何正文
(廣東省肇慶市百花中學(xué) 526000)
2021新高考卷更注重考察學(xué)生核心素養(yǎng)的能力,落實(shí)立德樹人的總目標(biāo).本文對今年高考卷的試題進(jìn)行分析,對試題考點(diǎn)和背景往往由于考察學(xué)生的良好數(shù)學(xué)思維而靈便方法,因此在對試卷進(jìn)行分析后,筆者從數(shù)學(xué)抽象,邏輯推理,數(shù)學(xué)建模,數(shù)學(xué)運(yùn)算,直觀想象,和數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面進(jìn)行了詳細(xì)剖析.
數(shù)學(xué)抽象是對具體問題進(jìn)行抽象出數(shù)學(xué)數(shù)量與幾何圖形的問題,需要學(xué)生能夠?qū)㈩}目中的問題“翻譯”出數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)問題.今年高考題注重傳統(tǒng)文化為背景,讓學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問題.
分析本題以我國傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)為背景,讓考生體驗(yàn)從剪紙藝術(shù)抽象出數(shù)列的數(shù)學(xué)問題,在第一問,學(xué)生可以按對折列舉一般操作可以計(jì)算出來;第二問必須深層次抽象出數(shù)列問題了.數(shù)列抽象問題應(yīng)注意以下四點(diǎn):
(1)對于等差、等比數(shù)列,利用公式法可直接求解;
(2)對于{anbn}結(jié)構(gòu),其中{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,用錯(cuò)位相減法求和;
(3)對于{an+bn}結(jié)構(gòu),利用分組求和法;
例2(2021年全國高考乙卷理科選擇題第9題)魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作,其中第一題是測海島的高.如圖1,點(diǎn)E,H,G在水平線AC上,DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度,稱為“表高”,EG稱為“表距”,GC和EH都稱為“表目距”,GC與EH的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=( ).
圖1
分析本題以魏晉時(shí)期我國數(shù)學(xué)家劉徽的著作《海島算經(jīng)》中的測量方法為背景,讓考生體驗(yàn)從古籍問題抽象出幾何的數(shù)學(xué)問題,再回到古籍答案,利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出.
數(shù)學(xué)邏輯推理能力考察學(xué)生清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過程,對問題進(jìn)行分析、歸納、推理.今年高考題重視在實(shí)際問題出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生推理,得到結(jié)論.發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛、聯(lián)系實(shí)際的學(xué)科特點(diǎn).
例3(2021年全國高考乙卷理科選擇題第6題)將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有( ).
A.60種 B.120種 C.240種 D.480種
分析本題以北京冬奧會(huì)志愿者的培訓(xùn)為試題背景,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.考查排列組合的應(yīng)用問題,屬基礎(chǔ)題,關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況,然后利用先選后排思想求解.先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者,其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者,然后利用組合,排列,乘法原理求得.
例4(2021年新高考1卷選擇題第8題)有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球,甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則( ).
A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立
C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立
分析本題根據(jù)具體問題,從獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷,判斷事件A,B是否獨(dú)立,先計(jì)算對應(yīng)概率,再判斷P(A)P(B)=P(AB)是否成立.
數(shù)學(xué)知識(shí)可以以模型化的形式進(jìn)行展示,模型化思維有利于知識(shí)系統(tǒng)化,當(dāng)然數(shù)學(xué)本身就是一個(gè)模型,數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)就是數(shù)學(xué)建模的支點(diǎn),因此建模思想是高考考察學(xué)生一個(gè)很重要的思想方法.
例5(2021年新高考1卷選擇題第7題)若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則( ).
A.eb C.0 詳解在曲線y=ex上任取一點(diǎn)P(t,et),對函數(shù)y=ex求導(dǎo)得y′=ex,所以,曲線y=ex在點(diǎn)P處的切線方程為y-et=et(x-t),即y=etx+(1-t)et,由題意可知,點(diǎn)(a,b)在直線y=etx+(1-t)et上,可得b=aet+(1-t)et=(a+1-t)et,令f(t)=(a+1-t)et,則f′(t)=(a-t)et.