田 瑾,黃銳露,呂躍進(jìn)

(廣西大學(xué) a.電氣工程學(xué)院; b.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,南寧 530004)

一種帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)多屬性決策方法

田 瑾a,黃銳露b,呂躍進(jìn)b

(廣西大學(xué) a.電氣工程學(xué)院; b.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,南寧 530004)

本文定義了帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)的運(yùn)算法則和新的可能度公式,并證明了新的可能度公式滿足的一些性質(zhì).其次,基于帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)間的序關(guān)系,將已提出的區(qū)間粗糙數(shù)加權(quán)集結(jié)算子推廣至帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)有序加權(quán)集結(jié)算子.最后,基于新的可能度公式及有序加權(quán)集結(jié)算子,提出了一種解決屬性權(quán)重未知時(shí)多屬性決策問題的算法,并通過實(shí)例說明了算法的有效性和合理性.

帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù);可能度;有序加權(quán)集結(jié)算子;多屬性決策

0 引言

多屬性決策的實(shí)質(zhì)是決策者根據(jù)一定的排序規(guī)則從有限個(gè)備選方案中選擇出最優(yōu)(滿意)的行動(dòng)方案.由于受客觀事物的復(fù)雜性和不確定性、人類思維的模糊性以及心理狀態(tài)等因素的影響,多屬性決策的偏好信息會(huì)出現(xiàn)不同程度的模糊性和不確定性,通常以區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)、梯形模糊數(shù)、語言、直覺模糊數(shù)等形式表達(dá).

1982年,Pawlak[1]提出粗糙集理論,它是一種新的處理模糊和不確定性知識(shí)的數(shù)學(xué)工具.至今為止,其成果已被廣泛地應(yīng)用到?jīng)Q策分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘與模式識(shí)別、過程控制等方面.區(qū)間粗糙數(shù)是用區(qū)間刻畫下近似和上近似的粗糙集.在很多實(shí)際的多屬性決策問題中,屬性值可通過形如的區(qū)間粗糙數(shù)表示.例如某生產(chǎn)決策問題中產(chǎn)品的生產(chǎn)成本、庫存成本以及期望收益;物流系統(tǒng)配送中心選址問題中的期望收益、管理效益、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避等.假設(shè)某項(xiàng)目的投資額用一個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)來表示,其解釋為該項(xiàng)目的投資額落在3萬到8萬之間是肯定的,但是有很大概率落在5萬到7萬之間.

曾智和曾華[2]給出了區(qū)間粗糙數(shù)加權(quán)期望的定義及相關(guān)性質(zhì),提出了基于區(qū)間粗糙數(shù)加權(quán)期望值的多屬性決策方法.錢偉懿和曾智[3]補(bǔ)充了區(qū)間粗糙數(shù)的運(yùn)算法則,定義了加權(quán)平均算子與加權(quán)幾何算子及其性質(zhì),給出區(qū)間粗糙數(shù)兩兩比較的可能度公式及其相關(guān)性質(zhì),提出一種基于可能度的區(qū)間粗糙數(shù)排序方法.靳宗偉[4]定義了區(qū)間粗糙數(shù)的歐氏距離和期望值,以及區(qū)間粗糙數(shù)的L-測度,基于此測度給出了區(qū)間粗糙數(shù)的排序方法.曾雪蘭和謝鳳平[5]定義了正態(tài)分布的區(qū)間粗糙數(shù),補(bǔ)充了聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算法則,建立了區(qū)間粗糙數(shù)的均值-方差聯(lián)系數(shù)模型,提出了一種基于連續(xù)數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)多屬性決策方法.此外,謝鳳平和曾雪蘭等[6]給出了區(qū)間粗糙數(shù)互補(bǔ)和互反判斷矩陣的相互轉(zhuǎn)化公式,提出了一種基于可能度的區(qū)間粗糙數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的排序方法.翁士洲和呂躍進(jìn)[7]首次定義了帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)以及排序方法.夏曉東和呂躍進(jìn)[8]定義了帶參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)的期望和方差,提出了一種積分形式的帶參數(shù)的新的區(qū)間粗糙數(shù)相離度定義,給出一種基于熵值法及相離度的含參數(shù)型區(qū)間粗糙數(shù)多屬性決策方法.

