莫子杰, 陳 浩, 王瑞強(qiáng)

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院, 廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣州 510006)

線性磁場(chǎng)作用下一維鐵磁鏈的孤子激發(fā)

莫子杰, 陳 浩*, 王瑞強(qiáng)

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院, 廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣州 510006)

研究了在線性磁場(chǎng)作用下，一維鐵磁鏈的2種孤子激發(fā). 分別導(dǎo)出2個(gè)不同修正的非線性薛定諤方程，可以得到各自所激發(fā)的孤子解. 此2種孤子激發(fā)結(jié)果均表明，在增加線性磁場(chǎng)后，孤子的外形與有效質(zhì)量并不受到影響，但孤子的運(yùn)動(dòng)模式卻發(fā)生改變，從一般的勻速運(yùn)動(dòng)變?yōu)閯蜃兯龠\(yùn)動(dòng). 而且在線性磁場(chǎng)作用下孤子的能量出現(xiàn)了定域分布，隨位置的不同而不同. 由此發(fā)現(xiàn)，引入線性磁場(chǎng)的普遍意義在于，可使一維鐵磁鏈中的孤子激發(fā)和移動(dòng)受到更好的控制，同時(shí)不破壞孤子的穩(wěn)定性.

一維鐵磁鏈； 孤子； 線性磁場(chǎng)； 非線性薛定諤方程

Keywords： 1D ferromagnetic chain; soliton; linear magnetic field; nonlinear Schr?dinger equations

一維鐵磁鏈在凝聚態(tài)物理研究中非常重要，擁有自旋相互作用的一維海森堡鐵磁鏈，在考慮高階非線性相互作用時(shí)，可激發(fā)出孤子[1-5]. 通常研究易平面相互作用[6]、DM 相互作用[7]、單離子各向異性[8]等在鐵磁鏈中對(duì)非線性激發(fā)的影響. 隨著研究的深入，考察的相互作用越來越多，如考察系統(tǒng)本身的自相互作用[9-13]以及外界因素對(duì)一維鐵磁鏈非線性激發(fā)的影響[14-18].

本文考慮外加線性磁場(chǎng)，建立一維鐵磁鏈的孤子激發(fā)模型，探討線性磁場(chǎng)對(duì)激發(fā)的影響. 首先提出該模型的哈密頓量，推導(dǎo)出系統(tǒng)第一種孤子模型的動(dòng)力學(xué)方程；然后運(yùn)用擴(kuò)展的行波法，求解出在線性磁場(chǎng)作用下，一維鐵磁鏈的孤子解；再根據(jù)孤子解分析孤子的特性、運(yùn)動(dòng)特征及其能量分布，與無磁場(chǎng)的情況下相比較，研究線性磁場(chǎng)對(duì)孤子的實(shí)質(zhì)性影響；最后求解第2種孤子激發(fā)，并做相應(yīng)的討論.

1 含非均勻外磁場(chǎng)的一維鐵磁鏈系統(tǒng)

在非均勻外磁場(chǎng)作用下，一維鐵海森堡磁鏈的哈密頓量可寫為[19]

(1)

通過Holstein-Primakoff變換[20],式(1)可改寫為由玻色算符組成的哈密頓量

(2)

引入相干態(tài)變換使方程變?yōu)樽孕怕史倪\(yùn)動(dòng)方程，設(shè)相干態(tài)|a〉滿足al|al〉=al|al〉[21](αl為在l格點(diǎn)上的自旋概率幅)，可得

(3)

假定孤子的空間寬度遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)r0，由此可采用空間連續(xù)近似處理式(3)，即

(4)

將式(4)代入式(3)，經(jīng)整理可得到一個(gè)修正的含空間變系數(shù)的非線性薛定諤方程

(5)

對(duì)于修正的非線性薛定諤方程，一般很難找到精確解析解，只有在某些特殊的情況下才有解. 非線性薛定諤方程在各種修正情況下求解的情況也被廣泛研究[22-24].

