安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校(236652)

王偉民

探究物體在凸透鏡一側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)所成像的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校(236652)

王偉民

對(duì)凸透鏡而言，當(dāng)發(fā)光體到透鏡的距離(物距)大于透鏡焦距時(shí)，在透鏡另一側(cè)便可以得到一個(gè)倒立的實(shí)像。那么，當(dāng)物體在透鏡的一側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它所成實(shí)像的運(yùn)動(dòng)速度是怎樣變化的？實(shí)像的運(yùn)動(dòng)速度跟像距、物距以及物體的運(yùn)動(dòng)速度有定量關(guān)系嗎？

以點(diǎn)光源為研究對(duì)象，分別就點(diǎn)光源的運(yùn)動(dòng)方向垂直于主軸和平行于主軸兩種特殊情形進(jìn)行定量分析。

1 點(diǎn)光源的運(yùn)動(dòng)方向垂直于主軸時(shí)，其所成實(shí)像的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

如圖1所示，在凸透鏡左側(cè)一倍焦距之外有一點(diǎn)光源，從A點(diǎn)沿垂直于主軸的方向運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，與此同時(shí)，在凸透鏡的另一側(cè)其所成的實(shí)像由C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)。

圖1 點(diǎn)光源垂直于主軸方向運(yùn)動(dòng)

由幾何知識(shí)易知：△OAB∽△OCD

當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)的距離AB趨近于0時(shí)，像的運(yùn)動(dòng)距離CD趨近于0。此時(shí)，物體和實(shí)像運(yùn)動(dòng)的平均速度“演變”為各自的瞬時(shí)速度。

這就是說，不論物體運(yùn)動(dòng)速度是否均勻，當(dāng)點(diǎn)光源沿垂直于凸透鏡主軸方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，其實(shí)像運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度與物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度之比，都等于此刻相距與物距之比(即此時(shí)凸透鏡成像的放大倍數(shù))。

2 點(diǎn)光源的運(yùn)動(dòng)方向平行于主軸時(shí)，其所成實(shí)像的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

設(shè)凸透鏡的焦距為f，物體從離開凸透鏡s的位置(s>2f)以速度v勻速靠近凸透鏡的同側(cè)焦點(diǎn)，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t后，所得實(shí)像到凸透鏡的距離為y。由凸透鏡成像公式可得：

此時(shí)，像距與物距之比為：

(1)

對(duì)像距y與時(shí)間t間的函數(shù)關(guān)系式求導(dǎo)，便可確定像的運(yùn)動(dòng)速度：

所以，實(shí)像運(yùn)動(dòng)速度與物體運(yùn)動(dòng)速度的比為：

(2)

比較(1)、(2)可以得出下面的結(jié)論：凸透鏡成實(shí)像并且物體在主軸上由較遠(yuǎn)距離勻速向焦點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在某時(shí)刻實(shí)像的運(yùn)動(dòng)速度與物體運(yùn)動(dòng)速度之比，等于此刻像距與物距比的平方。若設(shè)像距與物距之比為k(即凸透鏡成實(shí)像時(shí)的放大倍數(shù))，則有：

v像=k2v

(3)

如果物體是作變速運(yùn)動(dòng)，把物體在主軸上的運(yùn)動(dòng)軌跡分成n等份，當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，在每一個(gè)小的長(zhǎng)度元中，物體可視為勻速直線運(yùn)動(dòng)。所以，物體在每一個(gè)長(zhǎng)度元中運(yùn)動(dòng)時(shí)，(3)式成立，而這時(shí)的速度已演變?yōu)槲矬w在這一長(zhǎng)度元中的速度——這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。所以，關(guān)系式v像=k2v對(duì)于變速運(yùn)動(dòng)的物體同樣適用。即凸透鏡成實(shí)像時(shí)，某一時(shí)刻實(shí)像的運(yùn)動(dòng)速度等于物體運(yùn)動(dòng)速度與凸透鏡成像放大倍數(shù)平方的乘積。

3 凸透鏡實(shí)像運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用

例題:如圖2所示的電路中，電源電壓U=36 V不變，定值電阻R0=9 Ω，甲乙2只規(guī)格相同的滑動(dòng)變阻器并聯(lián)后連入電路。已知兩變阻器線圈電阻均為180 Ω，線圈長(zhǎng)度都為18 cm。剛開始閉合開關(guān)S后，變阻器乙的滑片P2位于距離線圈左端點(diǎn)C點(diǎn)1 cm處的位置時(shí)，電流表讀數(shù)為2 A。接下來，滑動(dòng)變阻器甲的滑片P1，讓P1以0.2 cm/s的速度勻速向左滑動(dòng)，為使電流表的示數(shù)保持不變，變阻器乙的滑片P2必須向右滑動(dòng)：

圖2 電路圖

(1)求變阻器甲滑片P1開始的位置。

(2)分別求開始計(jì)時(shí)31.5 s和39 s后，變阻器乙滑片P2的滑動(dòng)速度？

分析：由題目條件可知，在兩滑動(dòng)變阻器連入電路中的阻值發(fā)生改變時(shí)，電路的總電阻應(yīng)保持不變。而總電阻恒定時(shí)，兩并聯(lián)電阻組成電路各支路電阻的變化關(guān)系(包括變化大小和變化速度的關(guān)系)跟凸透鏡成實(shí)像實(shí)時(shí)像距與物距間的變化關(guān)系相同，將上面對(duì)凸透鏡成像且物體沿平行于主軸方向運(yùn)動(dòng)速度與物體運(yùn)動(dòng)速度間的關(guān)系結(jié)論進(jìn)行推廣，顯然有下面的結(jié)論(可以進(jìn)行理論證明，過程跟探究凸透鏡成像時(shí)像的運(yùn)動(dòng)速度與物體運(yùn)動(dòng)速度間關(guān)系的推理過程一樣，這里不再重復(fù)推導(dǎo))：要使R1、R2組成并聯(lián)電路的總電阻保持不變，必須滿足“在每一時(shí)刻滑片P1與P2滑動(dòng)速度之比，等于兩支路電阻比的平方”這一條件。

解析：(1)由歐姆定律可知，開始時(shí)，整個(gè)電路的總電阻為：

R1、R2并聯(lián)的總電阻為R=R總-R0=9 Ω

當(dāng)變阻器乙的滑片P2位于距離線圈左端點(diǎn)C點(diǎn)1 cm處的位置時(shí)，變阻器乙連入電路中的阻值為R2=10 Ω。根據(jù)并聯(lián)電路總電阻公式可求得滑動(dòng)變阻器甲連入電路中的電阻值為R1=90 Ω。所以，變阻器甲的滑片P1距離A端的長(zhǎng)度為：

l1=90 Ω÷(180Ω÷18 cm)=9 cm

該點(diǎn)恰好位于滑動(dòng)變阻器甲線圈的正中間位置。

(2)t1=31.5 s后，變阻器甲連入電路中的電阻為R1=90 Ω-31.5 s×0.2 cm/s×10 Ω/cm=27 Ω，根據(jù)并聯(lián)電路總電阻公式求得變阻器乙連入電路中的電阻為R2=13.5 Ω。此時(shí)，變阻器乙滑片P2的運(yùn)動(dòng)速度為：

在時(shí)間t2=39 s后，變阻器甲連入電路中的電阻為R1=90 Ω-39 s×0.2 cm/s×10 Ω/cm=12 Ω，變阻器乙連入電路中的電阻為R2=36 Ω。此時(shí)，變阻器乙滑片P2的滑動(dòng)速度為：

實(shí)驗(yàn)教學(xué)

2017-07-16