王 茜, 王芳貴, 何 可

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

Cn-內(nèi)射模及其刻畫

王 茜, 王芳貴*, 何 可

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

n-余撓模; Cn-內(nèi)射模; Artin半單環(huán); CnI-遺傳環(huán)

1959年,D. K. Harrison[5]為了刻畫非有限的Abelian群的結(jié)構(gòu)性質(zhì),開展了余撓模的研究(如文獻(xiàn)[6-7]).左R-模C稱為余撓模,是指對一切平坦模F,都有

2006年,Mao L. X.等[8]引入了n-余撓模概念,左R-模C稱為n-余撓模,是指對一切平坦模F,都有

本文借助n-余撓模類引入了Cn-內(nèi)射模的概念,并討論其相關(guān)性質(zhì)和等價(jià)刻畫,證明了L是內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)L是n-余撓維數(shù)不超過1的Cn-內(nèi)射模.借助于Cn-內(nèi)射模的概念,給出了Artin半單環(huán)和弱整體維數(shù)不超過n的環(huán)的新刻畫.證明了每個(gè)R模都是Cn-內(nèi)射模的環(huán)就是Artin半單環(huán),每個(gè)n-余撓模是Cn-內(nèi)射模的環(huán)就是弱整體維數(shù)不超過n的環(huán);從而有每個(gè)余撓模是C-內(nèi)射模的環(huán)就是von Neumann正則環(huán),1-余撓模是C1-內(nèi)射模的整環(huán)就是Prüfer整環(huán).最后用Cn-內(nèi)射模的商模是Cn-內(nèi)射模定義了CnI-遺傳環(huán)并得出了其等價(jià)刻畫和一些性質(zhì),即R是CnI-遺傳環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R上每個(gè)n-余撓模的投射維數(shù)不超過1.

以下恒設(shè)R是有單位元的結(jié)合環(huán),n是非負(fù)整數(shù),模指左模.用F、P和I分別表示平坦模類、投射模類和內(nèi)射模類,Fn和Cn分別表示平坦維數(shù)不超過n的模類和n-余撓模類.另外,pdRM與idRM分別表示R-模M的投射維數(shù)和內(nèi)射維數(shù),w.gl.dim(R)表示環(huán)R的弱整體維數(shù),其他涉及到的符號可以在文獻(xiàn)[14]中找到.

1 Cn-內(nèi)射模定義和基本性質(zhì)

注1.2下面的事實(shí)是顯然的.

1) 內(nèi)射模是Cn-內(nèi)射模.

2) 若m≥n≥0,則CnI?CmI,即Cn-內(nèi)射模是Cm-內(nèi)射模.

3) 由于I?Cn,故CnI?CPI,即Cn-內(nèi)射模是余純內(nèi)射模.

證明由自然同構(gòu)

即得.

命題1.4設(shè)0→X→Y→Z→0是正合列.若X、Z是Cn-內(nèi)射模,則Y也是Cn-內(nèi)射模.

設(shè)L是一個(gè)模類.設(shè)M∈L,X是R-模,φ:M→X是同態(tài).若對任何N∈L,以及任何同態(tài)g:N→X,恒有同態(tài)h:N→M,使下圖

完備為交換圖,則(M,φ)稱為X的L-預(yù)蓋.顯然,φ:M→X是L-預(yù)蓋當(dāng)且僅當(dāng)對任何N∈L,誘導(dǎo)同態(tài)

φ*:HomR(N,M)→HomR(N,X)

是滿同態(tài).

定理1.5對R-模L，以下各條等價(jià):

1)L是Cn-內(nèi)射模;

2) 若ξ:0→L→C→Z→0是正合列,其中C∈Cn,則C→Z是Z的Cn-預(yù)蓋;

3)L是某個(gè)Cn-滿預(yù)蓋φ:A→B的核,其中A是內(nèi)射模;

4) 若ξ:0→A→B→C→0是正合列,其中C∈Cn,則HomR(ξ,L)也是正合列;

2)?3)L能嵌入內(nèi)射模E,注意E∈Cn.取A=E,B=E/L.由條件,L是Cn-滿預(yù)蓋φ:A→B的核.

