潘 靜，張 穎，劉 璐

（北京林業(yè)大學 經(jīng)濟管理學院，北京 100083）

基于ARIMA模型與GM(1,1)模型的居民消費價格指數(shù)預測對比分析

潘 靜，張 穎，劉 璐

（北京林業(yè)大學 經(jīng)濟管理學院，北京 100083）

居民消費價格指數(shù)反映一定時期內(nèi)我國城鄉(xiāng)居民所購買的生活消費品和服務(wù)項目價格變動趨勢和程度的相對數(shù)，是宏觀經(jīng)濟分析與決策、價格總水平監(jiān)測與調(diào)控的重要指標，同時也是反映通貨膨脹的重要指標。文章運用歷史數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)學模型對CPI進行了科學合理的預測。在此基礎(chǔ)上運用ARIMA模型和GM(1,1)模型對居民消費價格指數(shù)進行了預測的對比分析。

居民消費價格指數(shù)；ARIMA模型；GM(1,1)模型；預測

0 引言

居民消費價格指數(shù)（CPI）反映一定時期內(nèi)我國城鄉(xiāng)居民所購買的生活消費品和服務(wù)項目價格變動趨勢和程度的相對數(shù)，通過CPI可以觀察和分析消費品的零售價格和服務(wù)項目價格變動對城鄉(xiāng)居民實際生活費支出的影響程度。CPI既是宏觀經(jīng)濟分析與決策、價格總水平監(jiān)測與調(diào)控以及國民經(jīng)濟核算的重要指標，也是反映通貨膨脹的重要指標，這一指標影響著政府制定貨幣、財政、消費、價格、工資、社會保障等政策，同時也與居民日常生活密切相關(guān)。因此，運用歷史數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)學模型對CPI進行科學合理的預測是進行宏觀經(jīng)濟調(diào)控的重要手段。

1 模型介紹

1．1 ARIMA模型

ARIMA模型，即自回歸積分滑動平均模型，該模型將時間序列視為隨機過程，用一個數(shù)學模型來描述，當該模型可以確定時，就可用該時間序列的過去值和現(xiàn)值來預測未來值。該模型考察了時間序列的動態(tài)特征、持續(xù)特征，揭示了時間序列過去與現(xiàn)在、將來與現(xiàn)在的相互關(guān)系，適用于短期時間預測。

若時間序列Yt經(jīng)過d次差分之后，生成平穩(wěn)序列μt，則ARIMA(p,d,q)模型為：

其中，c是常數(shù)，φ為自回歸模型系數(shù)，θ為移動平均模型系數(shù)，εt為白噪聲序列。p為自回歸模型的階數(shù)，q為移動平均階數(shù)。ARIMA模型分析分為4個階段，即序列平穩(wěn)性檢驗、模型初步識別、模型參數(shù)估計和模型診斷分析。

1．2 GM(1,1)模型

GM(1,1)模型以灰色理論為基礎(chǔ)，是灰色系統(tǒng)理論中運用最廣泛的一種動態(tài)預測模型，模型由一個單變量的一階微分方程構(gòu)成?；疑Ｐ偷膬?yōu)點是可以利用較少的數(shù)據(jù)進行預測。

假設(shè)原始觀測序列為x0(k)為非負序列，其中，則x1(k)為x0(k)的一次累加序列。GM(1,1)模型為：

其中，z1(k)為x1(k)的緊鄰均值，即為待定系數(shù)，分別表示發(fā)展系數(shù)和灰色作用量。根據(jù)最小二乘法可得：

2 數(shù)據(jù)來源

按照統(tǒng)計制度的相關(guān)規(guī)定，目前我國的CPI實行基期輪換制度，CPI基期輪換是一項國際慣例，目的是使CPI調(diào)查所涉及到的商品和服務(wù)更具有代表性，更及時準確反映居民消費結(jié)構(gòu)的新變化和物價的實際變動。國家統(tǒng)計局從2016年1月開始使用新一輪的對比基期，上一輪基期輪換為2010年。為保證數(shù)據(jù)在統(tǒng)計口徑上的一致性，本文以國家統(tǒng)計局公布的2010年1月至2015年12月月度CPI同比價格為數(shù)據(jù)樣本。根據(jù)兩個模型的特點，2010年1月至2015年12月的數(shù)據(jù)建立ARIMA預測模型，2015年1月至2015年12月的數(shù)據(jù)建立GM(1,1)預測模型。樣本選擇同期對比數(shù)據(jù)，以上年同月價格為基期形成的數(shù)據(jù)具有連慣性、交叉性，更符合時間序列信息延伸的特征。

