一致的,過入射點(diǎn)作速度的垂線,在速度垂線上取一與入射點(diǎn)距離等于軌跡圓的半徑的點(diǎn),該點(diǎn)即為軌跡圓的圓心．可以利用幾何關(guān)系證明沿直徑方向入射的粒子,離開磁場時速度方向仍沿直徑方向．在處理圓形磁場邊界問題時,筆者以此為基本圖式展開教學(xué),關(guān)于作圖的方法不再贅述,這里談?wù)勅绾螐纳鲜鰣D式進(jìn)行變式,并遷移到解決具體問題的教學(xué),如下例題4所述．

圖12

例4.一半徑為R的薄圓筒處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場中,磁場方向與筒的中心軸線平行,筒的橫截面如圖12所示．圖中直徑MN的兩端分別開有小孔,筒可繞其中心軸線轉(zhuǎn)動,圓筒的轉(zhuǎn)動方向和角速度大小可以通過控制裝置改變．一不計重力的負(fù)電粒子從小孔M沿著MN方向射入磁場,當(dāng)筒以大小為ω0的角速度轉(zhuǎn)過90°時,該粒子恰好從某一小孔飛出圓筒．

(1) 若粒子在筒內(nèi)未與筒壁發(fā)生碰撞,求該粒子的荷質(zhì)比和速率分別是多大?

(2) 若粒子速率不變,入射方向在該截面內(nèi)且與MN方向成30°角,則要讓粒子與圓筒無碰撞地離開圓筒,圓筒角速度應(yīng)為多大?

解析:很明顯,該題的第(1)問,粒子沿著直徑方向入射圓形磁場,且轉(zhuǎn)過90°,出射時必沿直徑方向,軌跡如圖13中“1”所示,確定圓心后便可知粒子的軌跡半徑與圓形磁場的半徑相同,問題便迎刃而解．

圖13

同樣的,第(2)問中粒子以與直徑方向成30°角入射,并且知道粒子做圓周運(yùn)動的半徑與磁場圓的半徑相同,從基本的圖式出發(fā),可以這樣畫出軌跡:過入射點(diǎn)M作速度的垂線,在垂線上找到點(diǎn)O′,使得O′到M點(diǎn)的距離為R,以O(shè)′點(diǎn)為圓心,以R為半徑便可作出粒子做圓周運(yùn)動的軌跡,該軌跡交磁場圓邊界于P點(diǎn),如圖13所示．連接O′P、OP,可以發(fā)現(xiàn)四邊形OPO′M剛好是一個菱形．找到了菱形,得到∠MO′P=120°,該題便得到解決．

若對這個問題繼續(xù)向高層次拓展,可以讓粒子以不同的方向從M點(diǎn)射入磁場,這樣粒子會從磁場邊界不同的點(diǎn)射出,用同樣的方法作圖、找到菱形,便可發(fā)現(xiàn)粒子出射的方向如圖14所示(這便是磁發(fā)散,逆過程就是磁聚焦．)．

圖14

3.2 從圓形磁場內(nèi)的某點(diǎn)以不同大小的速度出射問題

如圖15所示,在圓形磁場內(nèi)的某一點(diǎn)A,帶電粒子以大小不同的速度射出,筆者與學(xué)生一起畫圓,從半徑較小一直擴(kuò)大圓的半徑,一直到軌跡圓與磁場圓的邊界相切．左圖是圓內(nèi)充滿勻強(qiáng)磁場,粒子在A點(diǎn)向上或向下射出,因此粒子會向左或向右偏轉(zhuǎn),與學(xué)生一起畫出圖示的兩組軌跡圓,直到軌跡圓與磁場圓邊界相切;右圖是環(huán)形磁場,磁場內(nèi)有一小圓內(nèi)沒有磁場,同樣的,在A點(diǎn)有粒子向上以大小不同的速度射出,筆者與學(xué)生一起讓圓的半徑從小變大畫圓,直到軌跡圓與圓環(huán)的兩個邊界相切．進(jìn)行重復(fù)操作,直到學(xué)生能熟練畫出兩組圓,在腦中創(chuàng)設(shè)一個比較穩(wěn)固的圖式．這里均出現(xiàn)軌跡圓與磁場圓相切,有內(nèi)切和外切,值得注意的是不管內(nèi)切還是外切,所有圓的圓心和切點(diǎn)均在同一直線上．

圖15

掌握了上述作圖的方法,筆者嘗試讓學(xué)生完成以下例題．

圖16

例5.如圖所示,在半徑為R的圓周內(nèi),有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場,有質(zhì)量為m、帶電量為q的相同粒子,在A處垂直磁場向各個方向射出,已知A是半徑OC的中點(diǎn)．

(1) 要使所有粒子都不能射出磁場,求粒子速度的最大值v1;

(2) 要使所有粒子都能射出磁場,求粒子速度的最小值v2．

圖17

學(xué)生看到題目后,第一反應(yīng)就是嘗試畫圖,由小到大畫軌跡圖,也嘗試著將軌跡圓旋轉(zhuǎn),最終畫出了如圖17所示的兩個軌跡圓． 很明顯,左邊的軌跡圓是解決第(1)問的鑰匙,畫出右邊的軌跡圓便解決了第(2)問．

經(jīng)過多次失誤的過程后,學(xué)生成功畫出如圖19、20和21所示的軌跡圓,順利地解決了問題．

圖18

圖19

圖20

圖21

縱觀全文,解決帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的邊界問題,從基本的圖式出發(fā),主要應(yīng)用兩種方法: (1) 相同方向出射的粒子,速度由小到大,畫軌跡圓,直到軌跡圓與邊界相切; (2) 速度大小相等,向不同方向出射的粒子,畫旋轉(zhuǎn)圓,直到找到旋轉(zhuǎn)圓與邊界“相交”或“相切”的臨界圓．當(dāng)學(xué)生對這兩種方法應(yīng)用非常熟練之后,遇到類似的情景,便自然地從腦中調(diào)出相應(yīng)的圖式:“逐步擴(kuò)大的圓”或者“旋轉(zhuǎn)的圓”來解決問題,并能夠省略畫其他圓的步驟,一步到位的畫出需要的與邊界相切的圓．

1 張江峰.淺談磁場中圓心的確定[J].中學(xué)物理教學(xué)參考,2013(3):26-28.

2 加涅·韋杰.教學(xué)設(shè)計原理[M].王小明等，譯.第1版.上海:華東師范大學(xué)出版社,2007(6)： 104-105.

3 童志紅，李東麗.“動態(tài)圓法”解決帶電粒子運(yùn)動的臨界問題[J].物理教師，2010(9)：15-16.

2017-03-24)