設(shè)R是環(huán),M是R-模.若M有如下形式的n-余撓分解0→M→C0→C1→…→Cm-1→Cm→0,其中C0,C1,…,Cm是n-余撓模,則稱M的n-余撓維數(shù)不超過m,記為cndRM.自然地,M的n-余撓維數(shù)cndRM就是M的n-余撓分解的最短長度.當(dāng)M沒有上述形式的n-余撓分解時(shí),則記cndRM=∞.對環(huán)R,記

Cn.D(R)=sup{cndRM|?M∈RM},

稱為R的n-余撓整體維數(shù).關(guān)于模與環(huán)的n-余撓維數(shù)的討論,n=0的情形參見文獻(xiàn)[15],一般情形參見文獻(xiàn)[10].

定理1.6設(shè)L是R-模,則L是內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)L是Cn-內(nèi)射模,且cndRL≤1.

證明若L是內(nèi)射模,顯然有L是Cn-內(nèi)射模,且cndRL≤1.反之,考慮正合列0→L→E→C→0,其中E是內(nèi)射模.由條件有cndRC=0,即C是n-余撓模.由文獻(xiàn)[16]的推論7.20,此正合列分裂,因此有L是內(nèi)射模.

回顧環(huán)R稱為Cn-遺傳環(huán),是指每個(gè)n-余撓模的商模是n-余撓模,等價(jià)于說Cn.D(R)≤1(參見文獻(xiàn)[10]).稱環(huán)R是完全環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)所有R-模是余撓模(參見文獻(xiàn)[17]),由定理1.6,可得如下推論.

推論1.7設(shè)R是Cn-遺傳環(huán),L是R-模,則L是內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)L是Cn-內(nèi)射模.

推論1.8設(shè)R是完全環(huán),L是R-模,則L是內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)L是C-內(nèi)射模.

2 環(huán)的刻畫

下面利用Cn-內(nèi)射模來刻畫環(huán),首先討論環(huán)的半單性,即環(huán)R上每個(gè)模都是Cn-內(nèi)射模時(shí),R所具備的一些性質(zhì).

定理2.1對環(huán)R,以下各條等價(jià):

1) 對任何n≥0,有RM=CnI,即每個(gè)R-模是Cn-內(nèi)射模;

2) 對任何n≥0,有Cn?P,即每個(gè)n-余撓模是投射模;

3) 存在n≥0,使得RM=CnI,即每個(gè)R-模是Cn-內(nèi)射模;

4) 存在n≥0,使得Cn?P,即每個(gè)n-余撓模是投射模;

5)R是Artin半單環(huán);

6) 每個(gè)余撓模是投射模;

7) 對任何n≥0,有Cn=P;

8) 存在n≥0,使得Cn=P.

3)?4) 類似于1)?2).

1)?3) 顯然.

4)?5) 見文獻(xiàn)[9]的推論6.5.

5)?6) 顯然,因?yàn)榘雴苇h(huán)每個(gè)模都是投射模.

6)?2) 由對任何n≥0,n-余撓模都是余撓模即得.

1)?7)?8)?1) 顯然.

下面通過n-余撓模與Cn-內(nèi)射模的關(guān)系來刻畫環(huán)的性質(zhì).

定理2.2設(shè)n是非負(fù)整數(shù).對環(huán)R,以下各條等價(jià):

1)w.gl.dim(R)≤n;

2) Cn?CnI,即每個(gè)n-余撓模是Cn-內(nèi)射模;

4) 對任何C,M∈Cn,及任何k≥1,有

5) 若cndRX<∞,則對任何M∈Cn有

7) Cn?Fn,即n-余撓模的平坦維數(shù)不超過n.