3 模型分析

3．1 ARIMA模型

ARIMA模型建模的步驟為：（1）平穩(wěn)性檢驗；（2）模型定階；（3）模型的參數(shù)估計及檢驗，具體如下：

（1）平穩(wěn)性檢驗。建立預測模型前，先檢驗數(shù)據(jù)樣本的平穩(wěn)性。首先繪制時間序列圖，見圖1。通過觀察CPI的時間序列圖，可以發(fā)現(xiàn)CPI序列值存在較大的波動，無明顯的隨時間變動趨勢，結(jié)合自相關(guān)函數(shù)以及ADF檢驗，判定其平穩(wěn)性。CPI序列的相關(guān)系數(shù)明顯落在隨機區(qū)域外，ADF檢驗結(jié)果表明，t=-0.807，均大于1%、5%、10%顯著水平下的臨界值，同時p值大于0.5，表明CPI序列存在單位根，可認定該序列為非平穩(wěn)序列。

圖1 CPI時間序列圖

首先考慮月度數(shù)據(jù)的季節(jié)性波動，利用CensusX12季節(jié)調(diào)整法對CPI序列進行季節(jié)調(diào)整，得到CPI季節(jié)調(diào)整序列，通過CPI季節(jié)調(diào)整序列的自相關(guān)圖可以看出，該序列仍非平穩(wěn)，為了消除CPI季節(jié)調(diào)整序列趨勢的影響，對其進行一階差分，生成一階差分序列，從一階差分序列的自相關(guān)圖可以看出，一階差分后基本消除了CPI的趨勢，差分結(jié)果見圖2。差分處理后，進行ADF檢驗，ADF檢驗結(jié)果表明t=-10.402，此時1%水平的臨界值為-3,537、5%水平的臨界值為-2.908、10%水平的臨界值為-2.591，t值小于各個顯著水平下的臨界值，同時p值小于0.5，表明CPI序列不存在單位根，該序列平穩(wěn)。

圖2 一階差分后的CPI時序圖

（2）模型定階。建立ARIMA模型需要先對模型進行識別，選擇滯后階數(shù)，然后進行參數(shù)估計、模型檢驗以及趨勢預測。CPI數(shù)據(jù)進行差分后成為平穩(wěn)序列，建立ARIMA(p,d,q)模型。由于一階差分后，消除了CPI序列的趨勢，所以差分階數(shù)d=1。根據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的統(tǒng)計特征確定ARIMA模型中p、q的階數(shù)，即p=12、q=1或q=2。預選模型為ARIMA(12,1,1)和ARIMA(12,1,1)。

（3）模型的參數(shù)估計及檢驗。利用EViews軟件，對預選模型ARIMA(12,1,1)和ARIMA(12,1,2)進行參數(shù)估計，結(jié)果如下頁表1所示。

表1 ARIMA(12,1,1)模型與ARIMA(12,1,2)模型的參數(shù)估計結(jié)果

根據(jù)表1可以看出，ARIMA(12,1,1)模型的各項指標均優(yōu)于ARIMA(12,1,2)模型，因此ARIMA(12,1,1)為預測的最佳模型。

對上述模型進行檢驗，模型的殘差序列通過白噪聲檢驗，即表示該模型已經(jīng)提取了樣本中的所有相關(guān)信息，模型構(gòu)建合理。根據(jù)殘差序列的自相關(guān)圖進行模型檢驗?？梢钥闯?，Q統(tǒng)計量伴隨的p值均大于0.5，說明ARIMA(12,1,1)模型的殘差序列滿足隨機性假設(shè)，即模型構(gòu)建合理，可以用于進行預測。