鑒于現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)的研究還處于初步階段,本文希望在借鑒他人研究成果的基礎(chǔ)上進(jìn)行一些新的研究,定義了帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則及可能度公式,提出了帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)加權(quán)算術(shù)平均算子和加權(quán)幾何算子,并將其推廣得到帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)有序加權(quán)平均算子和有序加權(quán)幾何算子.針對(duì)屬性值為帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)且屬性權(quán)重未知的情況,提出了一種新的多屬性決策方法.

1 基本定義

1.1區(qū)間粗糙數(shù)的一些基本定義

定義1[9]設(shè)U為論域,X?U為表示某個(gè)概念的集合,則X的下近似和上近似分別定義為

其中:R(x)={y∈U|y～x},R-1(x)={y∈U|y～x},～為某二元相似關(guān)系(具有自反性,但不具有對(duì)稱性和傳遞性).

定義3[3]設(shè)ηi=([ai,bi],[ci,di])(i=1,2)為兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù),k>0,則有

1)η1+η2=([a1+a2,b1+b2],[c1+c2,d1+d2]);

2)kη1=([ka1,kb1],[kc1,kd1]);

3)η1·η2=([a1a1,b1b2],[c1c2,d1d2]);

1.2一些基本集結(jié)算子的定義

設(shè)I為全體區(qū)間粗糙數(shù)組成的集合.

定義4[3]設(shè)ηi=([ai,bi],[ci,di])(i=1,2,…，n)為一組區(qū)間粗糙數(shù),令I(lǐng)RWAA:In→I為

定義5[3]設(shè)ηi==([ai,bi],[ci,di])(i=1,2,…，n)為一組區(qū)間粗糙數(shù),令I(lǐng)RWGA:In→I為

2 帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)及集結(jié)算子

2.1帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)的定義

定義6[7]η=([a,b],[c,d],α)為一個(gè)帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù),若η滿足如下條件:

1)η′=([a,b],[c,d])為一個(gè)區(qū)間粗糙數(shù);

2)P(x[a,b])=α,P(x[c,d][a,b])=P(x[c,a]∪[b,d])=1-α;

進(jìn)一步地,若假設(shè)考察值在外區(qū)間與內(nèi)區(qū)間之差[c,d][a,b])=[c,a]∪[b,d])上的分布為均勻分布,則有

P(x[c,a])=(1-α),P(x[b,d])=(1-α).

(1)

則帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)可以進(jìn)一步表示為({[c,a],P[c,a]},{[a,b],P[a,b]},{[b,d],P[b,d]}),

其中P[c,a]=P(x[c,a]),P[a,b]=P(x[a,b]),P[b,d]=P(x[b,d]),且有P[c,a]+P[a,b]+P[b,d]=1,即滿足分布參數(shù)之和等于1.

定義7 設(shè)ηi=({[ci,ai],P[ci,ai]),({ai,bi},P[ai,bi]),({bi,di},P[bi,di])(i=1,2,…，n)為一組帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù),k>0,定義如下運(yùn)算:

2)kηi=({[kc1,ka1],P[c1，a1]},{[ka1,kb1],P[a1，b1]},{[kb1,kd1],P[b1，d1]});

定理1 ①由定義7運(yùn)算1)至運(yùn)算4)得到的新的區(qū)間粗糙數(shù)仍滿足分布參數(shù)之和等于1;②運(yùn)算1)和運(yùn)算3)滿足交換律;③當(dāng)n=2時(shí),運(yùn)算2)對(duì)運(yùn)算1)滿足分配律且運(yùn)算4)對(duì)運(yùn)算2)也滿足分配律.

證明①,②,③可由定義7易證，故證明略.

