王 田, 梁星亮

(1. 甘肅中醫(yī)藥大學(xué)(定西校區(qū))理科部, 定西 743000； 2. 蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730000； 3. 陜西科技大學(xué)文理學(xué)院, 西安 710021)

用條件(PWPE)刻畫的序幺半群

王 田1, 梁星亮2,3*

(1. 甘肅中醫(yī)藥大學(xué)(定西校區(qū))理科部, 定西 743000； 2. 蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730000； 3. 陜西科技大學(xué)文理學(xué)院, 西安 710021)

借助S-系理論及序半群理論的方法,在序S-系范疇中引入了條件(PWPE),刻畫了循環(huán)(Rees商)序S-系滿足這一條件的序幺半群的結(jié)構(gòu)特征. 進(jìn)一步地,給出了Rees商序S-系的條件(PWPE)與其他平坦性質(zhì)一致的序幺半群的刻畫,并推廣了條件(PWP)的相關(guān)結(jié)果．

條件(PWPE)； 序S-系； 序幺半群

Keywords： condition(PWPE);S-poset; pomonoid

序S-系理論作為序幺半群的一種表示與同調(diào)代數(shù)具有密切的聯(lián)系,序S-系平坦性質(zhì)的研究是該理論中重要的研究內(nèi)容之一,已取得了豐富的研究成果[1-12]. 20世紀(jì)80年代,FAKHRUDDIN[1-2]最早研究了序S-系的平坦性質(zhì). 2005年,SHI等[8-9]將S-系范疇中的條件(P)和平坦性推廣至序S-系范疇中,并證明了每一個滿足條件(P)的序S-系是序平坦的. 進(jìn)一步地,引入了序平坦序S-系的主弱形式,稱之為序主弱平坦序S-系,并利用該性質(zhì)刻畫了左PP、左PSF序幺半群. 2009年,GOLCHIN和REZAEI[4]在序S-系范疇中利用子拉回圖定義了條件(PWP),該條件是條件(P)的主弱形式. 由文獻(xiàn)[4]可以得到條件(PWP)與序主弱平坦性之間的關(guān)系:

條件(PWP)?序主弱平坦性.

為進(jìn)一步探索平坦性質(zhì)在序S-系中的應(yīng)用,本文通過引入條件(PWP)的一種推廣形式,稱之為條件(PWPE),建立了該條件與序主弱平坦性之間的聯(lián)系,研究了循環(huán)(Rees商)序S-系滿足這一條件的序幺半群的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)而推廣了條件(PWP)的已有相關(guān)結(jié)果.

1 預(yù)備知識

設(shè)S是序幺半群,1是其單位元,E(S)表示S中所有冪等元的集合,文中未說明的術(shù)語和事實見文獻(xiàn)[3,5,7]. 設(shè)A是一個帶有偏序≤的集合,f是A×S到A的映射,簡記為f(a,s)=as. 如果對任意的a,a′A,s,s′S,滿足以下條件:

(1)a(ss′)=(as)s′, 以及a·1=a.

(2)a≤a′推出as≤a′s,并且s≤s′推出as≤as′.

則稱(A,f)是一個序右S-系,或稱S序右作用于A上[1]. 為了方便起見,簡記為AS或A. 類似地可以定義序左S-系SA.

設(shè)ρK是由K決定的Rees商序同余. 稱序幺半群S的凸的真右理想K是強(qiáng)左零化的[4-5],如果對任意的tS,x,ySK,由[x]ρKt≤[y]ρKt推出xt≤yt.

稱序右S-系A(chǔ)滿足條件(PWP)[4],如果對任意的a,a′A,sS,若as≤a′s,則存在a″A,u,vS,使得a=a″u,a′=a″v,且us≤vs.

稱序右S-系A(chǔ)是序主弱平坦的[9],如果對任意的a,a′A,sS,若a?s≤a′?s在A?S中成立,則a?s≤a′?s在A?Ss中成立.

首先給出滿足條件(PWPE)的序S-系的定義.