證明1)?2) 由文獻(xiàn)[9]的定理6.4,w.gl.dim(R)≤n當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)n-余撓模是內(nèi)射模,從而有Cn?CnI.

w.gl.dim(R)≤n.

2)?3)和2)?4)?3) 顯然.

4)?6) 設(shè)0→X→C0→C1→…→Cs→0是正合列,其中C0,C1,…,Cs是n-余撓模.由假設(shè),對任何i≥0,及k>0,有

故

6)?5)?3) 顯然.

3)?7) 由(Fn,Cn)是余撓理論即得.

目前已有許多刻畫von Neumann正則環(huán)和Prüfer整環(huán)的方法,也得到諸多結(jié)果.借助Cn-內(nèi)射模的概念,在定理2.2中的分別取n=0和n=1,得到下面關(guān)于von Neumann正則環(huán)和Prüfer整環(huán)的新刻畫.

推論2.3對環(huán)R,以下各條等價(jià):

1)R是von Neumann正則環(huán);

2) 余撓模是C-內(nèi)射模;

3) 對任何C,M∈C,有

4) 對任何C,M∈C,及任何k≥1,有

5) 若cdRX<∞,則對任何M∈C,有

7) C?F,即余撓模是平坦模.

推論2.4對整環(huán)R,以下各條等價(jià):

1)R是Prüfer整環(huán);

2) 1-余撓模是C1-內(nèi)射模;

4) 對任何C,M∈C1,及任何k≥1,有

5) 若cdRX<∞,則對任何M∈C1,有

7)C1?F1,即1-余撓模的平坦維數(shù)不超過1.

對于遺傳環(huán)的研究已經(jīng)很普遍,眾所周知,可以用內(nèi)射模的商模是內(nèi)射模來刻畫遺傳環(huán);類似的,也可以用Cn-內(nèi)射模來定義一類廣義的遺傳環(huán).

定義2.5若Cn-內(nèi)射模的商模還是Cn-內(nèi)射模,則稱R為CnI-遺傳環(huán),C0I-遺傳環(huán)簡稱CI-遺傳環(huán).

注2.61) 若m≥n≥0,則CnI-遺傳環(huán)是CmI-遺傳環(huán);

2) 對任何n,Artin半單環(huán)是CnI-遺傳環(huán);

3) 由定理1.6易知R是遺傳環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是CnI-遺傳環(huán)且R是Cn-遺傳環(huán).

定理2.7對環(huán)R,以下各條等價(jià):

1)R是CnI-遺傳環(huán);

2) 內(nèi)射模的商模是Cn-內(nèi)射模;

3) 每個(gè)n-余撓模的投射維數(shù)不超過1.

證明1)?2) 由內(nèi)射模是Cn-內(nèi)射模顯然.

推論2.8若R是CnI-遺傳環(huán)且每個(gè)Cn-內(nèi)射模是內(nèi)射模,則R是遺傳環(huán).

推論2.10對任意的n,Noether的CnI-遺傳環(huán)是1-Gorenstein環(huán).

證明由定理2.7知R是CnI-遺傳環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)n-余撓模的投射維數(shù)不超過1,又內(nèi)射模是n-余撓模,所以內(nèi)射模的投射維數(shù)不超過1,從而R是1-Gorenstein環(huán)(詳見文獻(xiàn)[18]的定理9.1.11).

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The Characterization on Cn-injective Modules

WANG Xi, WANG Fanggui, HE Ke

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

n-cotorsion module; Cn-injective module; Artin semisimple rings; CnI-hereditary ring

2016-11-08

國家自然科學(xué)基金(11671283)和教育部博士點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20125134110002)

*通信作者簡介:王芳貴(1955—),男,教授,主要從事交換代數(shù)、同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K-理論的研究,E-mail:wangfg2004@163.com

O154

A

1001-8395(2017)05-0588-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.004

2010MSC:16D50; 16E10; 16E30

(編輯 余 毅)