王曉華

(1.鹽城師范學(xué)院新能源與電子工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224007； 2.南京航空航天大學(xué)理學(xué)院，南京 211106)

在“電磁場(chǎng)理論”教學(xué)中的COMSOL有限元軟件的應(yīng)用研究

王曉華1,2

(1.鹽城師范學(xué)院新能源與電子工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224007； 2.南京航空航天大學(xué)理學(xué)院，南京 211106)

針對(duì)“電磁場(chǎng)理論”課程教學(xué)中的特點(diǎn)和問(wèn)題，本文將COMSOL有限元軟件引入該門課程的教學(xué)中，并以Pendry提出的坐標(biāo)變換的圓柱形電磁隱身斗篷設(shè)計(jì)為例，介紹了其理論模型的公式推導(dǎo)和如何使用該軟件實(shí)現(xiàn)圓柱形斗篷的電磁隱身，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，達(dá)到提高這門課程教學(xué)效果的目的。

電磁場(chǎng)；COMSOL有限元軟件；電磁波；仿真

2010年，教育部高等學(xué)校電子信息科學(xué)工作者與工程類專業(yè)教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì)為電子信息工程(電子信息科學(xué)與技術(shù))和通信工程兩個(gè)專業(yè)提出了本科指導(dǎo)性規(guī)范，明確指出“電磁場(chǎng)理論”是這兩個(gè)相關(guān)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)核心課程[1]。該課程由于概念抽象、理論性強(qiáng)和涉及知識(shí)點(diǎn)多等特點(diǎn)，并且很多學(xué)生專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)較差、自主學(xué)習(xí)意識(shí)不強(qiáng)、抽象和邏輯思維能力欠缺，再加上該課程課時(shí)的縮減，多方面因素造成該門課程是教師難教和學(xué)生難學(xué)的課程[2]。如何提高這門課程的教學(xué)效果，已成為急需解決的問(wèn)題。目前，學(xué)生計(jì)算機(jī)普及率高，對(duì)可視化與動(dòng)態(tài)的軟件較感興趣。本文針對(duì)“電磁場(chǎng)理論”教學(xué)中存在的問(wèn)題，利用學(xué)生對(duì)計(jì)算機(jī)的興趣，引入一款電磁仿真軟件——COMSOL Multiphysics在該門課程的教學(xué)中，讓學(xué)生理解繁雜的公式推導(dǎo)過(guò)程，并可在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)可視化與動(dòng)態(tài)的形象仿真效果，體會(huì)學(xué)習(xí)這門課程的用途，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，達(dá)到提高這門課程教學(xué)效果的目的。

1 COMSOL有限元軟件介紹

COMSOL Multiphysics (簡(jiǎn)稱COMSOL) 是基于有限元方法的原理而演繹出的一款多物理場(chǎng)的數(shù)值仿真軟件[3]，它實(shí)際上是從matlab下的一個(gè)偏微分工具箱發(fā)展而來(lái)，現(xiàn)可在一個(gè)模型下建立多個(gè)物理場(chǎng)耦合來(lái)計(jì)算。在COMSOL軟件電磁仿真模擬過(guò)程中，首先要選擇研究的空間維度，然后根據(jù)研究的問(wèn)題增加相應(yīng)的物理場(chǎng)，并選擇相應(yīng)的求解類型，最后點(diǎn)擊完成。這樣就表示已完成問(wèn)題的分析，建立了一個(gè)新的COMSOL軟件的文件，然后根據(jù)其模型構(gòu)建器按照從上至下的順序設(shè)置各個(gè)節(jié)點(diǎn)的參數(shù)，完成設(shè)置后就可以運(yùn)行COMSOL軟件進(jìn)行計(jì)算。下面介紹下COMSOL軟件模型構(gòu)建器的各個(gè)節(jié)點(diǎn)設(shè)置情況：

A.定義節(jié)點(diǎn)：分為全局定義和模型定義，在全局定義中設(shè)置的參數(shù)、變量和函數(shù)等物理量對(duì)整個(gè)文件都有效，而在局部定義中設(shè)置的這些物理量只能對(duì)這個(gè)模型有效。

B.幾何節(jié)點(diǎn)：COMSOL軟件不僅提供了強(qiáng)大的圖形繪畫工具，還可以導(dǎo)入如AutoCAD等專業(yè)繪圖軟件創(chuàng)立的幾何圖形，這樣就可以對(duì)任何復(fù)雜的幾何圖形進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算。

C.材料節(jié)點(diǎn)：COMSOL軟件不僅提供了許多預(yù)設(shè)的材料屬性，還可以由研究人員自己定義材料參數(shù)，如：介電常數(shù)、磁導(dǎo)率、電導(dǎo)率和折射率等。這樣研究人員就可以向研究的區(qū)域填充任意介質(zhì)，介質(zhì)可以是色散或耗散，也可以是各向異性和非均勻的。