（4）預測結(jié)果

利用ARIMA(12,1,1)模型進行預測，結(jié)果如表2所示。

表2 ARIMA(12,1,1)模型CPI預測值

3．2 G(1,1)模型

利用SPSS軟件對CPI序列進行GM(1,1)模型預測分析。建模過程如下：（1）在SPSS中定義初始時間序列以及序列值；（2）建立時間序列方程；（3）建立灰色模型的一階線性微分方程，得出發(fā)展系數(shù)α、灰色作用量β的值；（4）利用上述結(jié)果進行預測；（5）模型檢驗。

通過分析GM(1,1)模型為：

其中，a=-0.0002,β=101.37022。對模型進行檢驗，G(1,1)模型檢驗主要有兩個指標，即標準差比C和小誤差概率P。經(jīng)計算上述模型中C=S1/S2=0.51＜0.65，p=0.75＞0.7，該模型的精度等級為3級，可以用于預測，預測結(jié)果如表3所示。

表3 GM(1,1)模型CPI預測值

4 結(jié)論及討論

根據(jù)ARIMA(12,1,1)模型以及G(1,1)模型對CPI進行預測的結(jié)果進行對比分析。采用平均絕對誤差率（MAD）來比較兩個模型預測的效果，MAD=平均誤差絕對值/實際值的均值，具體見表4。

由表4可見，在對CPI預測的過程中，ARIMA(12,1,1)模型的平均絕對誤差率高于GM(1,1)模型，即GM(1,1)模型對CPI的預測能力高于ARIMA模型(12,1,1)。圖3為ARIMA(12,1,1)模型以及G(1,1)模型的預測結(jié)果對比圖。

表4 ARIMA(12,1,1)模型與GM(1,1)模型CPI預測對比

圖3 ARIMA(12,1,1)模型與GM(1,1)模型的預測結(jié)果對比圖

ARIMA模型的優(yōu)點是可以把影響CPI變化的各個因素的綜合效應融入時間序列變量之中，利用時間序列的季節(jié)趨勢、變化趨勢等統(tǒng)計原理進行闡述，同時可以不斷地對模型進行修正，直至得到滿意的模型。GM(1,1)模型的優(yōu)點在于可以利用較少的數(shù)據(jù)便可以對復雜的系統(tǒng)進行主要變量特征值的擬合，已達到揭示這一變量隨時間增長的變化規(guī)律以及發(fā)展趨勢。

CPI是宏觀經(jīng)濟中重要的指標之一，對其進行準確的預測是進行宏觀經(jīng)濟調(diào)控的重要手段，本文運用ARIMA模型和GM(1,1)模型對CPI預測，從預測過程、結(jié)果對比兩個角度進行了深入研究。根據(jù)研究結(jié)果，在進行宏觀經(jīng)濟調(diào)控過程中，應充分考慮CPI的季節(jié)變化趨勢，以達到更有效調(diào)控的目的。

[1]孫少巖,逯家英,王化波.基于ARIMA模型對吉林省失地人口的研究[J].人口學刊,2016,36(4).

[2]陳燦煌.我國農(nóng)產(chǎn)品價格指數(shù)短期預測——基于時間序列分解的分析[J].價格理論與實踐,2011,(7).

[3]張勃,劉秀麗.基于ARIMA模型的生態(tài)足跡動態(tài)模擬和預測——以甘肅省為例[J].生態(tài)學報,2011,31(20).

[4]王宇熹,汪泓,肖峻.基于灰色GM(1,1)模型的上海城鎮(zhèn)養(yǎng)老保險人口分布預測[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2010,30(12).

[5]王慧紅,林洛陽.GM(1,1)模型的預測精度及應用[J].統(tǒng)計與決策,2014,(8).

F222

A

1002-6487（2017）20-0110-03

全國統(tǒng)計科學研究重大項目（2017LD03）

潘 靜（1988—），女，吉林白山人，博士研究生，研究方向：林業(yè)資源經(jīng)濟與環(huán)境管理。

張 穎（1964—），男，陜西梅縣人，教授，博士生導師，研究方向：自然資源核算。

(責任編輯/易永生)