2.2帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)的可能度公式

定義8中的可能度公式具有的性質(zhì)如下:

定義9 設(shè)ηi=({[ci,ai],P[ci,ai]},{[ai,bi],P[ai,bi]},{[bi,di],P[bi,di]})(i=1,2)為兩個(gè)帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù),定義:

P(η1≥η2)=P[c1,a1]P[c2,a2]p([c1,a1]≥[c2,a2])+P[c1,a1]P[a2,b2]p([c1,a1]≥[a2,b2])+P[c1,a1]P[b2,d2]p([c1,a1]≥[b2,d2])+P[a1,b1]P[c2,a2]p([a1,b1]≥[c2,a2])+P[a1,b1]P[b2,b2]p([a1,b1]≥[a2,b2])+P[a1,b1]P[b2,d2]p([a1,b1]≥[b2,d2])+P[b1,d1]P[c2,a2]p([b1,d1]≥[c2,a2])+P[b1,d1]P[a2,b2]p([b1,d1]≥[a2,b2])+P[b1,d1]P[b2,d2]p([b1,d1]≥[b2,d2])

定理2 設(shè)ηi=({[ci,ai],P[ci,ai]},{[ai,bi],P[ai,bi]},{[bi,di],P[bi,di]})(i=1,2,3)為帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù),定義9中的可能度公式具有的性質(zhì)如下:

1)0≤P(η1≥η2)≤1;

2)P(η1≥η2)+P(η2≥η1)=1;

3)P(η1≥η2)=1,當(dāng)且僅當(dāng)d2≤c1;

4)P(η1≥η2)=0,當(dāng)且僅當(dāng)d1≤c2;

5)若P(η1≥η2)=1,P(η2≥η3)=1,則P(η1≥η2)=1.

證明1)證明略.

P(η1≥η2)+P(η2≥η1)=≤P[c1,a1]P[c2,a2]+P[c1,a1]P[a2,b2]+P[c1,a1]P[b2,d2]+P[a1,b1]P[c2,a2]+P[a1,b1]P[a2,b2]+P[a1,b1]P[b2,d2]+P[b1,d1]P[c2,a2]+P[b1,d1]P[a2,b2]=P[c1,a1]P[a1,b1]+P[b1,d1]=1.

熟悉常用量具的性能和使用方法，掌握產(chǎn)品各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)，嚴(yán)格執(zhí)行企業(yè)標(biāo)準(zhǔn)、檢驗(yàn)規(guī)程，進(jìn)行產(chǎn)品加工過程的質(zhì)量檢驗(yàn)和控制，以及產(chǎn)品的實(shí)驗(yàn)和測試，對(duì)生產(chǎn)加工過程中出現(xiàn)的產(chǎn)品質(zhì)量問題進(jìn)行處理和分析，并及時(shí)反饋，針對(duì)現(xiàn)場做好制程解析，并進(jìn)行改善活動(dòng)，嚴(yán)格執(zhí)行各項(xiàng)規(guī)章制度和工作紀(jì)律，樹立服務(wù)生產(chǎn)的意識(shí)。

3) 先證明d2≤c1?P(η1≥η2)=1.由d2≤c1得到

p([c1,a1])≥[c2,a2]=1；p([c1,a1])≥[a2,b2]=1；p([c1,a1])≥[b2,d2]=1； 也即

p([a1,b1])≥[c2,a2]=1；p([a1,b1])≥[a2,b2]=1；p([a1,b1])≥[b2,d2]=1；

p([b1,d1])≥[c2,a2]=1；p([b1,d1])≥[a2,b2]=1；p([b1,d1])≥[b2,d2]=1.

故有

P(η1≥η2)=P[c1,a1]P[c2,a2]+P[c1,a1]P[a2,b2]+P[c1,a1]P[b2,d2]+P[a1,b1]P[c2,a2]+

P[a1,b1]P[a2,b2]+P[a1,b1]P[b2,d2]+P[b1,d1]P[c2,a2]+P[b1,d1]P[a2,b2]+P[a1,b1]P[b2,d2],

于是有

P(η1≥η2)=P[c1,a1](P[c2,a2]+P[a2,b2]+P[b2,d2])+P[a1,b1](P[c2,a2]+P[a2,b2]+P[b2,d2])+

P[b1,d1](P[c2,a2]+P[a2,b2]+P[b2,d2]),

因此有P(η1≥η2)=P[c1,a1]+P[a1,b1]+P[b1,d1]=1.

下面證明P(η1≥η2)=1?d2≤c1.

P(η1≥η2)

P[a1,b1]P[a2,b2]+P[a1,b1]P[b2,d2]+P[b1,d1]P[c2,a2]+P[b1,d1]P[a2,b2]+P[a1,b1]P[b2,d2]=P[c1,a1]+P[a1,b1]+P[b1,d1]=1,

與已知P(η1≥η2)=1矛盾.