D.物理場(chǎng)節(jié)點(diǎn)：運(yùn)用COMSOL軟件進(jìn)行電磁仿真，主要就是用到該軟件射頻模塊的兩組電磁波方程。在物理場(chǎng)節(jié)點(diǎn)中，可以在邊界設(shè)置激勵(lì)源，并根據(jù)研究問(wèn)題設(shè)置相應(yīng)的邊界條件，另還需設(shè)置物理場(chǎng)的初始值。

E.網(wǎng)格剖分：需要把連續(xù)區(qū)域通過(guò)網(wǎng)格剖分進(jìn)行離散化成各個(gè)子域。正常情況下，二維圖形用自由三角形剖分網(wǎng)格，三維用自由四面體剖分網(wǎng)格。

F.求解器：選擇相應(yīng)的求解器類型，設(shè)置其參數(shù)，該軟件還可以設(shè)置掃描化參數(shù)，通過(guò)軟件自身的傅里葉變換，自動(dòng)地實(shí)現(xiàn)頻域的分析轉(zhuǎn)化為時(shí)域的分析。

G.后處理：COMSOL軟件有非常強(qiáng)大的后處理功能，提供了豐富和可視化的后處理工具，有一維、二維和三維，可以根據(jù)需要畫出相應(yīng)的曲線與三維彩圖，而且軟件還可以對(duì)某些參數(shù)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程生成動(dòng)畫文件。除此之外，可以將軟件計(jì)算的數(shù)據(jù)導(dǎo)出來(lái)，用其他專業(yè)繪圖軟件再進(jìn)一步處理。

2 COMSOL有限元軟件電磁仿真實(shí)例

“電磁場(chǎng)理論”主要是研究電磁場(chǎng)中各物理量之間的關(guān)系(尤其是源與場(chǎng)的關(guān)系)及其空間分布和時(shí)間變化的理論，其核心內(nèi)容就是Maxwell方程組。學(xué)生尚能理解均勻平面波在各向同性媒質(zhì)中電磁波的傳播規(guī)律，而其在各向異性媒質(zhì)中電磁波的傳播規(guī)律時(shí)，由于其數(shù)學(xué)上涉及張量，公式推導(dǎo)異常繁雜，加上各向異性媒質(zhì)的實(shí)驗(yàn)較難實(shí)現(xiàn)，完全是抽象與想象，學(xué)生難以理解。下面基于變換光學(xué)的COMSOL有限元軟件電磁隱身案例，讓學(xué)生理解其抽象的推導(dǎo)過(guò)程，直觀地展現(xiàn)均勻平面波在各向異性媒質(zhì)中電磁波的傳播規(guī)律。

2.1 理論模型

2006年，Pendry和Leonhardt幾乎同時(shí)提出變換光學(xué)的電磁隱身理論[4-6]。下面以Pendry提出的坐標(biāo)變換的圓柱形電磁隱身斗篷的設(shè)計(jì)為例：設(shè)想在圖1(a)原坐標(biāo)空間R2內(nèi)有一坐標(biāo)原點(diǎn)O，如果把這個(gè)原點(diǎn)擴(kuò)大成圖1(b)中半徑為R1的一個(gè)區(qū)域時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)電磁等效，則邊界R1的特性必須要和原先的點(diǎn)O的特性一樣。這樣圖1(a)中圓圈內(nèi)的整個(gè)空間將會(huì)被壓縮為圖1(b)中的R1

圖1 (a)原坐標(biāo)空間；(b)變換坐標(biāo)空間Fig.1 (a) the original coordinate space; (b)the transformed coordinate space

設(shè)R1=a,R2=b,r′=k1r+k2,θ′=θ,z′=z，(式中k1=(b-a)/b,k2=a)，其中(r′,θ′,z′)為變換坐標(biāo)空間中的一點(diǎn)，(r,θ,z)為原坐標(biāo)空間中的一點(diǎn)，在直角坐標(biāo)系下，則：

(1)

根據(jù)文獻(xiàn)[4-6]，上述坐標(biāo)變換的雅可比矩陣Λ，為:

(2)

根據(jù)文獻(xiàn)[4-6]，可以得到變換坐標(biāo)空間的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率為：

(3)

(4)

式中，ΛT表示雅可比矩陣Λ的轉(zhuǎn)置矩陣，det(Λ)為Λ的行列式值，ε和μ為原坐標(biāo)空間內(nèi)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。發(fā)現(xiàn)變換坐標(biāo)空間的介電常數(shù)ε＇和磁導(dǎo)率μ＇為張量，都是各向異性的。

