符和滿

(肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 肇慶 526061)

符和滿*

(肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 肇慶 526061)

設(shè)(X,f)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),其中X是一個(gè)含至少2個(gè)點(diǎn)的完備度量空間,f是X上的一個(gè)連續(xù)自映射. 對(duì)給定的Furstenberg族與整數(shù)N≥2,將-混沌推廣到N元-混沌. 為此,對(duì)于X的2個(gè)非空子集A、B,借助集對(duì)(A,B)的-往復(fù)點(diǎn)來引入-攀援串的概念,進(jìn)而定義N元-混沌以及討論N元-混沌的一些性質(zhì). 最后以Furstenberg族理論為主要工具,給出一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)是全局性N元-強(qiáng)混沌的一個(gè)判據(jù),并通過例子來闡述它在動(dòng)力系統(tǒng)中的應(yīng)用.

Furstenberg族; 全局性N元-強(qiáng)混沌;N元-攀援集

Keywords： Furstenberg family; generical strong-N-chaos;-N-scrambled set

設(shè)(X,f)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng)),即X是一個(gè)含至少2個(gè)點(diǎn)的完備度量空間,f:X→X是一個(gè)連續(xù)映射；d表示度量空間X的度量.

2007年,XIONG等[1]對(duì)任意給定的Furstenberg族定義了-混沌,使得Li-Yorke混沌成為-混沌，分布混沌成為(1)-混沌,其中是正整數(shù)集的所有無限子集構(gòu)成的Furstenberg族,(1)是所有上密度為1的正整數(shù)集構(gòu)成的Furstenberg族；并且給出了全局性-強(qiáng)混沌系統(tǒng)的一個(gè)判據(jù). 有關(guān)分布混沌更多內(nèi)容可參閱文獻(xiàn)[2-5].

為了更全面理解混沌本質(zhì),學(xué)者們進(jìn)一步研究多元混沌. 例如,研究了Li-Yorke意義下的攀援N-串[6],進(jìn)一步引入了N元分布混沌并得到它的初步性質(zhì)[7],其中N≥2. 本文將文獻(xiàn)[1]的-混沌推廣到N元-混沌,類似地給出動(dòng)力系統(tǒng)是全局性N元-強(qiáng)混沌的一個(gè)判據(jù),并通過相應(yīng)的例子來闡述此判據(jù)的應(yīng)用,從而掌握到一些全局性N元-強(qiáng)混沌系統(tǒng).

1 主要結(jié)果

首先簡(jiǎn)單介紹 Furstenberg 族, 所使用的概念和記號(hào)主要源于文獻(xiàn)[8].

1.1 N 元-攀援集

設(shè)(X,f)為動(dòng)力系統(tǒng),是一個(gè)Furstenberg族. 下面所用的術(shù)語(yǔ)源于文獻(xiàn)[1].

設(shè)A?X. 點(diǎn)xX稱為集合A的一個(gè)-貼附點(diǎn),如果點(diǎn)x在集合A中的回復(fù)時(shí)間集屬于,即Nf(x,A). 集合A的所有-貼附點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為集合A的-貼附集,記作(A,f). 明顯地,有(A,f)=∪F∩nFf-n(A).

稱點(diǎn)xX是集合A?X的一個(gè)-趨附點(diǎn),如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)δ>0,點(diǎn)x是集合[A]δ的-貼附點(diǎn),即x([A]δ,f).

對(duì)于給定的實(shí)數(shù)δ>0,稱點(diǎn)xX是集合A?X的一個(gè)-δ-逃匿點(diǎn),如果x是集合X-的一個(gè)-貼附點(diǎn). 稱點(diǎn)xX是集合A?X的一個(gè)-逃匿點(diǎn),如果存在某一個(gè)實(shí)數(shù)δ>0使得x是A的-δ-逃匿點(diǎn).

設(shè)A、B是X的非空子集. 稱點(diǎn)xX是集對(duì)(A,B)的一個(gè)-往復(fù)點(diǎn)(或-δ-往復(fù)點(diǎn)),如果它既是A的-趨附點(diǎn),又是B的-逃匿點(diǎn)(相應(yīng)地,-δ-逃匿點(diǎn)).

集合A的全體-趨附點(diǎn)(或-逃匿點(diǎn),-δ-逃匿點(diǎn))構(gòu)成的集合α(A,f)(相應(yīng)地,ε(A,f),ε(A,δ,f))稱為集合A的-趨附集(相應(yīng)地,-逃匿集,-δ-逃匿集). 集對(duì)(A,B)的全體-往復(fù)點(diǎn)(-δ-往復(fù)點(diǎn))構(gòu)成的集合θ(A,B,f)(θ(A,B,δ,f))稱為集對(duì)(A,B)的-往復(fù)集(相應(yīng)地,-δ-往復(fù)集). 則有

α

ε(A,δ,f)=(X-,f),ε(A,f)=ε(A,δ,f),

θ(A,B,δ,f)=α(A,f)∩ε(B,δ,f),

θ(A,B,f)=α(A,f)∩ε(B,f).