2 線性磁場(chǎng)下的孤子求解

考慮一維線性的外磁場(chǎng)Bz(x)=B0+B1x，即

(6)

其中，B0和B1為描述磁場(chǎng)的常系數(shù). 對(duì)于類似于式(5)的修正非線性薛定諤方程，文獻(xiàn)[22]運(yùn)用逆散射方法研究其解. 為了得出方程(6)的解，本文采用擴(kuò)展的行波法求解. 設(shè)

u=φ(ξ)·eiθ(ξ,t),

(7)

其中，φ和θ均為實(shí)函數(shù)；ξ=X-f(t)描述擴(kuò)展的行波運(yùn)動(dòng)；f(t)是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的單變量實(shí)函數(shù).

將式(6)、(7)代入式(5)可得

(8)

(9)

為求解孤子波，可先求解相位θ. 根據(jù)邊界條件要求，孤子在無窮遠(yuǎn)處要趨于0，即當(dāng)ξ→±∞時(shí)，φ→0，因此將式(8)整理后代入邊界條件可得

(10)

其中，g(t)為待定實(shí)函數(shù). 利用式(10)代換式(9)中含θ的項(xiàng)，可得

(11)

其中，

方程(11)的一般通解難以求解，于是可令k(ξ,t)為一個(gè)常數(shù)，方程(11)的形式則是一個(gè)橢圓微分方程. 由此可解得

其中，x0、g0、v、C均為常數(shù)，可由初始條件和歸一化條件決定.

3 孤子解的分析及討論

3.1 孤子的解

根據(jù)方程(11)可得橢圓方程并求其孤子解

(12)

(13)

3.2 孤子的運(yùn)動(dòng)情況

與一維鐵磁鏈中的孤子激發(fā)結(jié)果[19]比較，在引入了線性磁場(chǎng)后，孤子的寬度和峰值不變，即孤子保持了它在無外場(chǎng)下的外形特征. 然而孤子的運(yùn)動(dòng)情況發(fā)生了很大改變. 根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，從式(13)中雙曲正割函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，孤子的運(yùn)動(dòng)不再是通常的勻速運(yùn)動(dòng)，而是具有一定初速度的勻變速運(yùn)動(dòng). 孤子的初速度為

(14)

孤子運(yùn)動(dòng)的加速度為

(15)

由此可得孤子運(yùn)動(dòng)的(瞬時(shí))速度為

(16)

這里與無線性磁場(chǎng)作用下的孤子運(yùn)動(dòng)情況不同，v不再是勻速的，而是孤子勻變速運(yùn)動(dòng)的初速度. 此時(shí)孤子的運(yùn)動(dòng)速度是一個(gè)隨時(shí)間線性變化的量，同時(shí)也是孤子波的群速度. 由式(15)可知，孤子運(yùn)動(dòng)的加速度與鐵磁鏈中的交換積分及線性磁場(chǎng)的線性項(xiàng)有關(guān). 對(duì)于同一條鐵磁鏈來說，其上激發(fā)的孤子運(yùn)動(dòng)加速度的大小恰與B1成正比，方向也取決于B1. 綜合來看，線性外磁場(chǎng)具有改變孤子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的作用.

當(dāng)磁場(chǎng)的線性項(xiàng)不存在時(shí)(B1=0)，孤子并沒有加速，即勻速行波孤子(圖1A). 當(dāng)加入了線性磁場(chǎng)后(B1=0)，即使孤子被激發(fā)時(shí)無初速度，它也會(huì)在外磁場(chǎng)的推動(dòng)下做勻加速運(yùn)動(dòng)(圖1B). 另外，初速度和磁場(chǎng)將同時(shí)影響孤子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如在圖1C中，由于初速度和加速度方向相同，所以孤子沿某個(gè)方向勻加速運(yùn)動(dòng)；而在圖1D中，初速度取負(fù)值時(shí)，表示與選定的正方向相反，由于初速度與加速度的方向相反，所以孤子先減速后沿著加速度的方向做反向加速的運(yùn)動(dòng). 此時(shí)孤子的運(yùn)動(dòng)方向被線性磁場(chǎng)改變并最終沿著某一方向勻加速運(yùn)動(dòng). 可見，線性外磁場(chǎng)改變了孤子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，使其運(yùn)動(dòng)更依賴于外界而非初始條件. 當(dāng)孤子被激發(fā)后，可通過調(diào)節(jié)磁場(chǎng)的線性項(xiàng)B1來有效控制孤子的運(yùn)動(dòng)情況. 這樣做不但豐富了孤子的傳播模式，而且孤子原本的激發(fā)外形特征不會(huì)受到改變和破壞.