故假設(shè)不成立.即P(η1≥η2)=1?d2≤c2成立.

綜上,P(η1≥η2)=1,當(dāng)且僅當(dāng)d2≤c1.

4)和5)可由2)和3)易證.

2.3帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)的集結(jié)算子

設(shè)IWDP為全體帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)組成的集合.

基于帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)的可能度定義9,可得到該組帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)的兩兩比較可能度矩陣.由定理2中的性質(zhì)2)可知,其為互補(bǔ)判斷矩陣.由互補(bǔ)判斷矩陣可得到帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)之間的序關(guān)系.基于此序關(guān)系,將定義10、定義11推廣至有序加權(quán)集結(jié)算子,可得如下定義:

其中ω=(ω1,ω2,…，ωn)是與函數(shù)WDPIROWAA相關(guān)聯(lián)的加權(quán)向量,ωj且ζj是該組區(qū)間粗糙數(shù)(η1,η2,…，ηn)中第j大的元素,則稱函數(shù)WDPIROWAA是n維帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)有序加權(quán)算術(shù)平均算子,也稱為WDPIROWAA算子.

其中ω=(ω1,ω2,…，ωn)是與函數(shù)WDPIROWAA相關(guān)聯(lián)的加權(quán)向量,ωj且ζj是該組區(qū)間粗糙數(shù)(η1,η2,…，ηn)中第j大的元素,則稱函數(shù)WDPIROWGA是n維帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)有序加權(quán)算術(shù)平均算子,也稱為WDPIROWGA算子.

3 基于WDPIROWAA、WDPIROWGA集結(jié)算子的區(qū)間粗糙數(shù)多屬性決策方法

常見的決策矩陣的屬性值有效益型和成本型兩種,為了統(tǒng)一各屬性值對(duì)決策目標(biāo)的效用值評(píng)價(jià),將決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理,對(duì)屬性值為帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)的決策矩陣,給出下面的規(guī)范化處理方法:

對(duì)于效益型屬性而言,其轉(zhuǎn)化公式如下:

對(duì)于成本型屬性而言,其轉(zhuǎn)化公式如下:

其中:i=1,2,…，m;j=1,2,…，n.

檢驗(yàn)帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)是否滿足定義6,并根據(jù)公式(1)將帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)轉(zhuǎn)換為如下形式:

rij=({[cij,aij],P[cij,aij]},{[aij,bij],P[aij,bij]},{[bij,dij],P[bij,dij]})(i=1,2,…，m；j=1,2,…，n),

設(shè)此時(shí)得到的區(qū)間粗糙數(shù)決策矩陣為R=(rij)m×n.

為了求解序權(quán)重,構(gòu)建下面的最小偏差平方(LDS)模型[12]:

綜上所述,可設(shè)計(jì)如下區(qū)間粗糙數(shù)多屬性決策算法:

Step1 將決策矩陣A=(ζij)m×n轉(zhuǎn)化為規(guī)范化的決策矩陣R=(rij)m×n.

Step2 由LDS模型得到序權(quán)重ω.

Step3 對(duì)i從1到m遍歷,記規(guī)范化的決策矩陣R的第i行為Ri,利用定義9所給出的可能度公式得到Ri中兩兩比較的可能度矩陣Pi=(pkl)n×n,利用互補(bǔ)判斷矩陣的排序公式[13]

得到Ri的排序結(jié)果.

Step4 分別利用WDPIROWAA、WDPIROWGA集結(jié)算子對(duì)方案進(jìn)行集結(jié),得到集結(jié)結(jié)果zi(ω),i=1,2,…,m.

Step5 對(duì)集結(jié)結(jié)果zi(ω),i=1,2,…,m.利用定義9所給出的可能度公式得到兩兩比較的可能度矩陣,利用上述互補(bǔ)判斷矩陣的排序公式進(jìn)行排序,進(jìn)而得到最終的排序結(jié)果.