借助集對(duì)(A,B)的-往復(fù)點(diǎn),下面給出-攀援串以及N元-攀援集的定義.

稱X的子集C為系統(tǒng)(X,f)的一個(gè)N元-攀援集,如果對(duì)任意N個(gè)兩兩互異的點(diǎn)x1,…,xNC,(x1,…,xN)是一個(gè)-攀援串. 設(shè)實(shí)數(shù)δ>0,稱X的子集C為系統(tǒng)(X,f)的一個(gè)N元-δ-攀援集,如果對(duì)任意N個(gè)兩兩互異的點(diǎn)x1,…,xNC,(x1,…,xN)是一個(gè)-δ-攀援串.

下面2個(gè)引理分析了集對(duì)(A,B)的-δ-往復(fù)集的性質(zhì),這些性質(zhì)將用于定理1的證明.

引理1設(shè)是與系統(tǒng)(X,f)兼容的Furstenberg族,A、B是X的非空子集，則A的-趨附集α(A,f) 是X中的Gδ集,并且對(duì)于任意實(shí)數(shù)δ>0,集對(duì)(A,B)的-δ-往復(fù)集也是X中的Gδ集.

證明由于Furstenberg族是與系統(tǒng)(X,f)兼容的,任意開集的-貼附集是Gδ集,所以集合A的-趨附集作為可數(shù)個(gè)Gδ集之交是Gδ集. 由于集合B的-δ-逃匿集是一個(gè)Gδ集,集對(duì)(A,B)的-δ-往復(fù)集作為2個(gè)Gδ集之交仍是Gδ集. 證畢.

稱兩集合A、B?X(或者點(diǎn)xX和集合B?X)是正分離的,如果d(A,B)>0(相應(yīng)地,d(x,B)>0).

引理2設(shè)A,B,C?X都是非空的且B、C是正分離的，則存在實(shí)數(shù)δ>0使得集合C的-趨附集α(C,f)包含在B的-δ-逃匿集ε(B,δ,f)中. 因此集對(duì)(A,B)的-δ-往復(fù)集θ(A,B,δ,f)包含A的-趨附集α(A,f)和C的-趨附集α(C,f)之交.

ε??

因此θ(A,B,δ,f)=α(A,f)∩ε(B,δ,f)?α(A,f)∩α(C,f). 證畢.

定理1設(shè)是一個(gè)與系統(tǒng)(X,f)兼容的Furs-tenberg族,集合A,B?X是非空的. 存在與集合B正分離的非空集合C?X,使得A和C的-趨附集α(A,f)和α(C,f)都是稠密的當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)δ>0使得集對(duì)(A,B)的-δ-往復(fù)集θ(A,B,δ,f)是X中的稠密的Gδ集.

證明設(shè)存在非空集合C?X與B正分離,且α(A,f)和α(C,f)都是稠密的. 由引理1,α(A,f)和α(C,f)都是稠密的Gδ集. 由引理2,存在實(shí)數(shù)δ>0使得集對(duì)(A,B)的-δ-往復(fù)集θ(A,B,δ,f)包含稠密的Gδ集α(A,f)與α(C,f)之交,則θ(A,B,δ,f)是稠密的. 由引理1,θ(A,B,δ,f)是稠密的Gδ集.

反之,設(shè)存在實(shí)數(shù)δ>0使得集合θ(A,B,δ,f)是X中的稠密的Gδ集. 由于α(A,f)包含θ(A,B,δ,f),所以是稠密的. 令C=X-[B]δ,與B是正分離的. 由于

α(C,f)?(C,f)?(X-,f)=ε(B,δ,f)?

θ(A,B,δ,f),

所以C是非空的,并且α(C,f)是稠密的. 證畢.

1.2 全局性N元-強(qiáng)混沌系統(tǒng)的判據(jù)

設(shè)整數(shù)N≥2，下面定義全局性N元族-(強(qiáng))混沌.

如果系統(tǒng)(X,f)中由-攀援串構(gòu)成的集合是XN中的一個(gè)稠密的Gδ集,則稱系統(tǒng)(X,f)是全局性N元-混沌的. 如果存在實(shí)數(shù)δ>0使得系統(tǒng)(X,f)中由-δ-攀援串構(gòu)成的集合是XN中一個(gè)稠密的Gδ集,則稱系統(tǒng)(X,f)是全局性N元-強(qiáng)混沌的.

由于系統(tǒng)(X,f)中由-攀援串(或者-δ-攀援串)構(gòu)成的集合按定義是系統(tǒng)(XN,f(N))中集對(duì)的-往復(fù)集θ相應(yīng)地,-δ-往復(fù)集θ所以將定理1應(yīng)用于乘積系統(tǒng)(XN,f(N)),立即得到:

定理2設(shè)是一個(gè)與系統(tǒng)(X,f)的乘積系統(tǒng)(XN,f(N))兼容的Furstenberg族,其中整數(shù)N≥2. 系統(tǒng)(X,f)是全局性N元-強(qiáng)混沌的當(dāng)且僅當(dāng)Δ的-趨附集α(Δ,f(N))在XN中稠密,并且存在與正分離的非空子集A?XN,其-趨附集α(A,f(N))在XN中稠密.