圖1 在有無線性磁場(chǎng)條件下一維鐵磁鏈中的孤子運(yùn)動(dòng)

Figure 1 Soliton motion in 1D ferromagnetic chain with and without linear magnetic field

3.3 孤子的能量

為求解此孤子能量，定義孤子的廣義頻率，即頻移Ω=?Θ/?t. 可以證明，Ω是不隨時(shí)間改變的量，即有dΩ/dt=0成立[22]. 頻移有表征能量的性質(zhì)，于是可將孤子的能量表示為

(16)

其中孤子無磁場(chǎng)下的靜能量為

線性磁場(chǎng)提供給孤子的能量為

EB=μB0+μB1x，

(17)

為了進(jìn)一步分析能量在孤子上的分布，可將Es改寫為

Es=EB0+μB1ξ,

(18)

圖2 線性磁場(chǎng)下一維鐵磁鏈的孤子概率幅|α|及能量Es分布

Figure 2 Soliton probability amplitude (|α|) and energy distribution (Es) of one dimensional ferromagnetic chain under linear magnetic field

注：參數(shù)C=1,Ps=1,EB0=-1,μB1=2.5.

最后應(yīng)當(dāng)注意到，Es描述孤子能量的局域性分布情況. 孤子的移動(dòng)也是能量的傳播，所以孤子自身所傳遞的總能量應(yīng)為

表明了孤子所傳遞的能量其實(shí)就是激發(fā)能. 它并沒有受到線性磁場(chǎng)線性項(xiàng)B1的影響，所以，線性磁場(chǎng)作用下一維鐵磁鏈激發(fā)的孤子依然能夠在鏈上穩(wěn)定傳播，B1的存在并沒有為孤子能量傳輸增加負(fù)擔(dān).

4 線性磁場(chǎng)下的改進(jìn)孤子解

一維鐵磁鏈的非線性激發(fā)是豐富的，文獻(xiàn)[26-27]提出了鐵磁鏈中存在的1個(gè)改進(jìn)孤子解，并研究了Aharonove-Bohm磁通對(duì)其孤子激發(fā)的影響，這種改進(jìn)孤子的形式后來被廣泛運(yùn)用于其他模型的求解.

運(yùn)用相同的哈密頓量式(1)及Holstein-Primakoff變換，并且引入相干態(tài)和空間連續(xù)近似，并設(shè)線性磁場(chǎng)滿足式(6)，將式(4)、(6)代入式(3)，可以得到一個(gè)新的含空間變系數(shù)的非線性微分方程

(19)

U=Φ(η)·ei?(η,t),

(20)

其中，Φ和相位?均為實(shí)函數(shù)；η=X-F(t)描述擴(kuò)展的行波運(yùn)動(dòng)；F(t)是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的單變量實(shí)函數(shù). 將式(20)代入式(19)中，經(jīng)過整理運(yùn)算，可得

(21)

其中h(t)為待定實(shí)函數(shù)，即

(22)

其中，

(23)

方程(22)是一個(gè)復(fù)雜的非線性方程，可求得當(dāng)K(η,t)為常數(shù)時(shí)的解. 于是設(shè)K(η,t)=C′，C′為常數(shù). 基于此，由式(21)、(23)易得F(t)、h(t)及相位的表達(dá)式. 而方程(22)的解則為

2(η-η0),

其中，η0為常數(shù)，由初始條件決定. 等號(hào)左端的第2項(xiàng)可以近似為常數(shù)，可歸入η0中，從而可以得到方程(22)的一個(gè)近似孤子解[26-27]. 結(jié)合歸一化條件，最后可得常數(shù)C′的值及一維鐵磁鏈在線性磁場(chǎng)作用下的改進(jìn)孤子解