定義1稱序右S-系A(chǔ)滿足條件(PWPE),如果對任意的a,a′A,sS,as≤a′s,存在a″A,u,vS,e,fE(S),使得ae=a″ue,a′f=a″vf,es=s=fs且us≤vs.

注記1顯然,在定義1中,當(dāng)e=f=1時,條件(PWPE)就是條件(PWP). 因此,每一個滿足條件(PWP)的序S-系都滿足條件(PWPE). 但由文獻(xiàn)[5]的例3.11可知其逆不成立. 另外,由定義1可知SS和ΘS都滿足條件(PWPE).

下面建立條件(PWPE)與序主弱平坦性之間的關(guān)系:

命題1設(shè)A是序右S-系. 若A滿足條件(PWPE),則A是序主弱平坦的.

證明假設(shè)A是滿足條件(PWPE)的序右S-系. 若a?s≤a′?s在A?S中成立,則由文獻(xiàn)[9]的推論3.3知as≤a′s. 根據(jù)假設(shè),存在a″A,u,vS和e,fE(S),使得ae=a″ue,a′f=a″vf,es=s=fs且us≤vs. 因此,在A?Ss中有

a?s=a?es=ae?s=a″ue?s=a″?ues=a″?us≤

a″?vs=a″?vfs=a″vf?s=a′f?s=a′?fs=a′?s,

故A是序主弱平坦的. 證畢.

利用命題1可給出序群的一個新的等價刻畫:

推論1對任意序幺半群S,以下條件等價:

(1)所有的序S-系滿足條件(PWPE),且|E(S)|=1;

(2)S是序群.

證明(1)?(2). 假設(shè)所有的序S-系滿足條件(PWPE). 根據(jù)命題1,所有的序S-系是序主弱平坦的，則由文獻(xiàn)[6]的定理2.3知S是正則序幺半群. 又因為|E(S)|=1,容易得到S就是序群.

(2)?(1)顯然成立. 證畢.

2 主要結(jié)果

本節(jié)主要研究滿足條件(PWPE)的序S-系的同調(diào)分類問題. 首先,由定義1可給出循環(huán)序S-系滿足條件(PWPE)的序幺半群的刻畫：

命題2設(shè)ρ是S上的序右同余,則循環(huán)序S-系S/ρ滿足條件(PWPE)當(dāng)且僅當(dāng)對?x,y,tS，

[x]ρt≤[y]ρt?(?u,vS)(e,fE(S))((xe)ρ(ue)∧

(yf)ρ(vf)∧et=t=ft∧ut≤vt).

推論2[4]設(shè)ρ是S上的序右同余,則循環(huán)序S-系S/ρ滿足條件(PWP)當(dāng)且僅當(dāng)對任意的x,y,tS,若[x]ρt≤[y]ρt,則存在u,vS,使得xρu,yρv且ut≤vt.

由命題2可得以下推論:

推論3設(shè)sS,則主右理想sS滿足條件(PWPE)當(dāng)且僅當(dāng)對?x,y,tS，

sxt≤syt?(?u,vS)(e,fE(S))(sxe=sue∧syf=

svf∧et=t=ft∧ut≤vt).

為了刻畫滿足條件(PWPE)的Rees商序S-系,給出以下定義:

定義2稱序幺半群S的凸的真右理想K是強(qiáng)E-左零化的,如果對?tS,x,ySK,

[x]ρKt≤[y]ρKt?(?u,vS)(e,fE(S))(et=t=

ft∧ut≤vt∧xe≠ue?xe,ueK∧yf≠vf?yf,vfK).

注記2顯然,S的每一個凸的強(qiáng)左零化真右理想都是強(qiáng)E-左零化的. 然而,文獻(xiàn)[5]的例3.11說明了反之不然.

下面給出Rees商序S-系滿足條件(PWPE)的序幺半群的刻畫.

定理1設(shè)K是序幺半群S的凸的真右理想，則 Rees 商序右S-系S/K滿足條件(PWPE)當(dāng)且僅當(dāng)K是強(qiáng)左穩(wěn)定的和強(qiáng)E-左零化的.