2.2 COMSOL有限元軟件電磁仿真

對(duì)上文的理論模型用COMSOL有限元軟件進(jìn)行電磁平面波(TE模式)仿真，此實(shí)例中參數(shù)：原坐標(biāo)空間中的介電常數(shù)與磁導(dǎo)率都取1、內(nèi)圓半徑為1 m、外圓半徑為2 m，在射頻模塊(RF)下，上下兩個(gè)邊界使用完全匹配層(PML)，左端口采取Port邊界激勵(lì)，入射頻率f= 0.3 GHz。圖2為平面波(TE模式)有無(wú)圓柱形隱身斗篷的電場(chǎng)散射情況，其中，圖2(a)為平面波(TE模式)沿水平方向無(wú)斗篷入射的電場(chǎng)散射圖樣，發(fā)現(xiàn)小圓圈后有很強(qiáng)的電場(chǎng)散射，說(shuō)明小圓圈不能實(shí)現(xiàn)電磁隱身；圖2(b)平面波(TE模式)沿水平方向有斗篷入射的電場(chǎng)散射圖樣，發(fā)現(xiàn)電磁波在斗篷(斗篷里的媒質(zhì)就是式(3)與(4)的各向異性媒質(zhì))中發(fā)生彎曲，平滑地繞過(guò)小圓圈，使得在小圓圈內(nèi)的物體能得到很好隱身，這樣就實(shí)現(xiàn)了基于變換光學(xué)的COMSOL有限元軟件電磁隱身。

圖2 (a)無(wú)斗篷入射的平面波電場(chǎng)散射圖樣；(b)有斗篷入射的平面波電場(chǎng)散射圖樣Fig.2 (a) plane wave electric field scattering pattern with no cloak incident; (b) plane wave electric field scattering pattern with cloak

3 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)在“電磁場(chǎng)理論”教學(xué)中存在的問(wèn)題：學(xué)生專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)較差、自主學(xué)習(xí)意識(shí)不強(qiáng)、抽象和邏輯思維能力欠缺，再加上該課程課時(shí)縮減等，利用學(xué)生對(duì)計(jì)算機(jī)的興趣，把COMSOL有限元軟件引入該門課程的教學(xué)中，介紹了該軟件的使用步驟，并以Pendry提出的坐標(biāo)變換的圓柱形電磁隱身斗篷的設(shè)計(jì)為例，進(jìn)一步介紹了理論模型的公式推導(dǎo)和如何使用該軟件實(shí)現(xiàn)圓柱形斗篷的電磁隱身。不僅簡(jiǎn)化了公式的推導(dǎo)，而且可在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)可視化與動(dòng)態(tài)的形象仿真效果，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)繁雜公式推導(dǎo)過(guò)程的了解和加強(qiáng)學(xué)生對(duì)電磁場(chǎng)理論抽象概念的理解，體會(huì)學(xué)習(xí)這門課程的用途，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，達(dá)到提高這門課程教學(xué)效果的目的。

[1] 教育部高等學(xué)校電子信息科學(xué)與工程類專業(yè)教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì).高等學(xué)校電子信息科學(xué)與工程類本科指導(dǎo)性專業(yè)規(guī)范(試行)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 田雨波，張貞凱，李峰.《電磁場(chǎng)理論》教學(xué)的體會(huì)與思考[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2012，(s2):127-129.

[3] 金建銘.電磁場(chǎng)有限元方法[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1998.

[4] Pendry J B，Schurig D，Smith D R. Controlling electromagnetic fields[J]. Science，2006，312(5781)：1780-1782.

[5] Leonhardt U. Optical conformal mapping[J]. Science，2006，312(5781)：1777-1780.

[6] Schurig D，Pendry J B，Smith D R. Calculation of material properties and ray tracing in transformation media[J]. Optics Express，2006，14(21)：9794-9804.

ResearchontheapplicationofCOMSOLfiniteelementsoftwareintheteachingofelectromagneticfieldtheory

WANG Xiao-hua1,2

(1. College of New Energy and Electronics Engineering, Yancheng Normal University, Yancheng 224007, China; 2. College of Science, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, China)

In view of the characteristics and problems of the teaching of electromagnetic field theory, this paper introduces COMSOL finite element software into the teaching of this course. In this paper, I choice the design of the cylindrical electromagnetic invisibility cloak as example, which is firstly proposed by Pendry based on the coordinate transformation. Then, this paper derives the formula of the cylindrical electromagnetic cloaking and how to realize this cloaking by using this finite element software COMSOL, so as to stimulate students’ learning enthusiasm and reach the purpose of improving the teaching effect of this course.

Electromagnetic field; COMSOL finite element software; Electromagnetic wave; Simulation

G642.1

A

1674-8646(2017)19-0079-03

2017-08-18

江蘇省研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃基金“等離子層狀結(jié)構(gòu)材料的電磁特性研究”(KYLX15_0316)；鹽城師范學(xué)院自然科學(xué)研究項(xiàng)目“亞波長(zhǎng)層狀結(jié)構(gòu)材料的電磁特性研究”(15YCKLY001)

王曉華(1979-)，男，博士，講師。