引理3如果Ai(1≤i≤N)是X的N個(gè)子集,其中整數(shù)N≥2,i(1≤i≤N+1)是N+1個(gè)Furstenberg族,且1·2·…·N?N+1,則

證明由積空間XN的性質(zhì),對(duì)任意的δ>0,存在δi>0 (i=1,2,…,N),使得

下面給出全局性N元-強(qiáng)混沌系統(tǒng)的一個(gè)判據(jù).

定理3設(shè)是一個(gè)與系統(tǒng)(X,f)的乘積系統(tǒng)(XN,f(N))兼容的滿的Furstenberg族,其中整數(shù)N≥2. 如果X中存在N個(gè)兩兩正分離的非空子集Ai(1≤i≤N),使得A1是一個(gè)單點(diǎn)集;Ai(i=1,2,…,N-1)的κ-趨附集ακ(Ai,f)稠密;AN的-趨附集α(AN,f)稠密,則系統(tǒng)(X,f)是全局性N元-強(qiáng)混沌的.

W?X稱為f的不變子集,如果f(W)?W. 下面的推論是定理3的一種特殊情形,改進(jìn)了文獻(xiàn)[9]的結(jié)論：

2 應(yīng)用

最近,XIONG等[10]引入如下一類新的 Furstenberg 族. 對(duì)任意(0,1],定義

其中Fc=+-F. 并且定義0=∩. 易見,對(duì)任意[0,1],均是Furstenberg族;且對(duì)任意的0≤1≤2≤1,有?. 實(shí)際上,1=(1).

設(shè)整數(shù)N≥2,首先將推論1應(yīng)用于符號(hào)空間的轉(zhuǎn)移系統(tǒng)(ΣN,σ),其中ΣN是N個(gè)符號(hào)的(單邊)符號(hào)空間,σ是ΣN上的轉(zhuǎn)移自映射.

例1說明了符號(hào)空間的轉(zhuǎn)移系統(tǒng)是全局性N元-強(qiáng)混沌的,這一點(diǎn)在意料之中. 下面不在符號(hào)空間構(gòu)造出一個(gè)看起來“不平凡”的動(dòng)力系統(tǒng)(例2),它也是全局性N元-強(qiáng)混沌的,[0,1]. 為此,先回顧構(gòu)造動(dòng)力系統(tǒng)的一種方法[11-12].

設(shè)(X,f)、(Y,g)是2個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),其中X、Y都是緊致度量空間. 設(shè)x0X是f的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn). 把X×Y的子集{x0}×Y捏為一點(diǎn),可得一個(gè)緊致度量空間,記作Xx0Y. 此時(shí),f×g自然地誘導(dǎo)了Xx0Y上的一個(gè)連續(xù)自映射,設(shè)為h. 易知(Xx0Y,h)也是一個(gè)緊致的動(dòng)力系統(tǒng).

對(duì)xX,記Qx=π({x}×Y),其中π是(X×Y,f×g)到(Xx0Y,h)的因子映射，Qx0是一個(gè)單點(diǎn)集.

例2定義I=[0,1]上的一個(gè)逐段線性的連續(xù)自映射f：

顯然,f有N個(gè)不動(dòng)點(diǎn),記作xi(i=1,2,…,N),其中x1=0. 令g是單位圓周S1上的一個(gè)無理旋轉(zhuǎn). 考慮動(dòng)力系統(tǒng)(I0S1,h),則Qxi(i=1,2,…,N)是h的兩兩正分離的不變子集,且每一個(gè)在I0S1中稠密. 注意到Qx1=Q0是一個(gè)單點(diǎn)集,故對(duì)于與系統(tǒng)(I0S1,h)的N重乘積系統(tǒng)兼容的滿的Furstenberg族,由推論1知系統(tǒng)(I0S1,h)是全局性N元-強(qiáng)混沌的.

注1例1與例2都是全局性N元0-強(qiáng)混沌系統(tǒng),當(dāng)然更是全局性N元強(qiáng)分布混沌系統(tǒng). 由此看來,這類系統(tǒng)的混沌性質(zhì)是非常強(qiáng)的.

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A Criterion for Generically Strong-N-chaotic Systems

FU Heman*

(School of Mathematics and Statistics, Zhaoqing University, Zhaoqing 526061, China)

Let(X,f) be a dynamical system, whereXis a complete metric space containing at least two points andfis a continuous self-map onX.-chaos is generalized to-N-chaos for a given Furstenberg familyand an integerN≥2. For this purpose,-scrambled tuples are defined by means of-reciprocating points with respect to a pair(A,B) of non-empty sets inX. Hence,-N-chaos is defined and some properties of-N-chaos are considered. Finally, a criterion for generically strong-N-chaotic systems is obtained by heavy use of the theory of Furstenberg families, and its applications in dynamical systems are given with two examples.

2016-01-25 《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

廣東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(S2013040013857)

*通訊作者:符和滿,副教授,Email:dbfhm@163.com.

O19

A

1000-5463(2017)05-0092-04

【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文審校：肖菁】