(24)

(25)

同樣，式中g(shù)0、v均為常數(shù)，其具體取值由初始條件決定. 式(24)這個(gè)孤子只有在各向異性的鐵磁鏈中才存在，并且依然是一個(gè)可以穩(wěn)定傳播的孤立子. 容易判斷，孤子的外形即寬度和峰值都沒有受到線性磁場(chǎng)的影響. 改進(jìn)后的孤子依然具有寬度變窄、峰值更高的特點(diǎn)[26]，而這些是由于只考慮了不同的非線性相互作用而造成. 從雙曲余弦函數(shù)內(nèi)的表達(dá)式可以看出，加入線性磁場(chǎng)后，該改進(jìn)孤子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與式(13)孤子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律一樣，具有相同的初速度(式(14))、加速度(式(15)). 這里可以看出線性磁場(chǎng)對(duì)孤子的產(chǎn)生及穩(wěn)定性并沒有任何影響，而僅起到改變它運(yùn)動(dòng)模式的作用.

通過式(25)可以考察這個(gè)改進(jìn)孤子的能量分布. 設(shè)此處孤子的頻移量為Ω′=?Θ′/?t，同理可以證明dΩ′/dt=0，于是能量為

5 結(jié)論

受外場(chǎng)影響的物理系統(tǒng)是普遍存在的. 本文首先推導(dǎo)出一維鐵磁鏈在非均勻外磁場(chǎng)中，自旋概率幅的運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)而研究了在線性磁場(chǎng)作用下2種情況的孤子激發(fā)，發(fā)現(xiàn)它們?nèi)匀荒軌蚣ぐl(fā)出穩(wěn)定地孤子，但此時(shí)孤子的相位和運(yùn)動(dòng)情況上發(fā)生了變化. 孤子的激發(fā)特征量，如峰值、寬度和有效質(zhì)量這些均由非線性相互作用決定，與外加的線性磁場(chǎng)無關(guān). 而外加的線性磁場(chǎng)對(duì)鐵磁鏈孤子的影響都體現(xiàn)在其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和能量的轉(zhuǎn)化上. 線性磁場(chǎng)的存在破壞了系統(tǒng)原有的平移對(duì)稱性，使得鐵磁鏈中激發(fā)的孤子做勻變速運(yùn)動(dòng)，而且最終運(yùn)動(dòng)方向取決于加速度的方向，由此使得孤子能量呈現(xiàn)定域分布，然而其傳輸?shù)目偰芰看笮s不會(huì)受到磁場(chǎng)線性項(xiàng)的影響. 孤子的運(yùn)動(dòng)減少了對(duì)初始條件的依賴，增強(qiáng)其運(yùn)動(dòng)的可控性，同時(shí)又不會(huì)為孤子的傳播帶來負(fù)面影響.

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Solitons in One-Dimensional Heisenberg Ferromagnetic Chain with Linear Magnetic Field

MO Zijie, CHEN Hao*, WANG Ruiqiang

(Guangdong Provincial Key Laboratory of Quantum Engineering and Quantum Materials, School of Physics and Telecommunication Engineering, South China Normal University, Guangzhou 510006, China)

Two kinds of soliton excitations in 1D ferromagnetic chain with linear magnetic field are considered. By solving two different modified nonlinear Schr?dinger equations, the soliton solutions excited by them are obtained. The two obtained soliton solutions show that linear term of magnetic field has no influence on the shape and effective mass of each soliton, but changes the motional mode from uniformly motion to uniformly variable motion. Moreover, the energy of soliton appears the localized distribution after introducing the linear magnetic field. Introducing linear magnetic can make the excitation and motion of soliton more controllable without destroying the stability in 1D ferromagnetic chain.

2015-12-31 《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11474106)

*通訊作者:陳浩，教授，Email:chenhao@scnu.edu.cn.

O482.51；O175.14

A

1000-5463(2017)05-0016-06

【中文責(zé)編：譚春林 英文審校：肖菁】