證明必要性. 假設(shè)S/K滿足條件(PWPE). 則由命題1知,S/K是序主弱平坦的,于是由文獻(xiàn)[5]的引理3.7知,K是強(qiáng)左穩(wěn)定的. 下證K是強(qiáng)E-左零化的. 設(shè)[xt]≤[yt],其中tS,x,ySK. 因為S/K滿足條件(PWPE),由命題2知,存在u,vS,e,fE(S),使得(xe)ρK(ue),(yf)ρK(vf),et=t=ft且ut≤vt. 根據(jù)ρK的定義,由xe≠ue和yf≠vf得xe,ueK和yf,vfK. 因此,K是強(qiáng)E-左零化的.

充分性. 假設(shè)K是凸的強(qiáng)左穩(wěn)定和強(qiáng)E-左零化真右理想. 為了證明S/K滿足條件(PWPE),只需驗證S滿足命題2的條件即可. 若x,y,tS滿足[xt]≤[yt],則由文獻(xiàn)[3]的引理3知xt≤yt,或者存在k,k′K使得xt≤k且k′≤yt. 如果xt≤yt,則只需取u=x,y=v,e=f=1即可;否則,將考慮以下4種情形:

情形1.x,yK. 取u=v=x,e=1=f即可;

情形2.xK,yK. 因為K是強(qiáng)左穩(wěn)定的,并且ytS,所以存在kK使得kyt≤yt,于是取u=ky,v=y且e=1=f即可;

情形3.xK,yK. 類似于情況2;

情形4.x,yK. 因為K是強(qiáng)E-左零化的,所以存在u,vS,e,fE(S),使得xe≠ue?xe,ueK,yf≠vf?yf,vfK,et=t=ft且ut≤vt,故(xe)ρK(ue),(yf)ρK(vf).

綜上所述,S/K滿足條件(PWPE). 證畢.

推論4[4]設(shè)K是序幺半群S的凸的真右理想，則Rees商序右S-系S/K滿足條件(PWP)當(dāng)且僅當(dāng)K是強(qiáng)左穩(wěn)定的和強(qiáng)左零化的.

正如命題1所述,條件(PWPE)?序主弱平坦,但以下例子說明了反之不然.

例1[4]設(shè)S={0,1,r,s,t}是滿足如下運算

的幺半群,并且S僅有的非平凡序關(guān)系為t<0且r<0. 令K={0,r}，則(S,≤)是一個序幺半群,并且容易驗證K是凸的強(qiáng)左穩(wěn)定真右理想. 由文獻(xiàn)[4]的例6.3知,S/K是序主弱平坦的. 然而,根據(jù)定理1,S/K不滿足條件(PWPE). 這是因為1,tSK,且[1]t≤[t]t,但不存在元素u,vS和e,fE(S)滿足1e≠ue?1e,ueK,tf≠vf?tf,vfK,et=t=ft且ut≤vt,從而K不是強(qiáng)E-左零化的.

接下來考慮Rees商序S-系的條件(PWPE)與其他平坦性質(zhì)一致的序幺半群的刻畫.

定理2對任意序幺半群S,以下條件等價:

(1)所有滿足條件(PWPE)的Rees商序S-系S/K滿足條件(PWP);

(2)S的每一個凸的強(qiáng)左穩(wěn)定和強(qiáng)E-左零化真右理想是強(qiáng)左零化的.

證明(1)?(2). 假設(shè)K是S的凸的強(qiáng)左穩(wěn)定和強(qiáng)E-左零化真右理想. 則由定理1知,S/K滿足條件(PWPE). 根據(jù)條件(1),S/K滿足條件(PWP),于是由文獻(xiàn)[5]的引理3.8知,K是強(qiáng)左零化的.