4 應(yīng)用案例

考慮某個(gè)公司對(duì)產(chǎn)品投資項(xiàng)目的選擇問題,設(shè)有4個(gè)備選投資項(xiàng)目(方案)Si(i=1,2,3,4)可供選擇,對(duì)備選投資項(xiàng)目主要以期望收益Q1,風(fēng)險(xiǎn)盈利Q2,投資成本Q3,風(fēng)險(xiǎn)損失Q4等4個(gè)評(píng)估指標(biāo)(屬性)進(jìn)行評(píng)價(jià),從中選出最佳方案.這些指標(biāo)前三個(gè)為效益型屬性,后一個(gè)為成本型屬性,本例對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 決策矩陣

Step1 根據(jù)效益型屬性和成本型屬性的轉(zhuǎn)化公式,得到規(guī)范化后的決策矩陣(只列出部分),如表2所示.

表2 規(guī)范化后的決策矩陣

Step2 由LDS模型得到的屬性序權(quán)重:ω=(0.7807,0.1573,0.04335,0.0186) .

Step3 每一行由兩兩比較的可能度矩陣得到的排序結(jié)果:

Step4 由WDPIROWAA算子集結(jié)后的結(jié)果:

同理，可得到由WDPIROWGA算子集結(jié)后的結(jié)果.

Step5 由WDPIROWAA算子集結(jié)后的結(jié)果兩兩比較得到的可能度矩陣:

同理，可得到由WDPIROWGA算子集結(jié)后的結(jié)果，及其兩兩比較得到的可能度矩陣.

Step6 得到WDPIROWAA集結(jié)算子最終的排序結(jié)果均為S2>S3>S1>S4.

同理，可得到由WDPIROWGA集結(jié)算子的最終排序結(jié)果與上一致.

5 結(jié)語

本文研究了帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)的多屬性決策問題,補(bǔ)充了帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)的運(yùn)算法則,定義了較為合理的可能度公式,提出了帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)的一些集結(jié)算子.在權(quán)重未知的情況下,通過最小偏差平方模型進(jìn)行權(quán)重求解,利用有序加權(quán)集結(jié)算子進(jìn)行信息集結(jié),再根據(jù)可能度矩陣和排序公式對(duì)方案進(jìn)行排序,選擇出最佳方案,并通過實(shí)例驗(yàn)證了算法的有效性和合理性.此外,李敬等[14]研究了基于優(yōu)勢度的序信息系統(tǒng)屬性重要性度量.本文接下來的研究可將序信息系統(tǒng)拓展為基于帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)序信息系統(tǒng),研究其屬性重要性度量及屬性約簡與規(guī)則提取.

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[14]李敬,王利東,李曉慶,等.基于優(yōu)勢度的序信息系統(tǒng)屬性重要性度量[J].瓊州學(xué)院學(xué)報(bào),2015,22(5):17-21.

AMultipleAttributeDecisionMakingMethodofIntervalRoughNumberswithDistributionParameters

TIAN Jina, HUANG Rui - lub, LV Yue - jinb

(a.College of Electrical Engineering;b.College of Mathematics and Information Science,Guangxi University, Nanning 530004, China)

This paper, first of all,defines the operational rules and the new possibility degree formula of the interval rough numbers with distributed parameters, and then proves some properties of the new possibility degree formula.Secondly, based on the rank correlation of interval rough numbers with distribution parameters, the existing weighted aggregate operator about interval rough number is extended to ordinal weighted aggregation operator of interval rough number with distributed parameters.Finally, based on the new possibility degree formula and the ordinal weighted aggregate operator, an algorithm is proposed to solve the multiple attribute decision making problems with unknown attribute weight, and the effectiveness and feasibility of the algorithm is illustrated by an example.

interval rough numbers with distribution parameters; possibility degree; ordinal weighted aggregation operator; multiple attribute decision making

格式：田瑾,黃銳露,呂躍進(jìn).一種帶分布參數(shù)的區(qū)間粗糙數(shù)多屬性決策方法[J].海南熱帶海洋學(xué)院學(xué)報(bào),2017,24(5):56-62.

2017-09-25

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71361002)

田瑾(1990-),女,陜西西安人,廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院管理科學(xué)與工程專業(yè)2015級(jí)碩士研究生,研究方向?yàn)楣芾頉Q策.

呂躍進(jìn)(1958-),男,廣東龍川人,廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授,碩士,研究方向?yàn)榇植诩?、?shù)據(jù)挖掘、管理決策.

N94,C934

A

2096-3122(2017) 05-0056-07

10.13307/j.issn.2096-3122.2017.05.10

(編校曾福庚)