(2)?(1). 設(shè)K是S的凸的右理想,并且S/K滿足條件(PWPE). 如果K是S的真右理想,那么由定理1知,K是強(qiáng)左穩(wěn)定的和強(qiáng)E-左零化的. 從而根據(jù)條件(2),K是強(qiáng)左零化的理想,進(jìn)而由文獻(xiàn)[5]的引理3.8知,S/K滿足條件(PWP). 如果K=S,顯然,S/K?ΘS滿足條件(PWP),即結(jié)論成立.

定理3對任意序幺半群S,以下條件等價:

(1)所有滿足條件(PWPE)的Rees商序S-系S/K滿足條件(P);

(2)S是弱右reversible序幺半群,且S中沒有真的強(qiáng)左穩(wěn)定和強(qiáng)E-左零化凸右理想K使得|K|>1.

證明(1)?(2). 由于ΘS滿足條件(PWPE),所以根據(jù)條件(1),ΘS滿足條件(P). 由文獻(xiàn)[3]的定理1,S是弱右reversible序幺半群. 反設(shè)S有真的強(qiáng)左穩(wěn)定和強(qiáng)E-左零化凸右理想K且|K|>1,則由定理1知,S/K滿足條件(PWPE). 從而根據(jù)條件(1),S/K滿足條件(P),于是由文獻(xiàn)[7]的引理1.8知,|K|=1,矛盾.

(2)?(1). 令K是S的凸的右理想,并且S/K滿足條件(PWPE). 如果K是S的真右理想, 那么由定理1知,K是強(qiáng)左穩(wěn)定的和強(qiáng)E-左零化的. 根據(jù)條件(2),|K|=1,故S/K滿足條件(P). 如果K=S,因為S是弱右reversible序幺半群,所以根據(jù)文獻(xiàn)[3]的定理1,S/K?ΘS滿足條件(P),故結(jié)論成立. 證畢.

類似地,可以證明下面2個定理.

定理4對任意序幺半群S,以下條件等價:

(1)所有滿足條件(PWPE)的Rees商序S-系S/K是強(qiáng)平坦的;

(2)S是左collapsible序幺半群,且S中沒有真的強(qiáng)左穩(wěn)定和強(qiáng)E-左零化凸右理想K使得|K|>1.

定理5對任意序幺半群S,以下條件等價:

(1)所有滿足條件(PWPE)的Rees商序S-系S/K是投射的;

(2)S有左零元,且S中沒有真的強(qiáng)左穩(wěn)定和強(qiáng)E-左零化凸右理想K使得|K|>1.

最后給出Rees商序S-系的條件(PWPE)與自由性一致的序幺半群的結(jié)構(gòu)特征.

定理6對任意序幺半群S,以下條件等價:

(1)所有滿足條件(PWPE)的Rees商序S-系S/K是自由的;

(2)|S|=1.

證明(1)?(2). 因為ΘS滿足條件(PWPE),所以由假設(shè)知ΘS是自由的. 根據(jù)文獻(xiàn)[3]的定理1,|S|=1.

(2)?(1)顯然. 證畢.

在定理1～定理6中,若將序S-系和序幺半群中的偏序均取作平凡序時,就可以直接得到S-系理論的相應(yīng)經(jīng)典結(jié)果[13].

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Characterization of Pomonoids by Condition (PWPE)

WANG Tian1, LIANG Xingliang2,3*

(1. Science Department, Gansu University of Chinese Medicine (Dingxi Campus), Dingxi 743000, China；2. School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China；3. College of Arts and Science, Shaanxi University of Science and Technology, Xi’an 710021, China)

By usingS-act theory and ordered semigroup theory, condition(PWPE) in the category ofS-posets is introduced, and pomonoids over which cyclic (Rees factor)S-posets satisfy this new condition are characterized. Moreover, a classification of pomonoids is given for which Rees factorS-posets satisfying condition(PWPE) have some other flatness properties and vice versa. As applications, some important results on condition(PWPE) are extended.

2016-05-16 《華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國家自然科學(xué)基金項目(11501451);陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃項目(2017JQ1026)

*通訊作者:梁星亮,講師,Email:lxl_119@126.com.

O152.7

A

1000-5463(2017)05-0104-04

【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文審校：肖菁】